20世紀數值分析發展歷史

① 高等代數的發展史

在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而二次以上方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變數論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。高次方程組（即非線性方程組）發展成為一門比較現代的數學理論－代數幾何。
線性代數是高等代數的一大分支。我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程及線性運算的代數就叫做線性代數。在線性代數中最重要的內容就是行列式和矩陣。行列式和矩陣在十九世紀受到很大的注意，而且寫了成千篇關於這兩個課題的文章。向量的概念，從數學的觀點來看不過是有序三元數組的一個集合，然而它以力或速度作為直接的物理意義，並且數學上用它能立刻寫出物理上所說的事情。向量用於梯度，散度，旋度就更有說服力。同樣，行列式和矩陣如導數一樣（雖然『dy/dx』在數學上不過是一個符號，表示包括『Δy/Δx』的極限的長式子，但導數本身是一個強有力的概念，能使我們直接而創造性地想像物理上發生的事情）。因此，雖然表面上看，行列式和矩陣不過是一種語言或速記，但它的大多數生動的概念能對新的思想領域提供鑰匙。然而已經證明這兩個概念是數學物理上高度有用的工具。
線性代數學科和矩陣理論是伴隨著線性系統方程系數研究而引入和發展的。 十七世紀日本數學家關孝和提出了行列式（determinant）的概念，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，意思是「解行列式問題的方法」，書里對行列式的概念和它的展開已經有了清楚的敘述。而在歐洲，另一個提出行列式概念的是德國的數學家，微積分學奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz，1693年）。
1750年克萊姆（Cramer）在他的《線性代數分析導言》（Introction d l'analyse des lignes courbes alge'briques）中發表了求解線性系統方程的重要基本公式（既人們熟悉的Cramer克萊姆法則）。
1764年，Bezout把確定行列式每一項的符號的手續系統化了。對給定了含n個未知量的n個齊次線性方程，Bezout證明了系數行列式等於零是這方程組有非零解的條件。Vandermonde是第一個對行列式理論進行系統的闡述（即把行列式理論與線性方程組求解相分離）的人。並且給出了一條法則，用二階子式和它們的餘子式來展開行列式。就對行列式本身進行研究這一點而言，他是這門理論的奠基人。
參照克萊姆和Bezout的工作，1772年，Laplace在《對積分和世界體系的探討》中，證明了Vandermonde的一些規則，並推廣了他的展開行列式的方法，用r行中所含的子式和它們的餘子式的集合來展開行列式，這個方法如今仍然以他的名字命名。1841年，德國數學家雅可比（Jacobi）總結並提出了行列式的最系統的理論。另一個研究行列式的是法國最偉大的數學家柯西（Cauchy），他大大發展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣並首次採用了雙重足標的新記法，與此同時發現兩行列式相乘的公式及改進並證明了laplace的展開定理。相對而言，最早利用矩陣概念的是拉格朗日（Lagrange）在1700年後的雙線性型工作中體現的。拉格朗日期望了解多元函數的最大、最小值問題，其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法。為了完成這些，他首先需要一階偏導數為0，另外還要有二階偏導數矩陣的條件。這個條件就是今天所謂的正、負的定義。盡管拉格朗日沒有明確地提出利用矩陣。
大約在1800年，高斯（Gauss）提出了高斯消元法並用它解決了天體計算和後來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當地精確位置的應用數學分支稱為測地學。）雖然高斯由於這個技術成功地消去了線性方程的變數而出名，但早在幾世紀中國人的手稿中就出現了解釋如何運用「高斯」消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統。在當時的幾年裡，高斯消去法一直被認為是測地學發展的一部分，而不是數學。而高斯- 約當消去法則最初是出現在由Wilhelm Jordan撰寫的測地學手冊中。許多人把著名的數學家Camille Jordan誤認為是「高斯- 約當」消去法中的約當。
矩陣代數的豐富發展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時間和同一地點相遇。
1848年，英格蘭的J.J. Sylvester首先提出了矩陣（matrix）這個詞，它來源於拉丁語，代表一排數。在1855年矩陣代數得到了Arthur Cayley的進一步發展。Cayley研究了線性變換的組成並提出了矩陣乘法的定義，使得復合變換ST的系數矩陣變為矩陣S和矩陣T的乘積。他還進一步研究了那些包括矩陣的逆在內的代數問題。1858年，Cayley在他的矩陣理論文集中提出著名的Cayley-Hamilton理論，即斷言一個矩陣的平方就是它的特徵多項式的根。利用單一的字母A來表示矩陣是對矩陣代數發展至關重要的。在發展的早期公式
det（AB）=det（A）det（B）為矩陣代數和行列式間提供了一種聯系。數學家Cauchy首先給出了特徵方程的術語，並證明了階數超過3的矩陣有特徵值及任意階實對稱行列式都有實特徵值；給出了相似矩陣的概念，並證明了相似矩陣有相同的特徵值；研究了代換理論。
數學家試圖研究向量代數，但在任意維數中並沒有兩個向量乘積的自然定義。第一個涉及一個不可交換向量積（既V×W不等於W×V）的向量代數是由Hermann Grassmann在他的《線性擴張論》（Die lineale Ausdehnungslehre）一書中提出的（1844）。他的觀點還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結果就是現在稱之為秩數為1的矩陣，或簡單矩陣。在19世紀末美國數學物理學家吉布斯（Willard Gibbs）發表了關於《向量分析基礎》（Elements of Vector Analysis）的著名論述。其後物理學家狄拉克（P.A.M. Dirac）提出了行向量和列向量的乘積為標量。我們習慣的列矩陣和向量都是在20世紀由物理學家給出的。
矩陣的發展是與線性變換密切相連的。到19世紀它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。現代向量空間的定義是由Peano於1888年提出的。 二次世界大戰後隨著現代數字計算機的發展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數值分析等方面。由於計算機的飛速發展和廣泛應用，許多實際問題可以通過離散化的數值計算得到定量的解決。於是作為處理離散問題的線性代數，成為從事科學研究和工程設計的科技人員必備的數學基礎。

