三角发展历史

❶ 三角函数的发展史

函数是数学的重要的基础概念之一。进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数。中学的其他数学内容也都与函数内容有关。

函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。新课本函数一章以及本书的第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，理科限定选修内容有极限、导数、积分，文科和实科限定选修内容有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。

❷ 三角贸易制度的发展历程

15世纪，葡萄牙人在非洲西海岸探险的时候，就开始在非洲捕获黑人卖作奴隶。
16世纪是葡萄牙人独霸非洲的时期，16世纪初他们把黑人运往美洲。他们是首创。
1513年，西班牙国王正式颁发执照，允许商人把黑人奴隶运往美洲西属殖民地。从此奴隶贸易如春潮一般涌起。
1563年，英国奴隶贩子霍金斯（伊丽莎白女王一世的情夫）从非洲运送300名奴隶到美洲，这是英国参与奴隶贸易的开始。17世纪开始，英国与法国都成为贩卖奴隶的主要国家。 伊丽莎白女王一世为此做出了杰出的贡献。
整个非洲都成为殖民国家猎取黑人奴隶的目标，其中受害最深的是西非广大地区。最初，欧洲奴隶贩子曾在西非海岸登陆，亲自猎取黑人，卖作奴隶。这种强盗行径遭到非洲人的反击，给奴隶贩子造成惨重损失。因此奴隶贩子又改变手法，采取同当地酋长和上层统治者结盟的方式，从他们那里获得奴隶，并由此形成了臭名昭著的“三角贸易”。
而荷兰，是第一个在欧洲开放奴隶贸易港口的地方。
17－18世纪，欧洲奴隶贩子多半采取三角航程，从事贩卖活动。一般商船满载着廉价的货物，主要是枪支、火药、丝毛棉麻织物、钢铁等金属物品和非洲统治者所需要的奢侈品，从欧洲港口出发，这叫“出程”。船到非洲，用廉价商品交换被猎来的黑人，如一支枪换一个奴隶。商船满载奴隶，经大西洋西航美洲，这叫“中程”。奴隶船在美洲口岸，以奴隶换取殖民地生产的蔗糖、咖啡、可可、烟草、毒品、棉花等原料后，再回欧洲，这叫“归程”。一次三角航程一般需时半年，可做三笔生意。利润往往高达百分之几百。英国许多城市都因奴隶贸易而兴盛起来。例如利物浦就靠奴隶贸易发展成为英国第三大港。奴隶贸易给它带来巨大的收入，
1785年仅关税收入就达到64万英镑。

❸ 杨辉三角的历史沿革

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有： 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功 朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔.斯蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

❹ 三角贸易兴起的历史背景

背景如下：抄
1）西欧国家袭在16世纪时因为奥斯曼帝国封锁了与亚洲的陆路而不得不进行航海发现新的路线，结果发现了美洲大陆和绕过非洲好望角到亚洲的路线，提供了航海路线的帮助。
2)）新大陆适宜种植甘蔗，当地的种植园业非常的兴旺，种植园园主需要足够的劳动力，而来自非洲的黑奴能够提供廉价而有效的劳动力。
3）非洲地区的土著部落酋长探求欧洲殖民者的廉价的装饰品而与他们交易，其中卖出奴隶就成为了重要的交易方式。
4）西欧国家资本主义的萌芽进一步发展，需要足够的资本积累推动进一步发展，而黑奴贸易成本低廉利润巨大，逐渐成为欧洲资本主义国家进行资本原始积累的主要方式。
5）随着欧洲资本主义市场的逐步扩大，为了给不断扩大的殖民地提供足够的劳动力，黑奴成为了重要的工具。
（以上均为原创）

❺ “三角贸易兴起”的历史背景是什么

背景来如下：
1）西欧国家在自16世纪时因为奥斯曼帝国封锁了与亚洲的陆路而不得不进行航海发现新的路线，结果发现了美洲大陆和绕过非洲好望角到亚洲的路线，提供了航海路线的帮助。
2)）新大陆适宜种植甘蔗，当地的种植园业非常的兴旺，种植园园主需要足够的劳动力，而来自非洲的黑奴能够提供廉价而有效的劳动力。
3）非洲地区的土著部落酋长探求欧洲殖民者的廉价的装饰品而与他们交易，其中卖出奴隶就成为了重要的交易方式。
4）西欧国家资本主义的萌芽进一步发展，需要足够的资本积累推动进一步发展，而黑奴贸易成本低廉利润巨大，逐渐成为欧洲资本主义国家进行资本原始积累的主要方式。
5）随着欧洲资本主义市场的逐步扩大，为了给不断扩大的殖民地提供足够的劳动力，黑奴成为了重要的工具。
（以上均为原创）

