Ⅰ 課題：數學的發展歷史
算籌是中國古代的計算工具，真正意義上的中國古代數學體系形成於自西漢至南北朝的三、四百年期間。《算數書》成書於西漢初年，是傳世的中國最早的數學專著，它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發現的。《周髀算經》編纂於西漢末年，它雖然是一本關於「蓋天說」的天文學著作，但是包括兩項數學成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日。」——這是中國最早關於勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠的「陳子測日法」。
《九章算術》在中國古代數學發展過程中佔有非常重要的地位。它經過許多人整理而成，大約成書於東漢時期。全書共收集了246個數學問題並且提供其解法，主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成。
中國古代數學在三國及兩晉時期側重於理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。
趙爽學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著。
南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
隋唐時期的主要成就在於建立中國數學教育制度，這大概主要與國子監設立算學館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。
公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式；唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。 秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
李冶於1248年發表《測圓海鏡》，該書是首部系統論述「天元術」（一元高次方程）的著作，在數學史上具有里程碑意義。尤其難得的是，在此書的序言中，李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數學貶為「賤技」、「玩物」等長期存在的士風謬論。
公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於現在球面三角的兩個公式。
公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。
14世紀中、後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，於是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。
由於演算天文歷法的需要，自16世紀末開始，來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。數學家徐光啟向義大利傳教士利馬竇學習西方數學知識，而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光啟應用西方的邏輯推理方法論證了中國的勾股測望術，因此而撰寫了《測量異同》和《勾股義》兩篇著作。鄧玉函編譯的《大測》〔2卷〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷〕是介紹西方三角學的著作。
此外在數學方面鮮有較大成就取得，中國古代數學自此便衰落了。
數學知識的原始積累
數學知識伴隨著人類文明的產生而起源，並率先在幾個文明古國開始了漫長的原始積累過程，人類的祖先為我們留下了珍貴的、可供研究的原始資料，最著名的古埃及象形文字紙草書和巴比倫楔形文字泥板書，較為集中地反映了古埃及數學和巴比的水平，它們被視為人類早期數學知識積累的代表。
古埃及紙草書，是用尼羅河流域沼澤地水生植物的莖皮壓制、粘連成紙草卷，用天然塗料液書寫而成的。有兩份紙草書直接書寫著數學內容。一份叫做「莫斯科紙草」，大約出自公元前1850年左右，它包括25個數學問題。這份紙草書於1893年被俄國人戈蘭尼采夫買得，也稱之為「戈蘭尼采夫紙草」，現藏莫斯科美術博物館。另一份叫做「萊因特紙草」，大約成書於公元前1650年左右，開頭寫有：「獲知一切奧秘的指南」的字樣，接著是作者阿默士從更早的文獻中抄下來的85個數學問題。這份紙草書於1858年被格蘭人萊因特購得，後為博物館收藏。這兩份草書是我們研究古埃及數學的重要資料，其內容豐富，記述了古埃及的記數法、整數四則運算、單位分數的獨特用法、試位法、求幾何圖形的面積、體積問題，以及數學在生產、生活初中中的應用問題。
古巴比倫泥板書，是用截面呈三角形的利器作筆，在將干未乾的膠泥板上刻寫而成的，由於字體為楔形筆劃，故稱之為楔形文字泥板，從19世紀前期至今，相繼出土了這種泥板有50萬塊之多。它們分別屬於公元前2100年蘇美爾文化末期，公元前1790年至公元前1600年間漢莫拉比時代和公元前600年至公元300年間新巴比倫帝國及隨後的波斯、塞流西得時代。其中，大約有300至400塊是數學泥板，數學泥板中又以數表居多，據信這些數學表是用來運算和解題的。這些古老的泥板，現在散藏於世界各地許多博物館，並且被一一編號，成為我們研究巴比倫數學最可靠的資料。巴比倫數學從整體上講比古埃及數學高明，古巴比倫人採用60進位制記數法，並計算出倒數表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似為1.414213...。巴比倫的代數有相當水平，他們用語言文字敘述方程問題及其解法，常用特殊的「長」、「寬」、「面積」等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的問題之外，也有一些數論性質的問題。巴比倫的幾何似乎沒有古埃及的幾何那麼重要，只是收羅了一些計算簡單圖形的面積、體積的法則，也許他們只是在解決實際問題時才搞點幾何。此外，巴比倫數學中有很明顯的商業、農業和天文的應用背景。
我們可以說，在人類早期數學知識積累過程中，由於計數物件的需要，產生了自然數，隨著記數法的產生和發展，逐漸形成了運算，導致算術的產生；由於計量實物的需要，產生了簡單的幾何，隨著農業、建築業、手工業及天文觀測的發展，逐漸積累了有關這些的基本性質和相互關系的經驗知識，於是幾何學萌芽了；由於商業計算、工程計算、天文的需要，在算術計算技巧的基礎上，逐漸積累起代數學基本知識。但是，在這個階段上，直到公元前6世紀，無論如何也找不到我們今天所謂的「理性的數學」，而只是一種初級的「經驗的數學」。
表示一個多位數字時，採用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間［法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當］，並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。