② 計算力學的發展史

近代力學的基本理論和基本方程在19世紀末20世紀初已基本完備了，後來的力學家大多致力於尋求各種具體問題的解。但由於許多力學問題相當復雜，很難獲得解析解，用數值方法求解也遇到計算工作量過於龐大的困難。通常只能通過各種假設把問題簡化到可以處理的程度，以得到某種近似的解答，或是藉助於實驗手段來謀求問題的解決。
第二次世界大戰後不久，第一台電子計算機在美國出現，並在以後的20年裡得到了迅速的發展。20世紀60年代出現了大型通用數字電子計算機，這種強大的計算工具的出現使復雜的數字運算不再成為障礙，為計算力學的形成奠定了物質基礎。
與此同時，適用於計算機的各種數值方法，如矩陣運算、線性代數、數學規劃等也得到相應的發展；橢圓型、拋物型和雙曲型微分方程的差分格式和穩定性理論研究也相繼取得進展。1960年，美國克拉夫首先提出了有限元法，為把連續體力學問題化作離散的力學模型開拓了寬廣的途徑。有限元法的物理實質是：把一個連續體近似地用有限個在節點處相連接的單元組成的組合體來代替，從而把連續體的分析轉化為單元分析加上對這些單元組合的分析問題。
有限元法和計算機的結合，產生了巨大的威力，應用范圍很快從簡單的桿、板結構推廣到復雜的空間組合結構，使過去不可能進行的一些大型復雜結構的靜力分析變成了常規的計算，固體力學中的動力問題和各種非線性問題也有了各種相應的解決途徑。
另一種有效的計算方法——有限差分方法也差不多同時在流體力學領域內得到新的發展，有代表性的工作是美國哈洛等人提出的一套計算方法，尤其是其中的質點網格法(即PIC方法)。這些方法往往來源於對實際問題所作的物理觀察與考慮，然後再採用計算機作數值模擬，而不講究數學上的嚴格論證。1963年哈洛和弗羅姆成功地用電子計算機解決了流體力學中有名的難題——卡門渦街的數值模擬。
無論是有限元法還是有限差分方法，它們的離散化概念都具有非常直觀的意義，很容易被工程師們接受，而且在數學上又都有便於計算機處理的計算格式。計算力學就是在高速計算機產生的基礎上，隨著這些新的概念和方法的出現而形成的。計算力學也為實際工程項目開辟了優化設計的前景。過去，工程師們雖有追求最優化設計的願望，但是力不從心；現在，由於有了強有力的結構分析方法和工具，便有條件研究改進設計的科學方法，逐步形成計算力學的一個重要分支——結構優化設計。計算力學在應用中也提出了不少理論問題，如穩定性分析、誤差估計、收斂性等，吸引許多數學家去研究，從而推動了數值分析理論的發展。