❻ 三角学的历史

古希腊的自然科学家泰勒斯（公元前624年－公元前546年）的理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史上都认为古希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。他著有三角学12卷，并作成弦表。可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学
的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（JRegiomontanus，1436～1476年）。
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．
三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus，1561～1613年），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的．
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（G．J．Rhetucu s，1514～1574年）。他1536年毕业于滕贝格大学，留校讲授算术和几何。1539 年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表。
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用．
三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究．
文艺复兴后期，法国数学家韦达（FVieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔。给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等。第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础。对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593 年又用三角方法推导出余弦定理。
1722年英国数学家棣莫弗（ADe Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理
（cosθ±isinθ）^n=cosnθ+isinnθ，
并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（LEuler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式
e^(iθ)=cosθ+isinθ，
对三角学的发展起到了重要的推动作用．
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形 解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论.

❼ 三角函数的发展史以及数学家和应用

三角学的起源与发展
三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
(一) 西方的发展
三角学﹝Trigonometry﹞创始于公元前约150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的「弦表」，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。
公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密(Ptolemy)(85-165)
继承希帕霍斯的成就，加以整理发挥，着成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯（Menelaus）写了一本专门论述球三角学的著作《球面学》，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
(二)中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。1631西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以「三角」取代「大测」，确立了「三角」名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。
现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。
贰、三角函数的演进
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（Trigonometric function）。
尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(p16)（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出的。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度 人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。因此，当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法，即过去一般称AB为 的正弦，把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为从属地位了。

】

到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中，从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。
1. 正弦、余弦
在△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，R为△ABC的外接圆半径，则有
称此定理为正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的。中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明。 也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。 这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文学大成》第一卷
除了一些初级的天文学数据之外，还包括了上面讲的弦表：
它给出一个圆从 （ ）° 到180°每隔半度的所有圆心
角所对的弦的长度。圆的半径被分为60等分，弦长以每一等分为单位，以六十进制制表达。这样，以符号 crd a 表示圆心角a所对的弦长， 例如 crd 36°=37p4'55"，意思是：36° 圆心角的弦等于半径的 （或37个小部分），加上一个小部分的 ，再加上一个小部分的 ，从下图看出， 弦表等价于正弦函数表，因为

公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，整个圆周为21600份，然后据 2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概
念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分
数式。
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右，制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表， 而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表， 而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角，这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世纪中叶，中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的后裔，他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。他的正弦表精确到小数9位。他还制造了30°到45°之间相隔为1'，45°到90°的相隔为5'的正切表。
在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中。
3.正割、余割
正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔
─威发首先引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德
﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用
才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。
欧洲的「文艺复兴时期」，﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是他定圆的半径为1015，以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算器。全靠笔算，任务十分繁重。利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志，勤奋工作达12年之久，遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表，重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。
4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号， 但当时并无
函数概念，于是只称作三角线（ trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示余弦。
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念，其后他分别以符号“sin.”,“tan. ”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec. com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。
使用者 年代 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 备注
罗格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl
Sec Sec.Compl
吉拉尔 1626 tan sec.
杰克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
欧拉 1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec
谢格内 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰纳 1827 tg Ⅱ
皮尔斯 1861 sin cos. tan. cotall sec cosec
奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
万特沃斯 1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号

我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。
1729年，丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。1736年欧拉以At 表示反正切，一年后又以Asin 表示 于单位圆上正弦值相等于 的弧。
1772年，C．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以 表示反正弦函数。1776年，兰伯特则以arc. sin表示同样意思。1794年，鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x，arc cos x 等。于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示反三角函数之主值。
另一较常用之反三角函数符号如sin-1x ，tan-1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。


参、三角函数的和差化积公式
下列公式



称为三角函数的和差化积公式。
法国著名数学家韦达﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角学著作《标准数学》中收集并整理了有关三角公式并给予补充，其中就有他给出的恒等式:
【后记】三角函数名称的由来和补充
想知道为何三角函数要叫做sin，cos 这些名字吗？经过了多方的查取资料，找到了下图：