在幾何學方面《史記．夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理［西方稱畢氏定理］的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規范，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。
此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。
漢唐初創時期
這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展，所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。
西漢末年［公元前一世紀］編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。
《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年［公元前一世紀］。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的演算法。
南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題，導致求解一次同餘組問題；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。 祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖 日桓定理［冪勢既同，則積不容異］並得到球體積公式；(3)發展了二次與三次方程的解法。
唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》［包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》］，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。
宋元全盛時期
唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀［宋、元兩代］，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章演算法細草》［11世紀中葉］，劉益的《議古根源》［12世紀中葉］，秦九韶的《數書九章》［1247］，李冶的《測圓海鏡》［1248］和《益古演段》［1259］，楊輝的《詳解九章演算法》［1261］、《日用演算法》［1262］和《楊輝演算法》［1274-1275］，朱世傑的《算學啟蒙》［1299］和《四元玉鑒》［1303］等等。
高次方程數值解法； 天元術與四元術，即高次方程的立法與解法，是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題；
大衍求一術，即一次同餘式組的解法，現在稱為中國剩餘定理；
招差術和垛積術，即高次內插法和高階等差級數求和。
另外，其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖［幻方］的研究、小數［十進分數］具體的應用、珠算的出現等等。
這一時期民間數學教育也有一定的發展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。
西學輸入時期
這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等復雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末，中國的近代數學研究才真正開始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指演算法統宗》［1592］問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。
隋及唐初，印度數學和天文學知識曾傳入中國，但影響較細。到了十六世紀末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是義大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷［1607］，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》［2卷，1631］、《割圓八線表》［6卷］和羅雅谷的《測量全義》［10卷，1631］。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》［137卷，1629-1633］中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。
入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國紮根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。
清康熙帝愛好科學研究，他「御定」的《數理精蘊》［53卷，1723］，是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。
在研究傳統數學時，許多數學家還有發明創造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》［約1859］中得到三角自乘垛求和公式，現在稱之為「李善蘭恆等式」。這些工作較宋元時期的數學進了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學家和數學家傳記《疇人傳》46卷［1795-1810］，開數學史研究之先河。
1840年鴉戰爭後，閉關鎖國政策被迫中止。同文館內添設「算學」，上海江南製造局內添設翻譯館，由此開始第二次翻譯引進的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》後9卷［1857］，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數學》13卷［1859］；《代微積拾級》18卷［1859］。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數術》25卷［1872］，《微積溯源》8卷［1874］，《決疑數學》10卷［1880］等。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今仍在應用。
1898年建立京師大學堂，同文館並入。1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其他各國相仿。
近現代數學發展時期
這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。
