幻方历史发展

❶ 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的洛书，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，图

❷ 幻方的纪录

中国幻方协复会前十位制大师级人物：李文，郭先强，潘凤雏，苏茂挺，钟明，吴硕辛，曹陵，牛国良，彭保旺，曾学涵，他们全是中国的草根幻方达人，在幻方的学术研究上取得了一系列重大成果，很多研究成果领先于世界幻方研究同行。许仲义，李抗强，王忠汉，郭大焱，林正录等幻方前辈，他们也为中国幻方的研究与发展作出了无私的奉献，还有很多我们可能已经忘记了他们的名字，或许他们过去的研究成果在今天看来已经平淡无奇，但他们的历史阶段为我们后来者的研究提供了积极的养分。本协会一系列的幻方研究者，为中国乃至世界幻方学术研究、推广普及事业一直不懈奋斗着并将继续努力奉献。
中国取得不少幻方世界纪录：幻方专家李文第一位构造成功10阶标准幻立方，第一位构造出最低阶729阶五次幻方,第一位构造出最牛的36阶广义五次幻方，第一位理论上证明了存在最难的完美平方幻方，和多项平方幻方世界纪录，幻方专家苏茂挺第一位构成功32阶完美平方幻方.等。
提醒大家注意，任意阶幻方构造法，任意维幻方构造法，任意次幻方构造法，都早已找到。
不存在最大阶幻方的世界纪录之类.
对于各种媒体报导的幻方世界之最，很多是不实报导，不存在未解最大阶数幻方。

❸ 魔方的发展史

魔方是匈牙利建筑学教授和雕塑家厄尔诺~鲁比克于1974年发明的机械益智玩具。自鲁比克1974年申报了三阶魔方专利后，魔方就很快风靡世界，让老鲁也成了一个大富翁，此后各种各样千奇百怪的魔方，就如雨后春笋般地冒了出来。于是也出现很多的魔方收藏者，为了便于各种魔方的收藏归类，国外收藏家们有两种魔方分类方法：一种是按形状来分类、一种是按结构来分类：
一、按魔方形状来分，主要的可分为10大类：
１、正四面体见：正四面体（金字塔）魔方总汇
２、正六面体
３、正八面体见： 八面体魔方总汇
４、正十二面体
５、菱形十二面体
6、十四面体
7、二十面体
8、球形体
9、柱形体
10、星形体
二、按魔方结构分类，可分为六大类：
１、两极类２、四轴类３、六轴类４、八轴类５、十二轴类6、多轴类与混合轴类
魔方是由多个旋转面组成的，每个旋转面都是以一个中心点来转的，与中心点垂直就是所谓的轴。所有的轴又相交于一点称核心，也就是魔方的内核块了。我觉得按结构分类更科学一点，因为它们的结构相似，解法相通。
三、另外按旋转过程中有些魔方的形状会不断变化，由些可分为两类：
1、传统类：是指旋转过程中魔方的外观形状保持不变，如常见的二阶、三阶、四阶等六面体魔方。
2、形变类：旋转过程中魔方的形状会不断变化，如常见的SQ1魔方、二阶金字塔魔方、二阶卡通魔方等。

魔方种类太多了，用“轴数+形状”不能完全表达一个魔方的特性，因此我归类魔方时又加了“阶”的概念。就是因为魔方上有的块由多个旋转层共有，所以魔方才能产生复杂的变化，这也是魔方的魅力所在。 “阶”数越高的魔方难度越大。 １、一阶：两旋转层相交只有一个魔方块的魔方，称“一阶魔方”，如八轴类的魔方大都是一阶的，如魔花、X魔方、鸭嘴兽魔方等，因此复原较简单。２、二阶：两旋转层相交只有两个魔方块的魔方，称“二阶魔方”，如十二轴二阶球魔方，是看不到与轴连接的块，被隐藏起来了。３、三阶：两旋转层相交只有三个魔方块的魔方，称“三阶魔方”，最常见的，如三阶魔方，五魔方。如这魔方拆开后可看出是四轴结构的： 这魔方两旋转层相交的块为三个，所以称它为“四轴三阶八面体魔方”： ４、高阶：两旋转层相交多于三个魔方块以上，统称称“高阶”。目前六轴类最高阶魔方为7阶，十二轴类最高阶的为五阶，高阶魔方是以后魔方新品的发展对象。 5、有些魔方两旋转层相交的块数不是一样的，如这四层金字塔魔方，它的阶是这样定的：这金字塔形魔方的内部其实就是一个四轴八面体魔方： 与四轴八面体相比较，增加的块有三种：顶块、中块、层A与层B相交的块，由于它增了的块为一阶，所以这魔方应称为“四轴3.1阶四面体魔方”它的难度为3.1阶。