上面这个图称为三角圆（半径＝1），是用图形的方式表达各函数。其中我们可以看到，sinθ为PM线段，也就是圆中一条弦（对2θ圆周角）的一半，所以称为「正弦」。而cosθ是OM线段，但OM＝NP，故我们也可以将cosθ视为NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的余角的正弦值，故称之为「余弦」。其余类推。
另外，除了课本中教的六种三角函数外，我们还查到了其他的三角函数，如上图中的versθ、coversθ和exsecθ。事实上，在历史上曾出现过的三角函数种类超过十种呢！但最后只剩下这六种常用的。其他的还有如半正矢（havθ）、古德曼函数和反古德曼函数等。
【补充：小历史】
大部分的三角函数一开始都是由于天文上的需要而造出来的。在三角函数传入中国时，正、余矢函数还未废弃，故徐光启将八种三角函数称为「八线」。后来因为矢类函数废弃不用，故八线之名渐被「三角」取代，但统一的名称还是到了民国以后才确立的。
参考数据：
1. 梁宗巨（1995），《数学历史典故》(九章出版社)
2. 王怀权《几何发展史》(凡异出版社)

参考网站：
1. http://www.edp.ust.hk/math/history/
2. http://home.ecities.e.tw/sanchiang/
3. http://archives.math.utk.e/topics/history.html
4. http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/History/

泰勒斯﹝Tales of Miletus﹞
约公元前625-前547，古希腊
古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为『希腊七贤』之首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。
泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：
1. 保证命题的正确性，使理论立于不败之地；
2. 揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；
3. 使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。
数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。在几何学中，下列的基本成果归功于他：
1. 圆被任一直径所平分；
2. 等腰三角形的两底角相等；
3. 两条直线相交，对顶角相等；
4. 已知三角形两角和夹边，三角形即已确定；
5. 对半圆的圆周角是直角；
6. 相似三角形对应边成比例等等。
泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28
日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。

阿尔-比鲁尼al-Biruni﹝973-1050﹞

比鲁尼生于今乌兹别克的一个城市，毕生从事科学研究和写作，共写了大约146部著作，但留传至今的只有22部。按已知其页数的著作估算，比鲁尼写出的手稿当有13000页之多，当中几乎涉及到当时所有科学领域，如天文学、历史学、地理学、数学、力学、医学、药物学、气象学等。比鲁尼特别偏重于那些易受数学影响的学科，其大部份之著作均是天文学和占星术有关。他在数学的应用，尤其在数学的传播、东西方数学的交流方面，做出了突出的贡献。

欧拉（Euler Leonhard，1707－1783）

欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝。 欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心 研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。
1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利 ，成为物理学教授。
1735 年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚 体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其他数学领域均有开创性的发现。
1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻。
欧拉是数学史上最多产的数学家，我们现在习以为常的数学符号很多都是欧拉所发明介绍的，例如：函数符号 f(x)、圆周率π、自然对数的底 e、求和符号 Σ、log x、sin x、cos x以及虚数单位 i 等。乔治西蒙曾称他为数学界的莎士比亚。

韦达Francois Viè te（1540-1603）

法国数学家。亦译维埃特。因其著作均用拉丁文 发表，故名字当用拉丁文拼法，译为韦达（Vi ta）。1540年生于普瓦图地区丰特奈－勒孔特，1603年12 月13日卒于巴黎。早年在普瓦捷大学学习法律，1560 年毕业后成为律师，后任过巴黎行政法院审查官，皇家私人律师和最高法院律师。1595-1598年对西班牙战争期间破译截获的西班牙密码，卓有成效。他业余研究数学，并自筹资金印刷和发行自己的著作。
主要著作有：《应用三角形的数学定律》（1579 ），给出精确到5位和10位小数的6种三角函数表及造表方法，发现正切定律、和差化积等三角公式，给出球面三角形的完整公式及记忆法则：《截角术》（ 1615年出版），给出sinnx和cosnx的 展开式；《分析术入门》（1591），创设大量代数符号，引入未知量的运算，是最早的符号代数专著；《 论方程的识别与订正》（1615年出版），改进了三、四次方程的解法，给出三次方程不可约情形的三角解法，记载了著名的韦达定理（方程根与系数的关系式）；《各种数学解答》（1593）中给出圆周率π值的 第一个解析表达式，还得到π的10位精确值等等。