中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來［1915年轉留法］，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學［今南京大學］和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵［1927］、陳省身［1934］、華羅庚［1936］、許寶騄［1936］等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素［1920］，美國的伯克霍夫［1934］、奧斯古德［1934］、維納［1935］，法國的阿達馬［1936］等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。
但
趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數學定理和公式進行證明的數學家之一，其學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。
秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。
Ⅱ 1500字數學的歷史發展小論文。
人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。
實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：
1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。
從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。
說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。
但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。
除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進制最終佔了上風。
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。
隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。
數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。
Ⅲ 「數學的發展史」研究性學習報告
研究報告
開放分類： 學術
課 題 研 究 報 告 寫 作 格 式 簡 介
第一部分 a引言； b慨述； c研究背景和意義； d研究方法和角常； e研究對象與方法；
第二部分 a研究結果； b研究內容及主要成果； c探討與認識； d現狀與問題； e分析與討論
第三部分 a結論； b結論與建議； c研究結論和說明； d建議和展望； e問題與對策；
一、研究報告論文撰寫的意義
研究報告和論文是：
1、研究者思想發展的忠實記錄
2、課題研究水平和價值高低的標志。
3、進行學術交流和科研成果推廣的重要形式。（跨越時空）
4、深化原有研究成果、提高自己研究水平、發展自己的研究能力的又一次重要實踐活動。
二、研究報告的類型和結構
（一）類型
1、實證性研究報告
2、文獻性研究報告
3、理論性研究報告
（二）結構
題目、署名、內容提要和關鍵詞、前言、正文、結論、注釋和參考文獻、附錄
1、實證性研究報告：如教育調查報告、實驗報告、經驗總結報告等。主要是用事實說明問題，材料力求具體典型，翔實可靠、格式規范。這類報告要求通過有關資料、數據及典型事例的介紹和分析，總結經驗，找出規律，指出問題，提出建議。這種研究報告既注重理論，又重視實踐，往往跟接觸性的研究方法有關。
2、文獻性研究報告：主要以文獻情報資料作為研究材料，以非接觸性研究方法為主，以文獻的考證、分析、比較、綜合為主要內容，著重研究教育領域某一方面的信息、進展、動態，以述評、綜述類文章為主要表達形式。一般在教育史學、文獻評論研究中用得較多。
3、理論性研究報告：狹義上的論文。以闡述對某一事物、某一問題的理論認識為主要內容，重在研究對象本質及規律性認識的研究。獨特的看法、創新的見解、深刻的哲理、嚴密的邏輯和個性化的語言風格是其內在特點。理論性研究報告沒有實證研究過程，因此對研究者的邏輯分析能力和思維水平有較高的要求，同時還要具有較高的專業理論素養。
論文有三個最基本的要素：一為論題，即真實性將被驗證(論證)的命題、觀點。論題的主要來源就是研究課題提出的假設及研究對假設驗證的結果。論文最終是要論證論題的真實性而提出明確的論點。二為論據，即證明論題真實性的依據。論據的來源應該是研究過程所獲得的信度、效度高的事實材料包括定性和定量的材料。三為論證，即以論據證明論題的論述過程。論證是文章的結構層次、材料組織的邏輯性和嚴密性、文章思想觀點的正確性和科學性與深刻性、語言表達的准確性、有效性和技巧等各方面的綜合體現。
論文與實證性研究報告有區別，它一般將科研工作中最主要，最精彩和具有創造性的內容和結果加以提煉，用較簡明精煉的語言加以表達，論文不包括過多的具體研究方法和過程，而更強調內容的創新和學術價值。任何研究課題的成果都可以用論文來表達。
三、寫作內容和要求
（一）題目
1、題目的內容
類型、定位、作用
2、寫作要求
標題要准確
標題要新穎
題式可多樣
標題要簡潔
（二）署 名
1、署名的方式
集體署名
個人署名
2、署名的規則
貢獻大小：提出研究設想、承擔研究工作、解決關鍵問題。
慣例
（三）內容提要和關鍵詞
（四）前言
（三）內容提要關鍵詞
1、內容摘要：中心內容、結構及主要論點和評述；要求重點突出，內容精練，觀點明確、一般不用第一人稱，以200---300字為宜。學術論文也不宜超過1000字，有關刊物要有中英文摘要。
2、關鍵詞：必須是規范科學的名詞術語，一般每篇文章有3~5個關鍵詞（主題詞）。屬於支柱性概念。
（四）前言
1、內容：問題的由來；文獻綜述：課題的界定（概念術語的解釋）及問題的陳述；課題研究的理論意義和實踐意義。
2、寫作要求：課題闡述要清楚准確，中心突出；客觀公正、科學准確評價他人的研究成果；簡明扼要介紹課題研究的動機和意義。
（五）正文
1、內容：它必須對研究的內容和方法進行全面的闡述和論證，對研究過程中所獲取的資料進行全面系統的整理和分析，通過圖表、統計結果及文獻資料，或以縱向的發展過程，或橫向類別分析提出論點、分析論據，進行論證。
研究報告又分：1、研究的對象和方法 2、研究的內容和假設 3、研究的步驟及過程 4、研究結果的分析與討論：研究報告的重點部分。A. 結果的定性定量分析，B.研究結果的討論 。
結果分析與討論材料缺乏的原因
研究設計缺乏一種系統觀，討論問題思路狹隘
操作過程不夠到位，操作措施不夠落實，就產生不了深刻的感受和體驗
文獻資料檢索不夠，對他人的研究研究缺乏了解，對自己結果的討論就缺乏客觀性、支持的力度
反映結果的項目指標難以確定
測量的方法與手段較難選擇
數據的處理與分析要求不斷提高
結果分析與討論對研究者理論素養和洞察力要求較高
對下一步的研究提不出發展的方向。
2、寫作要求
2、寫作要求：
總體要求：科學性和創造性；公正性和准確性；學術性和通俗性。
具體要求有：1、掌握材料要充分。2、分析整理要科學。3、圖表使用要恰當。4、觀點材料要統一。5、語言使用要規范。正確區分學術概念和生活概念，口頭語言和書面語言。6、引用論點要慎重。與已一致，佐證；他人觀點中某些好思想，提練綜合；帶有片面性的真理，開拓思維、慎重判斷；相反的權威觀點，找准錯誤所在。（引古不引今，引洋不引中，引刊不引報，引專著不引文集）7、內部邏輯要嚴密。8、標題序號要規范。9、討論部分要簡練。
