復數如何引入數學歷史

① 數學史料如何進入數學教學

數學，是最能體現人類智慧的一門學科，也是人類文明賴以生存的學科，作為人類思維的表達形式，它反映了人民積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理以及對完美境界的追求。中學數學是素質教育的重要組成部分，對培養學生分析解題能力、邏輯推理能力、空間想像能力等都非常重要。而數學史教育對中學數學教育的巨大影響力在近年來愈加為人所獲知，越來越多的國家開始重視數學史的教學，我國也不例外，數學史教學已成為數學教學中不可或缺的一部分了，由中華人民共和國教育部門定製的《普通高中數學課程標准》於2003年正式出版，該條例明確地提出學生要「感受在人類歷史文明進程中數學的力量，體會數學家們在探究新知的過程中嚴謹的科學態度和大無畏的探索精神，激發學生對學習數學的興趣，提高學生對數學的理解感悟能力。」 中學數學老師所要必備的教學素質有很多，其中教師對數學史的扎實掌握是非常重要的一項。教師只有掌握一定的數學史知識，才能改進自身的教學不足，提高自身的數學素養，才能真正的把握到數學發展的脈絡，向學生傳授真正完整的知識。
2、數學史的內涵
要全面的了解一樣事物，我們就要了解清楚事情的來龍去脈，要學會數學，我們就要追問數學的發展歷程。 「研究這門學科的歷史與現狀我是們預測數學未來的適當途徑。」引用法國著名數學家亨利·龐加萊的原話，也就是說如果我們只是一味的強調知識的掌握卻不去了解清楚這些知識的發展歷史，那麼對這些學生來說，他們所學到的只是些數學的片段知識，並不能真正地認清數學這一學科，而數學史卻可以給我們展示知識的總體面貌，讓我們更好地地認清數學的過去、現在與未來。
作為一門研究該學科的產生發展及其規律的科學，數學史不僅僅是史料知識這么簡單，它還可以追溯到數學的內涵、思維邏輯方式的衍化、發展歷程，此外，它還研究數學發展對人類五千多年的文明所帶來的影響以及其在人類歷史上舉足輕重的地位。有人單純地認為數學史研究就是僅僅為了弄清楚有哪些知識在哪一年由哪個數學家提出的，人類目前為止知道了哪些知識、不知道那些知識，毋容置疑，這是數學史要研究的工作之一，也是最為基礎的工作。但是，學習數學史更重要的目的是為了在教學工作中，讓師生站在現代數學的成果上，從源頭處清理該學科的發展方向和發展規律、並認清它的邏輯思維方式，從本質上更好地理解數學，學會數學。
3、數學史在中學數學教學中的作用
在新課標下改革的大潮下，中學數學課本相應地也增加了不少數學史方面的知識。那麼，數學史在中學數學教學中究竟起著怎樣的作用呢？作為一個即將踏出學校從事數學教學事業的准老師，我覺得具體有以下幾點作用：
3.1數學史能激發學生對學習數學的興趣
新課標強調教師在教學過程中不僅要重視過程與方法，還要重視學生的情感與態度，只有這樣，學生才會對學習產生濃厚的興趣。在很多學生看來，數學是一門枯燥無味的學科，它既不像語文那樣語言優美，又不像英語那樣在生活中實用性強，讓很多人提不起興趣來學習。但數學在人類文明上又是不可或缺的，它是一門邏輯性、抽象性很強的學科，如果純粹的去講數學知識不去重視培養數學興趣，那麼學生就只是被動的學習，學習主動性就會受到抑制，而數學史在激發學生 學習數學的興趣就有很大的幫助了，把數學史滲透到數學課堂教學中來能讓數學教學活躍起來，不僅有利於學習效果的深化，還可以激發和提高學生數學學習的興趣。