③ 中國六十年來的數學發展史

中國現代數學發展及特點
一、中國現代數學的建立
這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標志劃分為兩個階段。
中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來［1915年轉留法］，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學［今南京大學］和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵［1927］、陳省身［1934］、華羅庚［1936］、許寶騤［1936］等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素［1920］，美國的伯克霍夫［1934］、奧斯古德［1934］、維納［1935］，法國的阿達馬［1936］等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數學會學報〉和《數學雜志》相繼問世，這些標志著中國現代數學研究的進一步發展。 解放以前的數學研究集中在純數學領域，在國內外共發表論著600餘種。在分析學方面，陳建功的三角級數論，熊慶來的亞純函數與整函數論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數論與代數方面，華羅庚等人的解析數論、幾何數論和代數數論以及近世代數研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓撲學方面，蘇步青的微分幾何學，江澤涵的代數拓撲學，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創性的工作：在概率論與數理統計方面，許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴密證明。此外，李儼和錢寶琮開創了中國數學史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產重放光彩。
1949年11月即成立中國科學院。1951年3月《中國數學學報》復刊［1952年改為《數學學報》］，1951年10月《中國數學雜志》復刊［1953年改為《數學通報》］。1951年8月中國數學會召開建國後第一次國代表大會，討論了數學發展方向和各類學校數學教學改革問題。
建國後的數學研究取得長足進步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素數論》［1953］、蘇步青的《射影曲線概論》［1954］、陳建功的《直角函數級數的和》［1954］和李儼的《中算史論叢》5集［1954-1955］等專著，到1966年，共發表各種數學論文約2萬余篇。除了在數論、代數、幾何、拓撲、函數論、概率論與數理統計、數學史等學科繼續取得新成果外，還在微分方程、計算技術、運籌學、數理邏輯與數學基礎等分支有所突破，有許多論著達到世界先進水平，同時培養和成長起一大批優秀數學家。
60年代後期，中國的數學研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，後經多方努力狀況略有改變。1970年《數學學報》恢復出版，並創刊《數學的實踐與認識》。1973年陳景潤在《中國科學》上發表《大偶數表示為一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數學家在函數論、馬爾可夫過程、概率應用、運籌學、優選法等方面也有一定創見。
1978年11月中國數學會召開第三次代表大會，標志著中國數學的復甦。1978年恢復全國數學競賽，1985年中國開始參加國際數學奧林匹克數學競賽。1981年陳景潤等數學家獲國家自然科學獎勵。1983年國家首批授於18名中青年學者以博士學位，其中數學工作者佔2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數學家大會，加入國際數學聯合會，吳文俊應邀作了關於中國古代數學史的45分鍾演講。近十幾年來數學研究碩果累累，發表論文專著的數量成倍增長，質量不斷上升。1985年慶祝中國數學會成立50周年年會上，已確定中國數學發展的長遠目標。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數學大國。
二、中國數學的特點
（1）以演算法為中心，屬於應用數學。中國數學不脫離社會生活與生產的實際，以解決實際問題為目標，數學研究是圍繞建立演算法與提高計算技術而展開的。
（2）具有較強的社會性。中國傳統數學文化中，數學被儒學家培養人的道德與技能的基本知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數）之一，它的作用在於「通神明、順性命，經世務、類萬物」，所以中國傳統數學總是被打上中國哲學與古代學術思想的烙印，往往與術數交織在一起。同時，數學教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時代的數學教育與科舉制度、歷代數學家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質。
（3）寓理於算，理論高度概括。由於中國傳統數學注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統數學不關心數學理論的形式化，但這並不意味中國傳統僅停留在經驗層次而無理論建樹。其實中國數學的演算法中蘊涵著建立這些演算法的理論基礎，中國數學家習慣把數學概念與方法建立在少數幾個不證自明、形象直觀的數學原理之上，如代數中的「率」的理論，平面幾何中的「出入相補」原理，立體幾何中的「陽馬術」、曲面體理論中的「截面原理」（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。
三、中國數學對世界的影響
數學活動有兩項基本工作----證明與計算，前者是由於接受了公理化（演繹化）數學文化傳統，後者是由於接受了機械化（演算法化）數學文化傳統。在世界數學文化傳統中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數學，無疑是西方演繹數學傳統的基礎，而以《九章算術》為代表的中國數學無疑是東方演算法化數學傳統的基礎，它們東西輝映，共同促進了世界數學文化的發展。
中國數學通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區，後來經阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數學發展。