（六）結論、（七）注釋和參考文獻、（八）附錄
（六）結論
1、內容：整篇報告的概括和小結。成果概括（結論必須指出解決了哪些問題、還有哪些沒有解決？）；今後研究的展望；對教育教學實踐的建議等
2、要求：總結全文，深化主題，揭示規律，指明方向。
（七）注釋和參考文獻
1、內容：書籍、刊物、報紙、網路
2、要求：完整註明出處
（八）附錄：問卷、量表、研究材料、統計數據、方案、計劃等
四、研究報告和論文撰寫
（一）影響研究報告和論文質量的因素
1、研究工作本身
2、研究者的哲學水平和研究素養
3、語言表達能力和寫作水平
（二）寫作步驟
1、確定成果類型及主題——定位。
2、謀篇構思，擬定寫作提綱。
多學科多角度全面分析研究內容，形成盡可能完整的內容框架體系。（放）
選取三特（特長、特色、特點）進行創造性構思，突出重點難點，圍繞中心論點進行系統梳理。（收）
照顧文章結構比例的勻稱性，進行適當的內容調整。
擬定寫作提綱：句子提綱、標題提綱、段落提綱、圖表式提綱。
3、初稿寫作
1）有話想說
2）無話可說
忘
回
跳
3）有話能說
4、修改定稿
1）關注三類問題：
全局性問題
局部性問題
細節性問題
2） 修改方法：
存放－冷卻－補正修改法
邊寫邊改－氣呵成法
同行交流－導師點評－自我修改法。
五、文章的類型和投稿策略
（一）文章的類型
抄
湊
合
流
（二）投稿的策略：
1、了解雜志特色：編輯方向、體裁風格、開設欄目、作者群體
2、因稿論嫁，從一而終；多次強化，終結善果。
3、集中一點，挖深挖透，成小專家，專家小成。
六、教師在研究寫作過程中出現的問題
一）選題：
過大、過空、過泛，缺乏實效性
追風現象明顯
命題作文、應景作文現象明顯，敷衍應付行為居多
二）寫作
文章類型體裁選擇定位不準確；
破題困難，不能抓住切入點和結合點契合點
中心不明確，重點不突出
概念界定不清晰，劃分不統一、不窮盡；基本概念術語理解不透，空話套話比較多，胡亂套用現象明顯；
缺乏系統觀和整體觀，思維方式滿足於簡單的羅列和枚舉，出現跳躍性思維、遊走式思維，腳踩西瓜皮，滑到那兒算那兒；
結構混亂，思路不清；理論推導缺乏，理論體系構建困難；
局限於個人的體驗和感受，跟著感覺走；沒有將理論與實踐進行有意的印證，出現理論與實踐分離，論點和案例脫節的現象，且缺乏對案例的必要分析；
資料收集、綜合分析意識淡漠；收集不全面充分，觀點材料不統一；
材料取捨比較困難；數據處理不科學，分析水平比較簡單原始；
治學態度不嚴謹，結論推斷比較隨意，缺乏足夠必要的實證研究數據支撐，往往憑感覺經驗下結論；
語言拼湊痕跡明顯，一味追求對仗工整，明顯有文學化傾向；語言表達不流暢；標題冗長，不夠簡潔明了
原因
理論學習動力不足，沒有真下功夫；存在知識性缺陷，忽略條件性和方法性知識的學習
理論底蘊不扎實，綜合分析能力欠缺；手段、措施——條件——目標之間缺乏合理構建，應然與實然、理念、經驗與行為之間缺乏必要的聯結；
研究動態現狀了解不夠；難以把握研究的重點難點和關鍵；很難抓住源頭問題做文章；容易出現重心偏移、定位不準的現象；
對自身教學經驗反思不夠，理論與經驗的契合點抓不準；經驗不能升華為理論；
研究設計不科學、過程不落實，操作隨意性大，缺乏具體的抓手、切實可行的措施。
怎樣撰寫教育科學研究報告
（一）教育科學研究報告的類型
教育科學研究報告是教育科學研究成果的重要表現形式，也是揭示教育規律的主要形式。
教育科學研究報告就其內容和寫作形式分為：論述性研究報告、描述性研究報告、實證性或實驗性研究報告和文獻資料研究報告等四個類別。
論述性研究報告:這是一種旨在闡明研究對象的本質及其規律性的研究報告。
描述性研究報告:這是一種旨在說明研究對象是什麼，發生了什麼的研究報告。
實證性、實驗性研究報告:這是一種旨在用事實說明現象或事物之間相互關系，互為因果，以及現象為什麼發生，怎麼能發生的研究報告。
文獻資料研究報告:這是一種旨在以口頭、文字、音像等資料為基礎，分析、辨明某一方面研究的信息、水平、進程、爭議、趨勢等的研究報告。
（二）教育科學研究報告的基本組成部分
l、全文提要：提要就是研究工作的概述；必須能夠准確地反映報告的內容和目的，文字清晰易讀，要力求忠實於報告，並要避免評述。其字數以250-300字為適宜，至多也不要超過600字。
2、研究的目的和意義。
3、研究工作的簡單過程。
4、研究的對象、范圍和方法等。
5、國內外前人這個問題上，所做的工作情況簡介。
6、研究結果的分析，這一部分是報告的核心，它的撰寫工作，要根據研究的假設或研究的目的，作一番清晰描述，也就是對研究結果的描述。 這一部分除了用文字敘述外，還可藉助圖表的設計，把結果顯示出來，從中可以更清晰、直觀地體現重要的研究結果。
7、討論：討論就是對研究的分析是否恰當，不要之處。應提出修正。
8、結論：必須是根據充實的材料與分析的結果，說明結論的可靠度。
9、建議，除與教育科學研究論文的建議相同的要求外，還應注意兩點。一是要根據研究的結論，針對研究的問題有頭的現狀，提出改革的建議，以供有頭部門選擇。建議的內容不能與報告的結論無關，否則便失去意義和價值。建議的表達方式，應留有餘地，不要過於武斷，或摻雜個人的情緒作用等。二是對進一步開展研究工作的建議，應指出進一步研究的必要性和可能性，未來的研究有待改進的地方，尚待深入研究的有關問題等，可為後人的研究，提供參考。
（三）撰寫教育科研報告的幾條基本原則
為了以個性透視共性，這里主要介紹實證性研究報告的寫作，掌握了這類報告的「個性」，那末教育科學研究報告的「共性」也就不難領會了。
怎樣撰寫好實證性研究報告呢？下面先說幾條基本原
1、誰要以事實為依據 研究報告中列舉的全部數據和例子，都應該是千真萬確的事實，絕不可有半點虛假，不能編造，不能無中生有。報告中對教育現象的因果關系分析，對教育原理和規律的探索，也都要以事實為依據。科學研究報告中的每一句帶有判定性的話．都必須在足夠的、可信的、有說服力的事實基礎上得出。當然，科學研究報告中也必須把研究問題時所需要的大量事實材料跟撰寫報告時應引用的最有說服力的事實材料區分開來。有些事實材料，如與研究的主題扣得不緊，應當忍痛割愛；有些事實材料，應當盡量製作成表格、圖例以及其它直觀形式。
2、內容的闡述有邏輯性 實證性研究報告的內容闡述與研究工作的邏輯發展順序是大體一致的，為了確保研究報告的邏輯性，我們應當首先考慮整個研究工作的發展順序，然後再考慮報告的表達方式。研究報告內容的邏輯性是整個研究思路邏輯性的寫照，沒有一個好的研究基礎，好的科研報告是怎麼也寫不出來的。 科學研究報告必須絕對如實地反映客觀情況，一切敘述、說明、推斷、引用，必須恰如其分。文字、用詞應力求准確。概念表述應盡量用科學性用語，避免用常識性用語，以免讀者費解或產生歧義。當然，研究報告的文字也必須簡單、明了、通順、流暢，既要明白如話，又要把研究的效果准確地、科學地表達出來。
3、引用文獻資料要註明出處 在教育科研報告中完全可以引用，採納別人的科學研究成果，但必須尊重別人的勞動。一方面應實事求是地評價，實實在在地引用；另一方面，不應當把別人的成就變為自己的東西。所以在研究報告中凡有引用別人的材料、研究成果或觀點性詞語，必須加以注釋或說明，以向讀者示知成果界限。
Ⅳ 求高中數學研究性學習《數學的發展歷史》課題背景以及課題目的,急用.