在課堂一開始，根據教學內容講敘相應數學家的故事，這樣可以引起學生濃厚的興趣，把心思從課間活動中轉移到數學教學當中，這是創造最佳課堂情境，為課堂教學作鋪墊的一種好的方法，不僅如此，在教師講述數學典故的時候，學生的視野還得以開闊，這讓他們知道原來這些看似乏味的知識背後卻有一個如此一番故事，那麼他們對所學的知識提起興趣了。如在講數列的前n項和時，在課堂開始開始的時候給學生講高斯小學被罰算前一百位正整數和的故事，這樣學生的心思很快就吸引到課堂來了。除此以外，教師在課堂中引入歷史名題也起到引起學生興趣的作用，許多歷史名題的提出都與數學家的有關，學生在思考問題的時候就會不經意的想到這個問題許多大數學家思考過，就會感到一種挑戰，自己現在思考的題目許多偉大的數學家也思考過，不知他們所遇到的困惑是否跟我的一樣呢，即使想不出來學生也會對題目產生深厚的興趣。
3.2數學史能加深學生對數學知識的理解
中學生的數學教材由於受一定的局限因素的限制，傳授的知識雖然有一定的系統性，但學生對知識的來龍去脈還是不能有個清晰細致的理解，我們就可以利用數學史上人類認知的過程規律，對知識主幹進行垂直梳理，使學生頭腦中的知識脈絡更加清晰，有利於學生對知識的深刻理解和記憶。數學史可以讓學生更容易去接受新學的知識，在學生第一次接觸代數，第一次面對用字母代替具體的數、時，他們常常會感到迷惑，不知為何要如此，這時教師若想改變這種狀況，就可以在課堂上向學生講述相關數學史料，幫助學生梳理、理解所學的的數學知識。數學的發展歷史很長，而現今學生學習到的數學知識是間接學習所得，以前數學家所經歷的困難正是學生現在經歷的障礙，正因為這些知識產生的過程與學生間接學習的過程十分相似，數學史的講授就可以幫助學生更好的理解數學知識。總的來說，數學知識是一環緊扣一環的，通過數學史對頭腦中所學習的知識的梳理，學生可以更好地在腦海中建立各知識點間、各學科間以及學習與生活間的聯系，為更為深刻地理解數學做好鋪墊。
在數學歷史上無理數的出現曾引發了第一次數學危機，在很長一段時間內人們在心理上都不願意接受這一事實，學生在學習這個曾經引起動盪的無理數時並不容易，山西某中學曾做過調查，對於無理數相關知識，70％學生只是會做題目，對無理數的概念並沒有深刻的理解，這勢必對後面的學習造成一定的影響。查閱相關數學史料，我們就發現：在數學史上人們對無理數的發現和理解的過程是想到漫長的，在這個過程當中也犯了不少錯誤，這樣我們就很好的了解學生在學習這一概念時遇到困難是不出奇的，這只是歷史的「再現」。所以，在課堂上教師可對學生多講一些無理數的發展史，這有利於幫助學生理解並接受這一知識。
3.3數學史有助於學生掌握數學思維方法
數學是一門特別的學科，它的特別在於數學有極其嚴密的思維邏輯形式。我們之所以要學習數學，就是希望通過在數學學習的過程中去鍛煉我們的大腦，讓我們形成精確縝密的邏輯思維方式和鍛煉提高我們的創造能力。實施證明，數學史為這一教育目的的實現起到了不可磨滅的作用。現在中學數學教 材向學生呈現的更多的是系統性的、「天衣無縫」的知識，語言十分的簡練，基本都是按定義、定理、證明、推理、例題練習等固定形式去編排，學生在學習過程中跟多的是單純的去接受這些知識，而缺乏一種真正的數學思維過程，由於學生認知水平的局限，這樣他們很容易產生不正確的觀點想法，雖然能簡速便捷地接受到大批的知識，卻讓學生輕易認為數學知識學習的過程就固定的是「定義——得出性質定理——做題」，事實是系統化了，卻無法讓學生清楚了解到知識是經過發現問題、提出假設、論證假設、得出結論並完善，逐步的、經過漫長過程成熟起來的，這不利於學生正確數學思維方法的形成。但是，數學史卻可以做到這一點。數學史向學生呈現的不僅僅是明確的數學知識，而更多的是傳授相應知識的創造過程，這就讓學生對數學知識的產生有一個較為清晰的認識了。通過數學史我們可以認識到數學的本原與特質，從這一個層面上看，在數學史的引領之下，師生間可以創造出一種雙向的、探索與研究的課堂氣氛。