❹ 中国知道幻方的规律比外国大约早多少年

幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民版早在2500年前就已权经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。而在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多年，印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)十三世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果.

❺ 幻方的历史悠久传说中最早出现在下雨时期的洛书中如图就是一个三阶幻方在三阶

（1）答抄案不唯一，例如：

❻ 三阶幻方历史悠久有非常多的填法请百度一种填法。

❼ 魔方的魔方发展历史

厄尔诺·鲁比克是匈牙利的建筑学和雕塑学教授，为了帮助学生们认识空间立方体的组成和结构，所以他自己动手做出了第一个魔方的雏形来，其灵感是来自于多瑙河中的沙砾。
1974年，鲁比克教授发明了第一个魔方（当时称作Magic Cube），并在1975年获得匈牙利专利号HU170062，但没有申请国际专利。第一批魔方于1977年在布达佩斯的玩具店贩售。与Nichols的魔方不同，鲁比克教授的零件是像卡榫一般互相咬合在一起，不容易因为外力而分开，而且可以以任何材质制作。
1979年九月，Ideal Toys公司将魔方带至全世界，并于1980年一、二月在伦敦、巴黎和美国的国际玩具博览会亮相。
展出之后，Ideal Toys公司将魔方的名称改为Rubik's Cube，1980年五月，第一批魔方在匈牙利出口。 由于魔方的巨大商机，1983年鲁比克教授和他的合伙人一同开发了二阶和四阶魔方。并于1986年制造了五阶魔方。
2003年，希腊的Panagiotis Verdes申请了5×5×5到11×11×11的魔方的专利（五阶魔方的结构略与鲁比克教授的魔方不同），并于2008年在V-Cube公司生产五阶、六阶和七阶的魔方。 网络魔方吧，简称魔方吧，是以魔方相关技术交流、魔方运动信息交流、魔友间生活及心情交流为内容的，以团结所有魔友为目标的，以网络论坛为基础的主题交流平台。
截止2015.12.1会员数为161108人。