研究數學發展歷史的學科，是數學的一個分支，也是自然科學史研究下屬的一個重要分支。和所有的自然科學史一樣，數學史也是自然科學和歷史科學之間的交叉學科。數學史研究所使用的方法主要是歷史科學的方法，在這一點上，它與通常的數學研究方法不同。它研究的對象是數學發展的歷史，因此它與通常歷史科學研究的對象又不相同。具體地說，它所研究的內容是：
①數學史研究方法論問題；②總的學科發展史——數學史通史；③數學各分支的分科史（包括細小分支的歷史）;④不同國家、民族、地區的數學史及其比較;⑤不同時期的斷代數學史;⑥數學家傳記;⑦數學思想、數學概念、數學方法發展的歷史；⑧數學發展與其他科學、社會現象之間的關系；⑨數學教育史；⑩數學史文獻學；等等。按其研究的范圍又可分為內史和外史。
內史 從數學內在的原因（包括和其他自然科學之間的關系）來研究數學發展的歷史；
外史 從外在的社會原因（包括政治、經濟、哲學思潮等原因）來研究數學發展與其他社會因素間的關系。
數學史和數學研究的各個分支，和社會史與文化史的各個方面都有著密切的聯系，這表明數學史具有多學科交叉與綜合性強的性質。
人們研究數學史的歷史，由來甚早。古希臘時就曾有人寫過一部《幾何學史》，可惜未能流傳下來,但在5世紀普羅克洛斯對歐幾里得《幾何原本》第一卷的注文中還保留有一部分資料。中世紀阿拉伯國家的一些傳記作品和數學著作中，曾講述到一些數學家的生平以及其他有關數學史的材料。12世紀時，大量的古希臘和中世紀阿拉伯數學書籍傳入西歐。這些著作的翻譯既是當時的數學研究，也是對古典數學著作的整理和保存。
近代西歐各國的數學史研究，是從18世紀，由J.É.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特納同時開始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《數學史》（1799～1802年又經J.de拉朗德增補）為代表。從19世紀末葉起，研究數學史的人逐漸增多,斷代史和分科史的研究也逐漸展開,1945年以後，更有了新的發展。19世紀末葉以後的數學史研究可以分為下述幾個方面。
①通史研究 代表作可以舉出M.B.康托爾的《數學史講義》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919)、D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亞（3卷，1929～1933）等人的著作。法國的布爾巴基學派也寫了一部數學史收入《數學原理》叢書之中。以尤什凱維奇為代表的蘇聯學者和以彌永昌吉、伊東俊太郎為代表的日本學者也都有多卷本數學通史出版。1972年美國M.克萊因所著《古今數學思想》一書，被認為是70年代以來的一部佳作。
②古希臘數學史 許多古希臘數學家的著作被譯成現代文字，在這方面作出了成績的有J.L.海貝格、胡爾奇、T.L.希思等人。洛里亞和希思還寫出了古希臘數學通史。20世紀30年代起，著名的代數學家范·德·瓦爾登在古希臘數學史方面也作出成績。60年代以來匈牙利的A.薩博的工作則更為突出，他從哲學史出發論述了歐幾里得公理體系的起源。
③古埃及和巴比倫數學史 把巴比倫楔形文字泥板算書和古埃及紙草算書譯成現代文字是艱難的工作。查斯和阿奇博爾德等人都譯過紙草算書，而諾伊格鮑爾鍥而不舍數十年對楔形文字泥板算書的研究則更為有名。他所著的《楔形文字數學史料研究》（1935、1937）、《楔形文字數學書》（與薩克斯合著，1945）都是這方面的權威性著作。他所著《古代精密科學》(1951)一書，匯集了半個世紀以來關於古埃及和巴比倫數學史研究成果。范·德·瓦爾登的《科學的覺醒》(1954)一書，則又加進古希臘數學史，成為古代世界數學史的權威性著作之一。
④斷代史和分科史研究 德國數學家（C.）F.克萊因著的《19世紀數學發展史講義》(1926～1927)一書，是斷代體近現代數學史研究的開始，它成書於20世紀，但其中所反映的對數學的看法卻大都是19世紀的。直到1978年法國數學家J.迪厄多內所寫的《1700～1900數學史概論》出版之前，斷代體數學史專著並不多，但卻有（C.H.）H.外爾寫的《半個世紀的數學》之類的著名論文。對數學各分支的歷史，從數論、概率論，直到流形概念、希爾伯特23個數學問題的歷史等，有多種專著出現，而且不乏名家手筆。許多著名數學家參預數學史的研究,可能是基於（J.-）H.龐加萊的如下信念,即:「如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀」，或是如H.外爾所說的：「如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立的和發展的概念方法和結果，我們就不可能理解近50年來數學的目標，也不可能理解它的成就。」
⑤歷代數學家的傳記以及他們的《全集》、《選集》的整理和出版 這是數學史研究的大量工作之一。此外還有多種《數學經典論著選讀》出現，輯錄了歷代數學家成名之作的珍貴片斷。
⑥專業性學術雜志 最早出現於19世紀末，M.B.康托爾（1877～1913，30卷）和洛里亞（1898～1922，21卷）都曾主編過數學史雜志，最有名的是埃內斯特勒姆主編的《數學寶藏》（1884～1915，30卷）。現代則有國際科學史協會數學史分會主編的《國際數學史雜志》。
中國以歷史傳統悠久而著稱於世界，在歷代正史的《律歷志》「備數」條內常常論述到數學的作用和數學的歷史。例如較早的《漢書·律歷志》說數學是「推歷、生律、 制器、 規圓、矩方、權重、衡平、准繩、嘉量，探賾索穩,鉤深致遠,莫不用焉」。《隋書·律歷志》記述了圓周率計算的歷史，記載了祖沖之的光輝成就。歷代正史《列傳》中，有時也給出了數學家的傳記。正史的《經籍志》則記載有數學書目。
在中國古算書的序、跋中，經常出現數學史的內容。如劉徽注《九章算術》序 (263)中曾談到《九章算術》形成的歷史；王孝通「上緝古算經表」中曾對劉徽、祖沖之等人的數學工作進行評論；祖頤為《四元玉鑒》所寫的序文中講述了由天元術發展成四元術的歷史。宋刊本《數術記遺》之後附錄有「算學源流」,這是中國,也是世界上最早用印刷術保存下來的數學史資料。程大位 《演算法統宗》(1592)書末附有「算經源流」,記錄了宋明間的數學書目。
以上所述屬於零散的片斷資料，對中國古代數學史進行較為系統的整理和研究，則是在乾嘉學派的影響下，在清代中晚期進行的。主要有：①對古算書的整理和研究，《算經十書》(漢唐間算書)和宋元算書的校訂、注釋和出版，參預此項工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈欽裴(1829年校算《四元玉鑒》)、羅士琳(1789～1853)等人。②編輯出版了《疇人傳》（數學家和天文學家的傳記），它「肇自黃帝，迄於昭（清）代，凡為此學者，人為之傳」，它是由阮元、李銳等編輯的(1795～1799)。其後，羅士琳作「補遺」(1840)，諸可寶作《疇人傳三編》（1886），黃鍾駿又作《疇人傳四編》(1898)。《疇人傳》，實際上就是一部人物傳記體裁的數學史。收入人物多，資料豐富，評論允當，它完全可以和蒙蒂克拉的數學史相媲美。