這樣的例子有很多，例如，我們可以再講數形結合思想時，可以先向學生說在幾何學中有很多長期不能解決的問題，例如立方倍級、三等分任意角、化圓為方等問題，直到十七世紀後半葉，法國數學家笛卡兒以坐標為橋梁、在點與數之間、曲線與方程之間建立起對應的關系，用代數方法研究幾何問題，從而創立了解釋幾何學，至今也得到廣泛的應用。又如，牛頓和萊布尼茲在在古代數學家研究積分學的思想成果上，為解決許多科學的問題創辦了微積分學。
3.4數學史有能培養學生不畏艱險勇往直前的探索精神
一般來說，學生學習的數學課本呈現給學生的都是系統的、現成的知識，並未能體現到數學家們前赴後繼、劈荊斬刺地獲得數學知識的艱辛，數學家所經歷的艱辛而漫長的道路對學生來說似乎只是種形式。但數學這一學科之所以有今天的繁榮昌盛，全賴一代又一代的數學家不畏艱險勇往直前的去摸索、去奮戰。通過學習數學史，學生可以明白到這一個道理，知道這些數學家是經過怎樣的艱辛奮斗、怎樣的排除萬難、去把知識一點一滴的積累下來給後來者一個更完善的知識環境，他們就會發現目前學習數學所經歷的困難是微不足道的，這樣也就不會被學習過程中所遇到的挫折所打倒。此外，通過數學史學生也會發現從古到今不少著名數學家也犯過如今看來非常可笑的錯誤，數學家跟他們一樣也會犯錯，那麼他們就能正確看待在學習數學過程中所犯過的錯誤，從而樹立起學習數學的自信心。
以計算圓周率∏為例子，古今中外，許多的人都致力於∏的研究與計算。為了計算出圓周率的越來越好的近似值，無數的數學家為這個神秘的數貢獻了一生的時間與心血。十九世紀前，圓周率的計算進展相當緩慢，十九世紀後，計算∏的世界紀錄頻頻創新。德國的Ludolph Van Ceulen，他幾乎耗盡了一生的時間，用古典的方法計算到圓的內接正262邊形，在1609年得到了∏的35位精度值，以至於∏在德國被稱為Ludolph數；英國的威廉·山克斯，他耗費了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數點後707位，並將其刻在了墓碑上作為一生的榮譽。可惜，後人發現，他從第528位開始就算錯了。雖然後來又有了計算機，但人們對圓周率還是興趣盎然，因為數學家們認為對∏的研究可以說明人類的認識是無窮無盡的。在教學圓周率的時候，向學生講述適當的史料知識，這對培養學生不畏艱險勇往直前的探索精神是有積極意義的。歷代數學家在困難面前劈荊斬刺、為數學的通天塔添磚加瓦，他們崇高的理想、堅定的信念、頑強的鬥志、勇往直前的探索精神是教育學生最好的模範。
4如何在中學數學教學中滲透數學史
喬治.屈維廉說過：「歷史並沒有真正的科學價值，它的真正目的乃是教育別人。」作為一個准數學老師，我們不只是應該是去學會數學史，更應該是學會運用數學史。教師如果在數學課堂中，結合所教授的內容，有目的、有計劃地融入數學史，不僅可以教學內容更加的豐富飽滿，還可以對學生起到潛移默化的作用，使學生醫生受益。那如何在中學數學教學中滲透數學史呢，下面給大家介紹幾種常見的方法：
4.1巧妙利用數學史名題教學
數學史發展的歷史長河中，數學歷史名題對數學知識的補充、發展都起過重大的作用，如《孫子算經》裡面的「雞兔同籠」問題、古希臘的三大幾何難題、哥德巴赫猜想等等，這些歷史名題的提出一般都具有一定的現實背景並對實質性的數學方法有所揭示，這對學生理解數學內容和思想方法有極其巨大的幫助。