④ 飛速發展的計算機技術,你知道它的歷史源流嗎

1、1642年帕斯卡發明了人類有史以來第一台計算機（真正的計算機），是機械式的，大數學家萊布尼茨在1674年製造出了一台更完美的機械計算機。
2、巴貝奇於1822年完成了第一台差分機，它可以自動處理不同函數的計算過程。1834年巴貝奇提出了通用的計算機（分析機）並設計，它能夠自動解算100個變數的復雜算題，分析機包括齒輪式的「存貯庫」，「運算室」及送入和取出、傳送數據的部件。傳奇女士艾達為分析機編出了計算三角函數的程序、級數相乘程序、伯努利函數程序等等，公認她是世界上第一位軟體工程師，此外艾達還提出用這機器進行繪圖和演奏音樂的設想。
3、莫希利、埃克特為首的研製小組在1946年2月14日研製成功世界上第一台電子通用計算機 埃歷阿克」（ENIAC，譯成中文是「電子數字積分和計算機」），它誕生於美國賓夕法尼亞大學。
4、馮·諾依曼對ENIAC這進行改造，與戈德斯坦、勃克斯等人聯名發表了計算機史上著名的「101頁報告」。報告明確規定出計算機的五大部件（輸入系統、輸出系統、存儲器、運算器、控制器），並用二進制替代十進制運算，提出「」存儲程序」──程序也被當作數據存進了機器內部，以便電腦能自動依次執行指令，再也不必去接通什麼線路。
5、1936年，圖靈發表了「論數字計算在決斷難題中的應用」論文。論文中圖靈給「可計算性」下了一個嚴格的數學定義，並提出著名的「圖靈機」的設想。「圖靈機」不是一種具體的機器，而是一種思想模型，可製造一種十分簡單但運算能力極強的計算裝置，用來計算所有能想像得到的可計算函數。「圖靈機」與「馮·諾伊曼機」齊名，被永遠載入計算機的發展史中。1950年10月，圖靈又發表了另一篇題為「機器能思考嗎」的論文，成為劃時代之作。也正是這篇文章，為圖靈贏得了「人工智慧之父」的桂冠。

