勾股定理的歷史意義

『壹』 勾股定理的重要性

科學史話勾股定理在我國最古老的數學經典著作《周髀算經》上記載著如下一段版歷史:西周權開國之初(約公元前一千多年)有一個叫商高的數學家對周公(周武王的弟弟,封在魯國當諸候)說:把一根直尺折成直角,兩端連結起來構成一個直角三角形.它的短直角邊稱為勾,長直角邊稱為股,斜邊稱為弦.發現如勾為3,股為4,那麼弦必為5.這就是勾股定理,又稱商高定理.相傳在夏禹王治水時,就已發現這一定理,並已把它應用於簡易的水利測量.這當然只是傳說,當時的歷史文獻並無確切的記載,但是這一定理的發現在二千多年前則是毫無疑問的.在西方公元前六世紀到公元前五世紀希臘數學家畢達哥拉斯也發現這一定理,並給出了證明,但他的證明也已失傳.後來歐幾里得寫《幾何原本》時,給出一個證明留傳至今.因而西方稱這一定理為畢達哥拉斯定理.這一定理在數學上有廣泛的應用,而且工程技術,測量中也有許多應用.它在人類文明史上有重要的地位.有人設想,把勾股定理的圖形與內容發射到外星球去, 如果外星球上有高級智慧動物, 一定會向地球作出反饋信息, 以此作為與外星人交流的「語言」.由此可見它在人類文明史中的地位.

『貳』 勾股定理的歷史

遠在公復元前約三千年的制古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為「普林頓322」的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。

古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫後的土地時，也應用過勾股定理。

公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

(2)勾股定理的歷史意義擴展閱讀：

勾股定理的歷史意義

勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。

『叄』 勾股定律的來歷,歷史及相關資料

來歷及歷史：

1、中國，公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄於《九章算術》中「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」，趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。

在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對於勾股定理證法。

2、遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為「普林頓322」的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫後的土地時，也應用過勾股定理。

公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

二、相關資料

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那麼可以用數學語言表達：

(3)勾股定理的歷史意義擴展閱讀：

勾股定理存在的意義：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端。

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理。

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解。

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。

『肆』 勾股定理起源

公元前11世紀，周朝數學家商高就提出「勾三、股四、弦五」。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」，根據該典故稱勾股定理為商高定理。

到公元3世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄於《九章算術》中「勾股各自乘，並而開方除之，即弦」，趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中也證明了勾股定理。

西方最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。所以在西方，勾股定理稱為「畢達哥拉斯定理」。

關於勾股定理的名稱，在我國，以前叫畢達哥拉斯定理，這是隨西方數學傳入時翻譯的名稱。20世紀50年代，學術界曾展開過關於這個定理命名的討論，最後用「勾股定理」，得到教育界和學術界的普遍認同。

(4)勾股定理的歷史意義擴展閱讀

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2．勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理；

3．勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4．勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。

『伍』 勾股定理是一個基本的幾何定理，勾股定理的歷史是什麼啊

勾股定理是一個基本的幾何定理。
在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即「勾」，「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a^+b^=c^ 。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股數組程a2 + b2 = c2的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。
中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰「故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」因此，勾股定理在中國又稱「商高定理」。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得斜至日。
還有的國家稱勾股定理為「畢達哥拉斯定理」。在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」。
蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《蔣銘祖算經》中記錄著商 高同周公的一段對話。蔣銘祖說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」蔣銘祖那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是著名的蔣銘祖定理，關於勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也；""此數"指的是"勾三股四弦五"。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次後 的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式A2+B2≥2AB可以證明下面的結論：三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。
勾股定理是餘弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為「商高定理」，在外國稱為「畢達哥拉斯定理」或者「百牛定理「。（畢達哥拉斯發現了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」），法國、比利時人又稱這個定理為「驢橋定理」。他們發現勾股定理的時間都比中國晚，中國是最早發現這一幾何寶藏的國家。目前初二學生教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a²+b²=c²。

『陸』 勾股定理歷史背景

魅力無比的定理證明
——勾股定理的證明

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘。
1．中國方法
畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是
a2+b2=c2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。
2．希臘方法
直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出，
△ABA』 ≌△AA』』 C。
過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。
△ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。
於是，
S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC，
即 a2+b2=c2。
至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：
⑴ 全等形的面積相等；
⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。
我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法：
如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。
趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。
西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。
如圖，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比較以上二式，便得
a2+b2=c2。
這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。
在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ②
我們發現，把①、②兩式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，這就是
a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：
設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因為∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。
從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等。

【附錄】
一、【《周髀算經》簡介】
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。
《周髀算經》使用了相當繁復的分數演算法和開平方法。

二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】
1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊長分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不假思索地回答道：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。

轉引自：http://tw.ntu.e.cn/ecation/yanjiu/中「數學的發現」欄目。圖無法轉貼魅力無比的定理證明
——勾股定理的證明

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘。
1．中國方法
畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是
a2+b2=c2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。
2．希臘方法
直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。
容易看出，
△ABA』 ≌△AA』』 C。
過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。
△ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。
於是，
S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC，
即 a2+b2=c2。
至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：
⑴ 全等形的面積相等；
⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。
我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法：
如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。
趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。
西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。
下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。
如圖，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比較以上二式，便得
a2+b2=c2。
這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。
在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ②
我們發現，把①、②兩式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，這就是
a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：
設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因為∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。
從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。
勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。
如此等等。

【附錄】
一、【《周髀算經》簡介】
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。
《周髀算經》使用了相當繁復的分數演算法和開平方法。

二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】
1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊長分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不假思索地回答道：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理．這是由於，他們認為最早發現直角三角形具有「勾2+股2=弦2」這一性質並且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580－公元前500）．