淺談數學史在中學數學教學的作用通過教師對具有開放性的歷史名題的展示，一方面可以讓學生理解到，數學這個領域是運動著的、是活躍的、未完成的，它不是一個靜止的、封閉的系統。另一方面，學生還能夠認識到數學正是在猜想、錯誤、中發展進行的，數學進步是對傳統觀念的革新，從而激發學生的思維，使他們感受到，抓住適當的、有價值的數學問題將是多麼激動人心的事情。
例如，初等幾何著名定理勾股定理的證明，這個定理以它的簡潔性和應用的廣泛性，吸引了很多人。由於年代久遠，已經很難知道誰是第一個證明勾股定理的人了，但它的證明方法各式各樣，高達三百多種，其中有趙爽證明法、美國總統加菲爾證明法、歐幾里得證明方法、利用相似三角形證明方法等等。向學生講述勾股地理證明的歷史，可以使單調無趣的證明過程變得趣味盎然而又富有人性化，跟重要的是讓學生覺得他們是在自己探索知識，從而讓學生更加積極地參與其中，歷史上這么多名人去證明勾股地理，現在自己也跟那些名人一樣在研究同樣的問題，這個問題就變得不一樣了。即使歷史上已有人用同樣的方法做出過證明，但當學生獨自去解決掉勾股定理的證明時，他心裏面所產生的成就感和自豪感是其他成功的獲得所不能比擬的，而這種成就感也會使學生從此對數學產生濃厚的興趣。
4.2利用數學史進行新課引入
俗話說：「千里之行，始於足下」。好的開始是成功的一半，教師可以運用數學史來進行新課的導入，引發學生的注意力，把學生的思路從上一節課的知識中引導這一節課中，達到上課的最佳心理狀態，從而提高學習的效率。在數學課堂的開端教師向學生適當地講授一些數學知識產生的故事、傳說不僅可以引起學生對知識點的直接興趣，還可以讓學生見識到知識的產生發展過程。當然，要做到這一點老師就要經過精心的設計，力求做到引人入勝，統攝全局，引起共鳴。
舉個例子，在講等比數列時，教師可以先向學生講述古印度國王國王用麥子獎賞智者的故事：傳說古代印度有個國王非常喜歡國際象棋，一天，一個智者與國王下棋並贏了國王,國王說可以滿足他的一個要求,智者提出的要求就是要國王在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒,第2個格子放上2顆麥粒，第三個格子放4粒麥粒，如此類推，後一個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒的2倍（國際象棋棋盤有64個格子），希望國王把這些麥子賞賜給他.國王想這還不容易，就欣然同意了他的要求。經過計算，發明者要求的麥粒總數就是2的64次方減1，這個數字非常大。用這個故事引入等比數列新課，相信學生的注意力都會被吸引過來，而且還能培養學生學習數學的興趣，機器學生對新知識的探究慾望，讓學生情緒高漲，從而產生良好的課堂氣氛。
4.3利用數學史設置課堂結束環節
一節課上得好不好，課堂的結束環節很重要。課堂結束這一環節主要是實現本節課的教學升華，輔助學生對知識點進行歸納整理、挖掘提煉，讓他們理清教學過程的整體思路脈絡，掌握知識的深處內涵。除此以外好的課堂結束環節還可以起到承上啟下的作用，讓學生對下節課的內容產生興趣，為下一節課的順利進行做鋪墊。如果這個時候教師能好好利用數學史知識來結束本節課的內容，這樣就不僅可以吸引學生的興趣，還可以啟發學生的想像力，探究數學知識的奧秘。不僅如此，由於每個學生學習的水平和需要都不盡相同，用數學史來作為課堂的結束環節，可以讓不同基礎的學生得到不同程度的發展，使扎實掌握好基礎的學生繼續深入探究，也給相對落後的學生啟發。