徐光启﹝公元1562-1633年﹞

徐光启，字子先，号玄扈，生于上海，于1604年考中进士，相继任礼部右侍郎、尚书、翰林院学士、东阁学士等，最后官至文渊阁大学士，他毕生致力于介绍西方科学，同时注意总结中国的固有科学遗产，编成巨著《农政全书》，成为我国近代科学的启蒙大师。
徐光启除与利玛窦合译《几何原本》前六卷外，还有《测量全义》﹝公元1631年﹞，这是西方三角学及测量术传入我国之始。公元1629年﹝崇祯二年﹞，徐光启首次应用西方天文学和数学正确推算日蚀。同年七月，礼部决定开设历局，由徐光启组建，于是，一些西方传教士如龙华尼﹝意大利人﹞、郑玉函﹝瑞士人﹞、汤若望﹝德国人﹞、罗雅谷﹝意大利人﹞先后参与了中国的历法改革工作。从公元1629至1643年，明亡止，共完成了《崇祯历书》137卷，主要介绍当时欧洲天文学家第谷﹝Tycho. Brahe﹞的地心学说，数学方面则以平面几何与球面三角据多。

❽ 三角形的发展历史

三角形编辑[sān jiǎo xíng] 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形的内角和为180度。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。1定义编辑由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形（triangle）。三角形是几何图案的基本图形。三角形具有稳定性，符号△[1]。2分类编辑按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：简称Rt△（Right triangle），其中一个角必须等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。[1]判定法二：
锐角三角形：最大角小于90度。
直角三角形：最大角等于90度。
钝角三角形：最大角大于90度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
判断方法
若一个三角形的三边a，b，c （a>b>c） 满足：
b^2+c^2>a^2,则这个三角形是锐角三角形；
b^2+c^2=a^2则这个三角形是直角三角形；
b^2+c^2<a^2则这个三角形是钝角三角形。
按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形。[3]3面积公式编辑 三角形面积
（a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
S=中位线×高；
（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a、b、c。参见三角函数）
（海伦公式）
（R是外接圆半径）
S=[（a+b+c）r]/2 （r是内切圆半径）
在平面直角坐标系内，A（a，b），B（c，d），C（e，f）构成之三角形面积为。
A，B，C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小。
(8)；
(9)（正三角形面积公式，a是三角形的边长）
海伦公式（3）特殊情况：

(10)S=Rr(sinA+sinB+sinC) (R是外接圆半径；r是内切圆半径）
(11)S=cotcotcot(12)S=(cotA+cotB+cotC)
4重要线段编辑中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线，平分三角形的面积的这条线叫做三角形的中线。
高
过三角形的顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高线。
角平分线
三角形的内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线
中位线
任意两边中点的连线。它平行于第三边且等于第三边的一半。[1-2]5边角关系编辑三角函数给出了直角三角形中边和角的关系，可以用来解三角形。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。请参考相关词条。
6性质编辑角
1、三角形的内角和等于180°（内角和定理）；
2、三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3、三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
边
6、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
7、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
8、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
9、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
10、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
11、等底同高的三角形面积相等。
12、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
14、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
其他
15、在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
16、在斜△ABC中恒满足tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC。
17、△ABC中恒有。
18、三角形具有稳定性。
7全等编辑定义
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形。[4]性质
全等三角形的对应角相等，对应边也相等。翻折，平移，旋转，多种变交叠加后仍全等。[4]判定
两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"；
两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角全等，简称“边角边”或“SAS”；
两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”；
两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”；
两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”；
注意：证明三角形全等没有“SSA”或“边外边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等，是无法证明这两个三角形全等的。但从其意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。[4]8相似编辑定义
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。[5]判定
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）。
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。[5]9特殊点编辑五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。

五心的距离
OH^2=9R^2–(a^2+b^2+c^2),
OG^2=R^2–(a^2+b^2+c^2)/9,
OI^2=R^2–abc/(a+b+c)=R^2 – 2Rr
GH^2=4OG^2
GI^2=(p^2+5r^2 – 16Rr)/9,
HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,
10稳定性编辑证明
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。

∴第三条边不可伸缩或弯折 ，
∴两端点距离固定 ，
∴这两条边的夹角固定；
∵这两条边是任取的 ，
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定，
∴三角形有稳定性 。
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定 ，
∴这两边夹角不固定 ，

∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性。[6]作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形结构的在工程上有广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔，金字塔等等。[6]11有关定理编辑中位线定理
中线定理
三角形内角和定理
三边关系定理
勾股定理
射影定理
正弦定理
余弦定理
梅涅劳斯定理
塞瓦定理
莫利定理

❾ 三角函数发展史

函数是数学的重要的基础概念之一。进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的。其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具。函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材。函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用。后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容。数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数。中学的其他数学内容也都与函数内容有关。

函数在中学教材中是分三个阶段安排的。第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象。新课本函数一章以及本书的第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础。第二阶段的主要内容在本章教学中完成。第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，理科限定选修内容有极限、导数、积分，文科和实科限定选修内容有极限与导数，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识。