利用現代數學概念，對中國數學史進行研究和整理，從而使中國數學史研究建立在現代科學方法之上的學科奠基人，是李儼和錢寶琮。他們都是從五四運動前後起，開始搜集古算書,進行考訂、整理和開展研究工作的。經過半個多世紀,李儼的論文自編為《中算史論叢》(1～5集，1954～1955),錢寶琮則有《錢寶琮科學史論文集》(1984)行世。從20世紀30年代起，兩人都有通史性中國數學史專著出版，李儼有《中國算學史》(1937)、《中國數學大綱》（1958）；錢寶琮有《中國算學史》（上，1932）並主編了《中國數學史》(1964)。錢寶琮校點的《算經十書》(1963)和上述各種專著一道，都是權威性著作。
從19世紀末，即有人（偉烈亞力、赫師慎等）用外文發表中國數學史方面的文章。20世紀初日本人三上義夫的《數學在中國和日本的發展》以及50年代李約瑟在其巨著《中國科學技術史》(第三卷)中對中國數學史進行了全面的介紹。有一些中國的古典算書已經有日、英、法、俄、德等文字的譯本。在英、美、日、俄、法、比利時等國都有人直接利用中國古典文獻進行中國數學史的研究以及和其他國家和地區數學史的比較研究。
Ⅳ 從數學的發展歷史來看，數學的研究對象各個階段有哪些
數學發展具有階段性，因此根據一定的原則把數學史分成若干時期。目前通常將數學發展劃分為以下五個時期：
1．數學萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；
3．變數數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；
4．近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；
5．現代數學時期（20世紀40年代以來）
在數學萌芽期這一時期，數學經過漫長時間的萌芽階段，在生產的基礎上積累了豐富的有關數和形的感性知識。到了公元前六世紀，希臘幾何學的出現成為第一個轉折點，數學從此由具體的、實驗的階段，過渡到抽象的、理論的階段，開始創立初等數學。此後又經過不斷的發展和交流，最後形成了幾何、算術、代數、三角等獨立學科。世界上最古老的幾個國家都位於大河流域：黃河流域的中國；尼羅河下游的埃及；幼發拉底河與底格里斯河的巴比倫國；印度河與恆河的印度。這些國家都是在農業的基礎上發展起來的，因此他們就必須掌握四季氣候變遷的規律。
現在對於古巴比倫數學的了解主要是根據巴比倫泥版，這些數學泥版表明，巴比倫自公元前2000年左右即開始使用60進位制的記數法進行較復雜的計算了，並出現了60進位的分數，用與整數同樣的法則進行計算；已經有了關於倒數、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數表；藉助於倒數表，除法常轉化為乘法進行計算。巴比倫數學具有算術和代數的特徵，幾何只是表達代數問題的一種方法。這時還沒有產生數學的理論。對埃及古代數學的了解，主要是根據兩卷紙草書。從這兩卷文獻中可以看到，古埃及是採用10進位制的記數法。埃及人的數學興趣是測量土地，幾何問題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉的容積和有關金字塔的簡易計演算法。但是由於這些計演算法是為了解決尼羅河泛濫後土地測量和穀物分配、容量計算等日常生活中必須解決的課題而設想出來的，因此並沒有出現對公式、定理、證明加以理論推導的傾向。埃及數學的一個主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發展。由於地理位置和自然條件，古希臘受到埃及、巴比倫這些文明古國的許多影響，成為歐洲最先創造文明的地區。
希臘的數學是輝煌的數學，第一個時期開始於公元前6世紀，結束於公元前4世紀。泰勒斯開始了命題的邏輯證明，開始了希臘偉大的數學發展。進入公元前5世紀，愛利亞學派的芝諾提出了四個關於運動的悖論，柏拉圖強調幾何對培養邏輯思維能力的重要作用，亞里士多德建立了形式邏輯，並且把它作為證明的工具；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構成。第二個時期自公元前4世紀末至公元1世紀，這時的學術中心從雅典轉移到了亞歷山大里亞，因此被稱為亞歷山大里亞時期。這一時期有許多水平很高的數學書稿問世，並一直流傳到了現在。公元前3世紀，歐幾里得寫出了平面幾何、比例論、數論、無理量論、立體幾何的集大成的著作幾何原本，第一次把幾何學建立在演繹體繫上，成為數學史乃至思想史上一部劃時代的名著。之後的阿基米德把抽象的數學理論和具體的工程技術結合起來，根據力學原理去探求幾何圖形的面積和體積，奠定了微積分的基礎。阿波羅尼寫出了《圓錐曲線》一書，成為後來研究這一問題的基礎。公元一世紀的赫倫寫出了使用具體數解釋求積法的《測量術》等著作。二世紀的托勒密完成了到那時為止的數理天文學的集大成著作《數學匯編》，結合天文學研究三角學。三世紀丟番圖著《算術》，使用簡略號求解不定方程式等問題，它對數學發展的影響僅次於《幾何原本》。希臘數學中最突出的三大成就--歐幾里得的幾何學，阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論，標志著當時數學的主體部分--算術、代數、幾何基本上已經建立起來了。
羅馬人征服了希臘也摧毀了希臘的文化。公元前47年，羅馬人焚毀了亞歷山大里亞圖書館，兩個半世紀以來收集的藏書和50萬份手稿競付之一炬。
從5世紀到15世紀，數學發展的中心轉移到了東方的印度、中亞細亞、阿拉伯國家和中國。在這1000多年時間里，數學主要是由於計算的需要，特別是由於天文學的需要而得到迅速發展。古希臘的數學看重抽象、邏輯和理論，強調數學是認識自然的工具，重點是幾何；而古代中國和印度的數學看重具體、經驗和應用，強調數學是支配自然的工具，重點是算術和代數。
印度的數學也是世界數學的重要組成部分。數學作為一門學科確立和發展起來。印度數學受婆羅門教的影響很大，此外還受希臘、中國和近東數學的影響，特別是受中國的影響。
此外，阿拉伯數學也有著舉足輕重的作用，阿拉伯人改進了印度的計數系統，"代數"的研究對象規定為方程論；讓幾何從屬於代數，不重視證明；引入正切、餘切、正割、餘割等三角函數，製作精密的三角函數表，發現平面三角與球面三角若乾重要的公式，使三角學脫離天文學獨立出來。
在我國，春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。魏、晉時期趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。這之後，我國數學經過像秦九邵、祖沖之、郭守敬、程大位這樣的數學家進一步發展了我國的數學事業。