譬如這樣，陳景潤的老師在「整數的性質」這堂課結束的時候跟學生說：「在自然科學當中數學處於皇後的地位，皇後頭上的皇冠就是數論。而哥德巴赫猜想，則是這頂皇冠上最璀璨奪目的明珠，為了這了明珠許多數學家傾盡了畢生心血，不知將來在座各位誰能把這顆明珠摘下來呢？」就是這位老師在課堂結束的時候用了數學史的知識做結束環節，記起來學生的探究的種子，後來就有了這個世界上攻克「哥德巴赫猜想」的第一個人。
4.4利用數學史講授知識系列
每一系列的數學知識都是經過漫長的歷史演變逐漸發展形成的，其中每個環節的知識的獲得都是以一代代人無數的精力和挫折為代價的，數學教學應做到歷史與邏輯的統一，尋找恰當的時機讓學生像當年的數學家一樣經歷和體驗數學創造的必要性和創造的基本方法。在數學教學過程中，教師可以把學生學習過的知識當成一個環節，各個環節用歷史發生的時間和事件串連成一個知識體系，向學生系統地論述各環節知識產生的過程和發展，在教學進度的允許下，教師可以開展適當的專題性學習，適當向學生介紹一些數學史知識，如知識的背景、知識的影響力和現實生活中的實際應用等等，把學生頭腦中的數學知識進行梳理，讓這些知識形成一個相對清晰完整的系統，這樣會起到1+1﹥2的效果了。
以數的發展歷史為例子，在生產活動中,人們為了計量物品的個數,產生出自然數這一概念,在對物品的分割中產生了分數,為了表示有相反意義的量時引入了正負數,在對連續的量進行度量時,又引入了無理數,從負數不能開方出發引入了虛數,並把實數擴展到復數。於是就形成了數的理論發展概況：自然數——整數——有理數——無理數——實數——復數，讓學生一目瞭然，對培養學生知識是變化發展的觀點十分有利。
4.5利用數學史開展探究式學習
數學知識的活動都是經過觀察、實驗、交流、分析、綜合、推理、總結得出來的，但我們的教科書上鮮少反映這一漫長而復雜的過程，教師可以以數學史為載體，對某一概念形成的幾個關鍵特徵進行分析，在學習該概念時，思考學習者可能會感到一定的困難，他們只理解到概念的表面意思，對概念的深層意思卻並不理解，但如果配合學生認知規律去給學生講解數學概念的發展歷程，並對這一數學概念進行拆開理解，再進行知識的序列化重構，然後在這樣的基礎上實施教學，讓學習者在教師的引領作用下，重現數學家們在概念形成所經歷的幾個關鍵的探究活動過程，同時教師進行適當指導，讓學生經歷思維的原過程，不僅能豐富學生學習內容還能增加學生對數學史的興趣，在探索交流的氛圍中獲得知識，通過喜歡數學史進而喜歡數學。
在探究性學習中，數學史還有一個非常普遍的作用，就是創建探究性學習的情景，而創設的請進要考慮到各方面的因素，創設的情景要有吸引性、真實性、切合學生的生活實際，又要考慮到知識產生發展的規律性和順序性。那麼運用數學史來進行探究性活動情景的創設就再適合不過了，這樣既有利於探究性學習的開展又起到對學生的文化熏陶作用。例如，教師在教授「等可能性事件」知識的時候，可以向學生講述當年今日在數學界所發生的事情，這一系列的數學事件都發生在這一天，這僅僅是一種巧合還是一種正常現象呢？
5小結
綜上所述，數學史不僅是在學生對學習數學興趣的激發，數學知識的理解和數學思維方法的掌握有所幫助以外，它對培養學生不畏艱險勇往直前的探索精神的過程中所起的作用不應忽視，在數學教學中利用數學史資源促進教育教學更是有必要的，如果運用的好，它可以使數學課更加的生動而富有感染力。理論應該是為實踐而服務的，我們可以通過各種方法去滲透數學史，其中包括：巧妙利用數學史名題教學、利用數學史進行新課引入、利用數學史設置課堂結束環節、利用數學史講授知識系列、利用數學史開展探究式學習，以上是我個人心得體會，由於水平有限，如有不足之處，請多多包涵。