⑤ 計算機的歷史 現代計算機的誕生和發展

1642年，法國數學家B.帕斯卡採用與鍾表類似的齒輪傳動裝置，製成了最早的十進制加法器。1673年，德國數學家G.W.萊布尼茲製成的計算機，進一步解決了十進制數的乘、除運算。英國數學家C.巴貝奇在1822年製作差分機模型時提出一個設想，每次完成一次算術運算將發展為自動完成某個特定的完整運算過程。1834年，巴貝奇設計了一種程序控制的通用分析機。這台分析機雖然已經描繪出有關程序控制方式計算機的雛型，但限於當時的技術條件而未能實現。
巴貝奇的設想提出以後,一百多年期間,電磁學、電工學、電子學不斷取得重大進展，在元件、器件方面接連發明了真空二極體和真空三極體。在系統技術方面,相繼發明了無線電報、電視和雷達。所有這些成就為現代計算機的發展准備了技術和物質條件。與此同時，數學、物理也相應地蓬勃發展。到了20世紀30年代，物理學的各個領域經歷著定量化的階段，描述各種物理過程的數學方程，其中有的用經典的分析方法已很難解決。於是，數值分析受到了重視，研究出各種數值積分，數值微分，以及微分方程數值解法，把計算過程歸結為巨量的基本運算，從而奠定了現代計算機的數值演算法基礎。
社會上對先進計算工具多方面迫切的需要，是促使現代計算機誕生的根本動力。20世紀以後，各個科學領域和技術部門的計算困難堆積如山，已經阻礙了學科的繼續發展。特別是第二次世界大戰爆發前後，軍事科學技術對高速計算工具的需要尤為迫切。在此期間，德國、美國、英國都在進行計算機的開拓工作，幾乎同時開始了機電式計算機和電子計算機的研究。
德國K.朱賽最先採用電氣元件製造計算機。他早在1941年製成的全自動繼電器計算機Z－3，已具備浮點記數、二進制運算、數字存儲地址的指令形式等現代計算機的特徵。在美國，1940～1947年期間也相繼製成了繼電器計算機MARKⅠ、MARKⅡ、ModelⅠ、ModelⅤ等。不過，繼電器的開關速度大約為百分之一秒，使計算機的運算速度受到很大限制。
電子計算機的開拓過程，經歷了從製作部件到整機、從專用機到通用機、從「外加式程序」到「存儲程序」的演變。1938年，美籍保加利亞學者J.阿塔納索夫首先製成了電子計算機的運算部件。1943年，英國外交部通信處製成了「巨人」電子計算機。這是一種專用的密碼分析機，在第二次世界大戰中得到了應用。1946年 2月，美國賓夕法尼亞大學莫爾學院製成的大型電子數字積分計算機(ENIAC)，最初也專門用於火炮彈道計算,後經多次改進而成為能進行各種科學計算的通用計算機。這台完全採用電子線路執行算術運算、邏輯運算和信息存儲的計算機，運算速度比繼電器計算機快1000倍。這就是人們常常提到的世界上第一台電子計算機。但是，這種計算機的程序仍然是外加式的，存儲容量也太小，尚未完全具備現代計算機的主要特徵。再一次的重大突破是由數學家J.諾伊曼領導的設計小組完成的。1945年 3月，他們發表了一個全新的存儲程序式通用電子計算機方案──電子離散變數自動計算機(EDVAC)。隨後於1946年6月，諾伊曼等人提出了更為完善的設計報告《電子計算機裝置邏輯結構初探》。同年7～8月間，他們又在莫爾學院為美國和英國二十多個機構的專家講授了專門課程《電子計算機設計的理論和技術》，推動了存儲程序式計算機的設計與製造。1949年，英國劍橋大學數學實驗室率先製成電子離散時序自動計算機(EDSAC);美國則於1950年製成了東部標准自動計算機(SFAC)等。至此，電子計算機發展的萌芽時期遂告結束，開始了現代計算機的發展時期。

⑥ 建國60年數學發展史

在我國來建國60年來，我國數學科源學的發展更是取得了輝煌的成就，涌現了一批如：華羅庚、吳文俊等站在數學發展最前沿的，代表數學發展方向的，享譽世界的數學家 ，對比其他國家數學科學的發展，我國的數學發展可謂一波三折。