❽ 幻方的构造原理

在《射雕英雄传》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。 492357816这就是一个最简单的3阶平面幻方。因为幻方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与幻方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。
幻方又称纵横图、九宫图，最早记录于中国古代的洛书。夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为洛书或河图，又叫河洛图。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。（摘自《趣味数学辞典》）
最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方世界上很多数学家仍在研究，只讨论平面幻方。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式）
1、 N 为奇数时，最简单：
⑴ 将1放在第一行中间一列；
⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
2、 N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。
（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）
**以上方法只适合于n=4时**
3、 N 为其它偶数时
当n为非4倍数的偶数（即4n+2形）时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶）子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
由小到大依次为上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v)，下左子阵（i+3v），
即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③
④ ②
然后作相应的元素交换：a(i,j）与a(i+u,j）在同一列做对应交换（j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0）与a(t+u-1,0）；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使行列及对角线上元素之和相等。
C语言实现 #includestdio.h#includemath.hinta[256][256];intsum;intcheck();voidins(intn);voidmain(){inti,j,n,k,t,p,x;scanf(%d,&n);sum=(n*n+1)*n/2;if(n%2==1)//奇数幻方ins(n);if(n%4==2){//单偶数幻方k=n/2;ins(k);for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){a[i][j+k]=a[i][j]+2*k*k;a[i+k][j]=a[i][j]+3*k*k;a[i+k][j+k]=a[i][j]+k*k;}t=(n-2)/4;for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){if((j<t)&&(i<t)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((j<t)&&(i>k-t-1)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((i>=t&&i<=k-t-1)&&(j>=t&&j<t*2)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if(j>1&&j<=t){p=a[i][j+k];a[i][j+k]=a[i+k][j+k];a[i+k][j+k]=p;}}}if(n%4==0){//双偶数幻方x=1;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)a[i][j]=x++;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)for(k=0;k<4;k++)a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;elseif(i%4==3&&(i+j)%4==3)for(k=0;k<4;k++)a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;}}if(check(n)==1){for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf(%5d,a[i][j]);printf( );}}}intcheck(intn){//检验是否是幻方inti,j,sum1=0,sum2;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)return0;sum1=0;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)return0;sum1=0;}for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;i<n;i++,j++){sum1+=a[i][j];sum2+=a[i][n-j-1];}if(sum1!=sum)return0;if(sum2!=sum)return0;elsereturn1;}voidins(intn){//单偶数幻方的输入intx,y,m;x=0;y=n/2;for(m=1;m<=n*n;m++){a[x][y]=m;if(m%n!=0){x--;y++;if(x<0)x=x+n;if(y==n)y=n-y;}else{x++;if(x==n)x=x-n;}}}//c++语言实现//（1）求奇数幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>intmain(){intn,x,y,tot=0,i,j,a[100][100]={0};cout<<请输入一个奇数<<endl;cin>>n;a[i=n/2][j=0]=++tot;i--;j--;while(tot<=n*n){i<0?i=n-1:i=i;j<0?j=n-1:j=j;if(a[i][j]){i=x;j=y+1;}a[i][j]=++tot;x=i;y=j;i--;j--;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)cout<<setw(3)<<a[i][j];cout<<endl;}return0;}//（2）求单偶幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>intmain(){intn,i=0,j=0,a[100][100],tot=0;cout<<请输入4的倍数<<endl;cin>>n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){a[i][j]=++tot;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(i%4==j%4||i%4+j%4==3)a[i][j]=n*n+1-a[i][j];}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cout<<setw(4)<<a[i][j];}cout<<endl;}return0;}奇阶幻方
当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方
当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶(4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：
Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方： 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的5阶幻方： 23 6 19 2 15 10 18 1 14 22 17 5 13 21 9 4 12 25 8 16 11 24 7 20 3 Hire法生成偶阶幻方
将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列的数字记为a(i,j）。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为：第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写（第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：
1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6
如下所示为8阶填写方法（转置以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8
将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j）－1)。则AT+B为目标幻方
（AT为A的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：
1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64
⑴.Strachey法生成单偶幻方
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格，另外m-1个小格任意，其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
⑵Spring法生成以偶幻方
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j）。
先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
如下图用Spring法生成的4阶幻方：
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
YinMagic构造偶阶幻方
先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用该方法将边缘数字填写完毕。该方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：
10 1 34 33 5 28
29 23 22 11 18 8
30 12 17 24 21 7
2 26 19 14 15 35
31 13 16 25 20 6
9 36 3 4 32 27
魔鬼幻方
如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。
用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。
15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
罗伯法：
1居上行正中央，依次斜填右上方，上出框往下填，
右出框左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

❾ 幻方的历史

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。 宋代数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」. 他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方. 关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶... 后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为： S=n(n ^2+1) /2 其中n为幻方的阶数，所求的数为S. 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。 我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。 而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔. 1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字) 十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果. 直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」. 欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的, 上面有一个四阶幻方,而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514年).这是欧洲最古老的幻方

❿ 古埃及的幻方！

“幻方”是“洛书”的数字表达。“幻方”以数理语言和逻辑思路来解读“洛书”，仅从“洛书”图阵的辩证关系中我们就可以阐释出对我们有用的学理。
幻方最基础的数阵如下图：
4 9 2