② 復數的幾何意義 如何引入

復數的幾何意義
主講人 郝玉紅
教學目標：1 理解復平面，實軸，虛軸等概念。2 理解並掌握復數兩種幾何意義，並能適當應用。
3 掌握復數模的幾何定義及其幾何意義，弄清復數的模與實數絕對值的區別與聯系。
能力目標：培養學生觀察，分析，歸納，總結的的能力。
教學重點：復數的幾何意義的掌握及應用。
知識難點：復數幾何意義的應用。
主要教法：發現式，講練結合式教學。
教具：多媒體教學系統
教學步驟：
復習提問
1復數的代數形式?
2復數 ,當 為何值時, 表示實數,虛數,純虛數?
3復數相等的充要條件
點 的橫坐標是_____縱坐標是____
這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做_____
X軸叫做______,Y軸叫做_______.
復數 復平面內的點
這是復數的一種幾何意義.
復數 平面向量
向量 的模 稱為復數 的模,
記作 或
例1 在復平面內,若復數
對應點在:(1)虛軸上,
(2) 實軸的負半軸上 ;
分別求復數
變式練習
復數
對應的點為 ,若 在復平面的 軸的上方,求 的取值范圍..
例2
求滿足條件 的復數 在復平面上對應點的軌跡.
分析: 根據復數的向量表示,可知,它的軌跡 是以原點為圓心,5為半徑的圓.
變式練習
滿足條件 的軌跡是________
提高題組
1如果復數 滿足 , 那麼 的最小值是( )
A 1 B C 2 D
2已知 為復數,且 , 若 則 的最大值是_________
3當 時,復數 在復平面內對應的點位於 ( )

A 第一象限 B 第二象限
C 第三象限 D 第四象限
隨堂檢測
1滿足條件 的復數 在復平面上對應點的軌跡是( )
A 一條直線 B 兩條直線 C 圓 D 橢圓
2若 且 則 的虛部的取值范圍是( )
A [0, 2] B [0, 3] C [1, 2] D [1, 3]
3 設 且 則復數 在復平面上的對應點 的軌跡方程是______, 的最小值是_________.
小結
1由復平面內適合某種條件的點的集合來求其對應的復數時,通常是由其對應關系列出方程或不等式(組)或混合組,求得復數的實部,虛部的值或范圍,來確定所求的復數.
2利用復數的向量表示,充分運用數形結合,可簡化解題步驟.
教後記
•本節課主要讓學生掌握復數的幾何意義，在高考中常見的題型有：與復數的模的最值有關的問題；與復數的幾何意義有關的問題；掌握數形結合的思想的應用。故在本節課中側重於此。學習本節課時要注意聯繫到前面學過的向量的有關知識，在解題中加以認識並逐漸領會，合理的利用復數的幾何意義，常能出奇制勝，事半功倍。所以在學習中注意積累並靈活運用。
•學生的掌握情況很好，參與的積極性很高。

③ 數學復數的歷史

1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數，然而他們智力又面臨一個新的「怪物」的挑戰。例如卡丹在所著《重要的藝術》（1545）中提出一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是5-√-15 和5+√-15，然後說「不管會受到多大的良心責備，」把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。於是他說，「算術就是這樣神妙地搞下去，它的目標，正如常言所說，是有精緻又不中用的。」笛卡爾（Descartes,1596-1650）也拋棄復根，並造出了「虛數」（imaginary number）這個名稱。對復數的模糊認識，萊布尼茲（Leibniz,1646- 1716）的說法最有代表性：「聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介於存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的—1的平方根。」
直到18世紀，數學家們對復數才稍稍建立了一些信心。因為，不管什麼地方，在數學的推理中間步驟中用了復數，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）關於「代數基本定理」的證明必須依賴對復數的承認，從而使復數的地位得到了近一步的鞏固。當然，這並不是說人們對「復數」的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《論數學的研究和困難》中依然認為：
"……已經證明了記號是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過這些記號，代數中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數的一般規則可以應用於這些式子（復數）。……"
我們知道，18世紀是數學史上的「英雄世紀」，人們的熱情是如何發揮微積分的威力，去擴大數學的領地，沒有人會對實數系和復數系的邏輯基礎而操心。既然復數至少在運演算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？
1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫了一篇論文「關於方向的分析表示」，試圖利用向量來表示復數，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文後，才被人們重視。瑞士人阿甘達（J. Argand,1768-1822） 給出復數的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數是正數的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴張實數系？在使人們接受復數方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復平面上的一點 ( a,b），而且闡述了復數的幾何加法和乘法。他還說，如果1，-1 和 原來不稱為正、負和虛單位，而稱為直、反和側單位，那麼人們對這些數就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數真正有一個新的看法，他引進術語「復數」（complex number）以與虛數相對立，並用 i 代替。
在澄清復數概念的工作中，愛爾蘭數學家哈米爾頓（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，並不滿足於幾何直觀。他指出：復數a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。復數a+ bi 只不過是實數的有序數對（a，b），並給出了有序數對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，不僅復數被邏輯地建立在實數的基礎上，而且至今還有點神秘的-1的平方根也完全消除了。