在西歐的歷史上，中世紀的黑暗在一定程度上阻礙了數學的發展，15世紀開始了歐洲的文藝復興，使歐洲的數學得以進一步發展，15世紀的數學活動集中在算術、代數和三角方面。繆勒的名著《三角全書》是歐洲人對平面和球面三角學所作的獨立於天文學的第一個系統的闡述。16世紀塔塔利亞發現三次方程的代數解法，接受了負數並使用了虛數。16世紀最偉大的數學家是偉達，他寫了許多關於三角學、代數學和幾何學的著作，其中最著名的《分析方法入門》改進了符號，使代數學大為改觀；斯蒂文創設了小數。17世紀初，對數的發明是初等數學的一大成就。1614年，耐普爾首創了對對數，1624年布里格斯引入了相當於現在的常用對數，計算方法因而向前推進了一大步。至此，初等數學的主體部分--算術、代數與幾何已經全部形成，並且發展成熟。
變數數學時期從17世紀中葉到19世紀20年代，這一時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。這一時期的主要成果是解析幾何、微積分、高等代數等學科。
17世紀是一個開創性的世紀。這個世紀中發生了對於數學具有重大意義的三件大事。 首先是伽里略實驗數學方法的出現，它表明了數學與自然科學的一種嶄新的結合。其特點是在所研究的現象中，找出一些可以度量的因素，並把數學方法應用到這些量的變化規律中去。第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學》於1637年發表。它引入了運動著的一點的坐標的概念，引入了變數和函數的概念。由於有了坐標，平面曲線與二元方程之間建立起了聯系，由此產生了一門用代數方法研究幾何學的新學科--解析幾何學。這是數學的一個轉折點，也是變數數學發展的第一個決定性步驟。第三件大事是微積分學的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成的。他們認識到微分和積分實際上是一對逆運算，從而給出了微積分學基本定理，即牛頓-萊布尼茲公式。17世紀的數學，發生了許多深刻的、明顯的變革。在數學的活動范圍方面，數學教育擴大了，從事數學工作的人迅速增加，數學著作在較廣的范圍內得到傳播，而且建立了各種學會。在數學的傳統方面，從形的研究轉向了數的研究，代數占據了主導地位。在數學發展的趨勢方面，開始了科學數學化的過程。最早出現的是力學的數學化，它以1687年牛頓寫的《自然哲學的數學原理》為代表，從三大定律出發，用數學的邏輯推理將力學定律逐個地、必然地引申出來。18世紀數學的各個學科，如三角學、解析幾何學、微積分學、數論、方程論，得到快速發展。19世紀20年代出現了一個偉大的數學成就，它就是把微積分的理論基礎牢固地建立在極限的概念上。柯西於1821年在《分析教程》一書中，發展了可接受的極限理論，然後極其嚴格地定義了函數的連續性、導數和積分，強調了研究級數收斂性的必要，給出了正項級數的根式判別法和積分判別法。而在這一時期，非歐幾何的出現，成為數學史上的一件大事，非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和准備。這時人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何--非歐幾何。非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終於開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質。非歐幾何的發現，黎曼和羅巴切夫斯基功不可滅，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域--黎曼幾何學。後來，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數--四元數代數。不可交換代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數的大門。另一方面，由於一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅瓦開創了近世代數學的研究。這時，代數學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，並漸漸轉向代數系統結構本身的研究。19世紀還發生了第三個有深遠意義的數學事件：分析的算術化。1874年威爾斯特拉斯提出了被稱為"分析的算術化"的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然後分析的所有概念應該由此數系導出。19世紀後期，由於狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。
20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。1945年，第一台電子計算機誕生以後，由於電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。計算機的出現更是促進了數學的發展，使數學分為了三個領域，純粹數學，計算機數學，應用數學。 現代數學雖然呈現出多姿多彩的局面，但是它的主要特點可以概括如下：(1)數學的對象、內容在深度和廣度上都有了很大的發展，分析學、代數學、幾何學的思想、理論和方法都發生了驚人的變化，數學的不斷分化，不斷綜合的趨勢都在加強。(2)電子計算機進入數學領域，產生巨大而深遠的影響。(3)數學滲透到幾乎所有的科學領域，並且起著越來越大的作用，純粹數學不斷向縱深發展，數理邏輯和數學基礎已經成為整個數學大廈基礎。
Ⅵ "數學的發展史"的課題研究方案
數學的生命力在於應用，交叉科學要靠數學大家來完成。變數與隨機變數的聯系與區別，
Ⅶ 研究性課題：數學的發展歷史
這個不了解。
Ⅷ 從數學的發展歷史來看,數學的研究對象各個階段有哪些
1、數學發生圖
數學可分為五大學科：純粹（基礎）數學、應用數學、計算數學、運籌與控制、概率論與數理統
計。
應用數學則以以上數學為綜合理論基礎，可分為：價值數學、運籌學、數理統計學、系統科
學、決策論等。目前又發展出混沌、小波變換、分形幾何等。
2、算術：人類逐步有了數的概念，由自然數開始。由於人有十個手指，所以多數民族建立了十進位制的自然數表示方法。二十個一組的太多太大，不能一目瞭然，還要用上腳趾，五個一組又太少，使組數太多，十個一組是比較會讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數法、希臘記數法、羅馬記數法、中國記數法，發展進步了5000年後，印度人第一次發明了零，零加自然數稱為為整數，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯數字。計算機的出現又需要二進位制，就是近幾十年的事了。
算術運算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導致了分數的出現，以十、百等為分母的除法，簡化表達就是
小數和循環小數。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現了負數，以上這些數放在一起，