3 5 7

8 1 6
此数阵所有数字是人类所用的最基本的九个数，联系洛书的宇宙观，九个基本数可看作是构成宇宙的基本原素；此数阵横、纵、斜排的每三个数相加都等于一个常数15，这符合“宇宙万物都按宇宙规律来组合、构建”这样的思想。
数学家们从幻方的基本结构发现了规律：从自然数中按规律每取九个数从小到大均匀递增排列，令最小的数叫“初项”，取递增量≥1，则有常数=3×初项+12×每项的增量。按此规律任意选取九个数，都可构成幻方数阵。例如，初项取21，增量取3，则九个数是：21、24、27、30、33、36、39、42、45；常数=3×21+12×3=99。这九个数也可以排列成横、纵、斜排的每三个数相加都等于常数99的幻方数阵：

30 45 24

27 33 39

42 21 36
这项基础幻方，数学家们称之为“三阶幻方”，也叫“3×3幻方”。由此深入，数学家们还研究出“偶阶幻方”，如我国南宋杨辉发现的“4×4幻方”；美国本杰明•富兰克林发现的“16×16幻方”。另外还有“任何阶幻方”。
幻方因其神秘，在古今中外历史上多有被崇拜的例子。古埃及人用刻有幻方的银盘算命；古代炼丹术士认为幻方是将普通金属变为黄金的钥匙；阿拉伯人在占星术中使用幻方，他们还将幻方放在分娩妇女腹部、绣在士兵衣上、绘在建筑物上，认为可以消灾祈福。1、蕴含洛书精魂
《神秘洛书》已简述洛书的渊源和内容。
围棋以黑与白、宏观与微观、你中有我和我中有你、波谲云诡变幻无穷来演绎“太极文化”；中国象棋则将古代战阵的某些内容搬上棋盘，作为棋艺。与此相比较，幻方数棋则是将洛书所蕴含的古先贤的宇宙观演绎成棋子关系。
固定棋位摆子，两方棋子构成的相互联络成旋转状的图阵，显示了“太极”之意；其形制上的“二子对一子互相吃子”对阵关系，表达了既对抗又联系的宇宙辩证法；棋子数字并不以大小分高下，反映了宇宙关系中各种事物各有自己的独特地位；棋王虽设，在战阵中它的地位和作用与其它子是平等的，它仅仅作为棋局的中心，类似于宇宙关系的规律制约；棋级的攀升，并不是刻板的大小增加，而是变化中的焕新，与宇宙辩证法的“规律制约下的运动变化”相符；不同于中国象棋为保老帅战尽最后一兵，幻方数棋的残局是仅棋兵战死三个后，便要“适可而止”，原因在于，棋局数字齐全时，形成的是宇宙原生态结构，失去部分棋子后，被破坏的生态结构是“不可收拾”的。

2、演绎幻方数智
《智趣幻方》已略讲幻方的构成和学理。
洛书用图案描述了宇宙结构的某方面，幻方则是用数理深入阐释了事物的内在关系。这种玄奥的数理智慧用棋局对阵来演绎，弈棋者可以感受到“将寰宇玩于股掌”的轻灵和愉悦。
用棋局演绎幻方，则幻方的博大精深，变得意韵袭人了。数理上的奇妙关系，形成了以棋王为中心的棋局对阵；数字间的相互联络，形成了棋兵间的较量；遵循幻方公式，每九个自然数都可组成幻方，因而走棋取数可以自由变换，等等，幻方学理成了亲切好玩智慧老人。

3、构思战阵方略
“二子对一子且三子数相加等于一个常数，则二子吃一子”的吃子约定，在每一组构成幻方的九个数中，是普遍的组合（吃子）关系。棋盘摆入的两组相同数字则将其组合机率提高了一倍。
棋数间相互组合的普遍性，加上相适合的棋盘格的设置，形成了棋局中错综复杂、千变万化的相互吃子的纠合关系，“择点落子，征战对杀”的棋趣因而形成。战术的运筹、军阵的构筑、征吃的思考，沿袭传统的棋盘对阵，是智力冲浪，精神娱乐，高雅享受。