④ 數學知識中的復數的起源

復數
（一）數學名詞。由實數部分和虛數部分所組成的數，形如a＋bi
。其中a、b為實數，i
為「虛數單位」，i
的平方等於－1。a、b分別叫做復數a＋bi的實部和虛部。當b＝0時，a＋bi＝a
為實數；當b≠0時，a＋bi
又稱虛數；當b≠0、a＝0時，bi
稱為純虛數。實數和虛數都是復數的子集。如同實數可以在數軸上表示一樣，復數可以在平面上表示，這種表示通常被稱為「阿干圖示法」，以紀念瑞士數學家阿干(J.R.Argand，1768—1822)。復數x+yi以坐標黑點(x，y)來表示。表示復數的平面稱為「復數平面」。如果兩個復數的實部相等，虛部互為相反數，那麼這兩個復數稱為共軛復數。
（二）指在英語中與單數相對，兩個及兩個以上的可數名詞。

⑤ ★在數學史上「向量」和「復數」這兩個概念哪個先被提出來★

先有的向量

希臘的亞里士多德（前384-前322）已經知道力可以表示成向量

德國的斯提文（1548?-1620?）在靜力學問題上，應用了平行四邊形法則。伽利略（1564-1642）清楚地敘述 了這個定律。
稍後丹麥的未塞爾（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）發現了復數的幾何表示，德國高斯（1777-1855）建立了 復平面的概念，從而向量就與復數建立了一一對應，這不但為虛數的現實化提供了可能，也可以用復數運算來研究 向量。
英國數學家亥維賽（1850-1925）在向量分析上作出了許多貢獻。他首先給出了向量的定義：向量 =a +b +c 。這里 、 、 分別是沿著x、y、z軸方向的單向矢量，系數a、b、c是實數，稱為分量等等。至於n 維向量的理論是由德國數學家格拉斯曼1844年引了的。

⑥ 復數的引入有什麼意義

復數理論不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。

形如z=a+bi（a,b均為實數）的數稱為復數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位。當z的虛部等於零時，常稱z為實數；當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z為純虛數。

復數是由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。

(6)復數如何引入數學歷史擴展閱讀：

復數的應用

1、反常積分

在應用層面，復分析常用以計算某些實值的反常函數，藉由復值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法。

2、量子力學

量子力學中復數是十分重要的，因其理論是建基於復數域上無限維的希爾伯特空間。

3、相對論

如將時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量方程。

⑦ 高二數學，有關〔數系的擴充與復數的引入〕，這題怎麼做呀怎麼都算不出來…

解：有問題歡迎繼續追問，滿意請採納。

A.第一象限

解析：復數z滿足i(z+1)＝-3+2i(i是虛數單位)
設z＝a+bi，則i(a+bi+1)＝-3+2i
→-b+(a+1)i＝-3+2i
∴a＝1，b＝3
即z＝1+3i
∴復數z對應的點位於復平面內第一象限

⑧ 復數的引入有什麼意義

復數的引入具有非常重要的意義 復變函數學就是以虛數i和e構成的學問 當然 其內容非常的深奧 曾經有位數學家認為數學里有5個數 這個5個數構成了整個數學 它們是0 1 e π i 非常有意思的是 e^(πi)+1=0 這里 就運用了復變函數的感念
盡管復數看起來如此深奧 實際上 在某些貼近你的領域的運用還是非常之多 比如平面幾何 平面解析幾何 實軸和虛軸組成的復平面把數的概念從一維引入了二維 並且引入了方向的概念 這一點 在物理的受力分析中可以提供一個捷徑（這一點 在高中物理競賽中有所運用） 由於是復數是二維的 GPS系統等處理坐標問題是都涉及復數
的確 它在生活中的運用不多（其實sin cos一類運用不是也不多嗎） 但是 在數學領域中 它確是不可或缺的

⑨ 復數是如何引入數學中的

為了負數開方運算能進行，而引入虛數。這樣就要擴大數的范圍，這就引入了復數概念，復數是實數和虛數的總稱。