⑦ 誰知道DFT和FFT的發展歷史啊

DFT/FFT的發展歷史
離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）是數字信號處理最重要的基石之一，也是對信號進行分析和處理時最常用的工具之一。在200多年前法國數學家、物理學家傅里葉提出後來以他名字命名的傅里葉級數之後，用DFT這個工具來分析信號就已經為人們所知。歷史上最偉大的數學家之一。
歐拉是第一個使用「函數」一詞來描述包含各種參數的表達式的人，例如：y = f(x)。他是把微積分應用於物理學的先驅者之一。 給出了一個用實變數函數表示傅立葉級數系數的方程； 用三角級數來描述離散聲音在彈性媒介中傳播，發現某些函數可以通過餘弦函數之和來表達。 但在很長時間內，這種分析方法並沒有引起更多的重視，最主要的原因在於這種方法運算量比較大。直到1965年，Cooley和Tukey在《計算機科學 》發表著名的《機器計算傅立葉級數的一種演算法》論文，FFT才開始大規模應用。
那個年代，有個肯尼迪總統科學咨詢委員會。其中有項研究主題是，對蘇聯核測試進行檢測，Tukey就是其中一員。美國/蘇聯核測試提案的批准，主要取決於不實地訪問核測試設施而做出檢測的方法的發展。其中一個想法是，分析離海岸的地震計情況，這種計算需要快速演算法來計算DFT。其它應用是國家安全，如用聲學探測遠距離的核潛艇。所以在軍事上，迫切需要一種快速的傅立葉變換演算法，這也促進了FFT的正式提出。
FFT的這種方法充分利用了DFT運算中的對稱性和周期性，從而將DFT運算量從N2減少到N*log2N。當N比較小時，FFT優勢並不明顯。但當N大於32開始，點數越大，FFT對運算量的改善越明顯。比如當N為1024時，FFT的運算效率比DFT提高了100倍。在庫利和圖基提出的FFT演算法中，其基本原理是先將一個N點時域序列的DFT分解為N個1點序列的DFT，然後將這樣計算出來的N個1點序列DFT的結果進行組合，得到最初的N點時域序列的DFT值。實際上，這種基本的思想很早就由德國偉大的數學家高斯提出過，在某種情況下，天文學計算（也是現在FFT應用的領域之一）與等距觀察的有限集中的行星軌道的內插值有關。由於當時計算都是靠手工，所以產生一種快速演算法的迫切需要。 而且，更少的計算量同時也代表著錯誤的機會更少，正確性更高。高斯發現，一個富氏級數有寬度N=N1*N2，可以分成幾個部分。計算N2子樣本DFT的N1長度和N1子樣本DFT的N2長度。只是由於當時尚欠東風——計算機還沒發明。在20世紀60年代，伴隨著計算機的發展和成熟，庫利和圖基的成果掀起了數字信號處理的革命，因而FFT發明者的桂冠才落在他們頭上。
之後，桑德（G.Sand）-圖基等快速演算法相繼出現，幾經改進，很快形成了一套高效運算方法，這就是現在的快速傅立葉變換（FFT）。這種演算法使DFT的運算效率提高1到2個數量級，為數字信號處理技術應用於各種信號的實時處理創造了良好的條件，大大推進了數學信號處理技術。1984年，法國的杜哈梅（P.Dohamel）和霍爾曼（H.Hollamann）提出的分裂基塊快速演算法，使運算效率進一步提高。
庫利和圖基的FFT演算法的最基本運算為蝶形運算，每個蝶形運算包括兩個輸入點，因而也稱為基-2演算法。在這之後，又有一些新的演算法，進一步提高了FFT的運算效率，比如基-4演算法，分裂基演算法等。這些新演算法對FFT運算效率的提高一般在50%以內，遠遠不如FFT對DFT運算的提高幅度。從這個意義上說，FFT演算法是里程碑式的。可以說，正是計算機技術的發展和FFT的出現，才使得數字信號處理迎來了一個嶄新的時代。除了運算效率的大幅度提高外，FFT還大大降低了DFT運算帶來的累計量化誤差，這點常為人們所忽略。

分給我吧 哈哈