4、玩乐数字计算
计算玩乐贯穿在棋局的各个方面。
因有二子对一子相互吃子的普遍关系，寻找吃子对象，要计算；要走出妙着，则要通盘、广泛计算，分析、比较后才成；为保护好自己的棋子，则要计算对手棋子对己方的攻击；变换棋数也要用计算来选取棋子，等等。
走棋人选择自己能接受的数字，主要运用简单的加减计算；但计算又是广泛、频繁的，加上结合战阵方略的思考，计算便有了趣味。数学家们认为，加减法是构成数学大厦的结构方式和结构材料。也就是说，因玩加减法而对其娴熟后，不仅能对数学敏感、聪慧，更是具备了构筑数学大厦的基础。
棋级升档，数字变化，避免了运用固定数字容易僵化思维；逐级增加计算难度，有对走棋人的计算潜力向深度开发的作用。

5、补钙思维方式
有学者论述，中国过去科技欠发达，其中的一个原因是，过去的中国缺乏实证科学和数学语言的土壤，要促进中国的科技发达，须补上实证科学和数学语言的功课。
这种说法仅在中国的两大棋种里，便能找到例证。围棋本身就是对太极文化的演绎，其精神内涵和弈棋思维都是千变不离其“太极”之宗。如走棋主要运用宏观与微观空间关系的直感思维，有辩证法，却不是量的精细思考。走象棋主要运用的是位置思考的形象思维。走幻方数棋，也要运用位置考虑的形象思维，但更多的要运用精细计算的数理逻辑思维。这种思维与直感思维大不相同，是实证思维。频繁的计算，是数学语言的熏陶、强化过程。

6、倡导生态娱乐
现代科技发达，从而产生了大量的刺激性强、可令玩乐者沉迷不拔的各类娱乐项目和玩具，但众所周知，很多项目和玩具给玩乐者带来了负面影响。包括围棋、象棋两项传统大棋在内的受古代士人、君子崇尚的“琴棋书画”，是才艺的标志，是高雅境界的风范。
幻方数棋步其后尘，倡导高雅境界的“生态娱乐”，为玩乐者启明心智，澄净情怀，让玩乐者玩中得乐，乐后有益。

7、提供娱乐教具
作为孩子的父母，可能都看到现在的孩子们为做功课太辛苦；让他们玩玩，又怕耽搁了功课。如何解决这一矛盾，幻方数棋可能有点作用。
其原理主要在于，如前第4项《玩乐数字计算》中介述过的，玩棋时要进行频繁的、大量的数字计算，初级棋用1至9的数字，童稚幼儿即可入门玩乐。棋数的变换和升档，又可让孩子在玩中不断提升计算力，开掘心智潜力。
幻方数棋研究开发者向家长、学童和有志青年由衷各送一句：
您是家长，送您一句：陪儿女走数棋，身教好过言教
您是学童，送您一句：走棋一局，胜做十题
您是后生，送您一句：纵有文才妙语天下，还需数智致胜千里

8、奉献普及棋具
幻方数棋以其系统的形制、丰富的内容成为真正意义上的“棋”。入门容易，复杂、难度又有广阔纵深的探究空间。人不分男女老幼、学历高低，它都能给您供上丰俭由人、雅俗共赏的智趣。
仅以1至9的第一档棋数为例，能计算这些数字加减的幼儿基本可以入门对弈。而这几个数形成棋局的错综复杂的难度，足够专业棋手钻研。这类似于中国象棋，幼儿玩大吃小，也可以玩它；而专业棋手却可把那些棋子玩出顶级境界来。更不用说，幻方数棋棋数升档变换后，其智趣空间的极大拓宽。它的尖顶，理论上是无人可企及的，因为任何自然数按公式都可以入棋。仅以幻方数棋开发者所取的九档棋数来说，每个棋数取两位数的大数字，对局时棋数间的广泛、频繁的计算，对大多数人 都是很大的挑战。