就是有理數，可以表示在一個數軸上。人們曾經很長時間以為數軸上的數都是有理數，後來有人發現，正方形的邊是1，它的對角線長度就無法用有理數表示，用園規在數軸上找到那個對應點就是無理數的點，這是第一次數學危機。1761年德國物理學家和數學家蘭伯盧格嚴格證明了
π也是一個無理數，這樣把無理數包入之後，有理數與無理數統稱為實數，數軸也稱之為實數軸。後來人們發現，如果在實數軸上隨機的抽取，得到有理數的概率幾乎是零，得到無理數的概率幾乎是1，無理數比有理數多得多。為什麼會如此，因為我們生活的這個客觀世界，本來就是無理的多過有理的。為了解決負數的開平方是什麼，16世紀出了虛數i，虛軸與實軸垂直交叉形成一個復平面，數也發展成為由虛部和實部組成的復數。數的概念會不會繼續發展，我們試目以待。
3、代數：對實數的運算進入代數學階段，有「加、減、乘、除、乘方、開方、指數、對數」八則，用符號代表數，列出方程，求解方程成了比算術更有力的武器。這個時期稱為初等數學，從5世紀一直到17世紀，大約持續了一千多年。初等數學是常數的數學。對一組數群體性質的研究就導
致線性代數。
4、幾何：以上是研究數的，在研究形方面也平行的發展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構建了幾何學是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經與目前中學幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質，在計算復雜圖形的面積時，接近了高等數學。還初步了解到三角函數的值。在幾何學方面，後來進一步發展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓撲學等分支。 直到17世紀，笛卡爾的工作終於把平行發展的代數與幾何聯系起來，除建立了平面坐標系之外，還完善了目前通行的符號運算系統。
5、變數數學 ： 變化著的量以及它們間的依賴關系，產生了變數與函數的概念，研究函數的領域叫數學分析，其主要內容是微積分，牛頓由物理力學推動了微積分的產生，萊布尼茲從數學中求曲線多邊形的面積出發推動了微積分的發現，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號的記法，都是萊布尼茲最先採用的。他們都運用了極限的概念和無窮小的分析方法。 有了微積分，一系列分支出現了，如級數理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級數是無窮項數列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數而是函數，多元的情況下就出現了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關於曲線和曲面的一般理論，將實數分析的方法推廣到復數域中就產生了復變函數論。
6、概率論和數理統計 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機現象，其中存在很多不確定的、不可預測的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產生了概率論及其統計學等相關分枝。
7、模糊數學 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是「准確」的量，但自然界中存在大量的不準確現象，人為地准確化只能使我們對客觀世界的描述變得不準確。「乏晰數學」Fuzzy就是以這種思想觀點和方法研究問題的數學。
Ⅸ 數學小課題研究報告
一、選題的目的與意義
我們原有的數學課堂教學在新一輪課程改革大潮的沖擊下，逐漸顯露出它對促進學生可持續發展的無耐和乏力。在這種形勢下，我們教育工作者渴求有力的支撐。無論從何種角度講，我們都呼喚並迫切的想找到一把能解開這種困惑的鑰匙。隨著新課程的縱深推進，我們開始了基礎教育新課程教學策略的研究，我們經歷了艱難的摸索，在各種形式、各個層面的推敲和論證下，最終將研究的目標鎖定在數學「小課題」研究
二組織形式的封閉性呼喚「小課題」研究來打破。我們的組織形式採用的是「班級授課制」
三數學學習的價值需要「小課題」研究來體現。學生學習數學最為重要的價值莫過於「認識數學與生活的聯系」和「思考」。
二、課題的研究內容
小課題研究生成問題的途徑有：途徑一：教師開發教材資源而設定的。在我們的教材中就蘊藏著大量的小課題研究內容。因此，在小課題研究開展的初期階段，為了保證所選課題有可研究的價值，實施時切實可行，由老師結合教材內容開發資源、設定選題是一個較為便捷的途徑。途徑二：學生從生活中提煉出來的。由學生提煉的前提必須是學生在進行了一段小課題的研究後，漸漸地養成了「學數學看生活，生活中想數學」思維習慣才能進行的。學生觀察生活的角度與成人不盡相同，來自他們的靈感更鮮活，他們在生活中引發的思考都有可能成為他們小課題研究的目標。小課題學習是一種研究性學習，它具有以下幾個特點：
⑴專題性。
⑵開放性。
⑶主體性
⑷實踐性。
三、課題的價值
一培養信息收集和處理的能力。從認知心理的角度看，學生開展學習的過程，實質上就是信息處理的過程。「小課題研究」是圍繞一個需要解決的問題展開，以解決問題結束，在整個過程中，如何多渠道收集資料、整理資料，尤其是在一個開放的環境中如何自主收集和處理加工信息是個關鍵。
二提高應用知識的能力。「小課題研究」中學生圍繞某個感興趣的主題展開學習活動，需要學生去應用、分析、綜合、評價知識，每個主題所包含的知識並不是唯一的、確定的，而是一種動態性的知識，所以學生盡可以發揮自己的聰明才智，從多種角度進行發散性、批判性思考，從而增強學生自身的創造性，提高綜合運用知識的能力。
三獲得親身參與探究的積極體驗。「小課題研究」的過程也是情感活動的過程，一般來說，學生在課題學習中的成果往往是個人或同伴知識基礎上的創新，達不到原始創新。因此，重要的是通過讓學生自主參與類似於科學家探索的活動來獲得體驗，逐步形成一種日常學習與生活中喜愛質疑、樂於探索、努力求知的心理傾向。
四學會溝通與合作。「小課題研究」的過程是一個人際溝通與作用的過程，要完成一個課題，不僅需要自身的積極探索，更需要小組成員的共同努力，相互幫助，培養學生樂於合作的團隊精神和交往能力至關重要。
四、研究基礎
課題組成員曾經參與小學生數學綜合實踐活動教材的編寫工作，對數學活動課程有著較深的研究。數學實踐活動雖不同於「小課題」研究，但長期的研究積累，為研究小學數學中高年級學生「小課題」研究提供了許多可以值得參考的理論基礎和依據。
課題組成員多年來一直從事小學數學中高年級教學工作，積極指導學生參加數學興趣小組活動，對數學「小課題」進行過長期的實踐與探索。所輔導的學生曾經連續五年在省數學「探索」與「應用」技能大賽中榮獲團體獎桂冠，輔導的學生有多篇數學小論文在省級報刊發表，這些教學實踐都為「小課題」研究工作積累了豐富的經驗基礎。