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例．除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑．比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實．」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數．這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫．

無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發現了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發現的這同一性質，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產而是我們全人類的共同財富.值得一提的是:在發現這一共同性質後的收獲卻是不完全相同的．下面以「畢達哥拉斯定理」和「勾股定理」為例，做一簡單介紹：

一、畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯是一個古希臘人的名字．生於公元前6世紀的畢達哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，後來移居義大利半島南部的克羅托內，並在那裡組織了一個集政治、宗教、數學於一體的秘密團體畢達哥拉斯學派，這個學派非常重視數學，企圖用數來解釋一切．他們宣稱，數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於實用，而是為了探索自然的奧秘．他們對數學看法的一個重大貢獻是有意識地承認並強調：數學上的東西如數和圖形是思維的抽象，同實際事物或實際形象是截然不同的．有些原始文明社會中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數脫離實物來思考，但他們對這種思考的抽象性質所達到的自覺認識程度，與畢達哥拉斯學派相比，是有相當差距的．而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的．例如，埃及人認為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界．畢達哥拉斯學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯系起來．

正因為如此，畢達哥拉斯學派在他們的探索中，發現了既屬於算術又屬於幾何的用三個整數表示直角三角形邊長的公式：若2n+1，2n2+2n分別是兩直角邊，則斜邊是2n2+2n+1（不過這法則並不能把所有的整勾股數組表示出來）．也正是由於上述原因，這個學派通過對整勾股數的尋找和研究，發現了所謂的「不可通約量」例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對角線與其一邊之比不能用整數之比表達．為此，他們把那些能用整數之比表達的比稱做「可公度比」，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達的比稱做「不可公度比」．像我們今日寫成：1的比便是不可公度比．至於與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的．這個證明指出：若設等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那麼，同一個數將既是奇數又是偶數．證明過程如下：設等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為：，並設這個比已表達成最小整數之比．根據畢達哥拉斯定理2=2+2，有2=22．由於22為偶數即x2為偶數，所以必然也是偶數，因為任一奇數的平方必是奇數（任一奇數可表示為2n+1，於是（2n+1）2=4n2+4n+1，這仍是一個奇數．但是比：是既約的，因此，必然不是偶數而是奇數，既然是偶數，故可設=2．於是2=42=22．因此，2=22，這樣，2是個偶數，於是也是偶數，但是同時又是個奇數，這就產生了矛盾．

關於對畢達哥拉斯定理的證明，現在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：「直角三角形斜邊上的正方形等於兩直角邊上的兩個正方形之和」．實際上，畢達哥拉斯學派關心得更多的是數學問題本身的研究；以畢達哥拉斯學派為代表的古希臘數學是以空間形式為主要研究對象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式．而畢達哥拉斯定理的發現（關於可公度比與不可公度比的研究、討論），實際上導致了無理數的發現，盡管畢達哥拉斯學派不願意接受這樣的數，並因此造成了數學史上所謂的第一次數學危機，但是畢達哥拉斯學派的探索仍然是功不可沒的．

二、我國的勾股定理

在我國，至今可查的有關勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀前後成書的《周髀算經》，其中有一段公元前1千多年前的對話：「昔者周公問於商高曰：竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度．請問數安從出？商高曰：數之法，出於圓方．圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一．故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五．」

《周髀算經》中還有「陳子測日」的記載：根據勾股定理，周子可以測出日高及日遠．例如，當求得了日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之後，計算日遠的方法是：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，並開方而除之，得邪至日者．」

《周髀算經》是我國流傳至今的一部最早的數學著作．書中主要講述了學習數學的方法以及用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等．在唐代，《周髀算經》與其他九部陸續出現在我國漢唐兩代千餘年間的數學著作一起，被國子監算學館定為課本，後世通稱這十本書為《算經十書》．《算經十書》較全面地反映了自先秦至唐初我國的數學成就．其中許多書中都涉及到了勾股定理的內容，尤其《九章算術》（《算經十書》之一）第九章「勾股」專門講解有關直角三角形的理論，所討論的主要內容就是勾股定理及其應用．該章共有設問24題，提出22術．其中第6題是有名的「引葭赴岸」：「今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．」這是一個流傳甚廣的題目，類似題目一再在其他書中出現，例如成書於5世紀中葉的《張邱建算經》（《算經十書》之一）、朱世傑所著的《四元玉鑒》（1303年）等．

我們的先輩們還根據勾股定理發明了一種由互相垂直的勾尺和股尺構成的測量工具矩．如，《周髀算經》中記載了商高對用矩之道的論述：「平矩以正繩，偃矩以望高，復矩以測深，卧矩以知遠．」又如，我國魏晉間傑出的數學家劉徽在他的名著《海島算經》（《算經十書》之一）中共列出了9個有代表性的可用矩解決的測望問題，其中第4個問題是：「今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，從勾端望谷底，入下股九尺一寸，又設重矩於上，其矩間相去三丈，更從勾端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何．」

我國最早的關於勾股定理的證明，目前人們認為是漢代趙爽對《周髀算經》的注釋．
我國古代的數學與古希臘的數學不大一樣．實際上，我國數學的主要研究對象不是空間形式，而是數量關系；其理論形式不是邏輯演繹體系，而是以題解為中心的演算法體系．與古希臘數學採取層層論證的思維方式不同，我國古代數學家的思維方式是以直覺思維為主，又以類比為發現和推論結果的主要手段．

對於勾股定理，我國古代的數學家沒有把主要精力放在僅僅給出嚴格的邏輯推理證明上，也沒有在不可通約量究竟是什麼性質的數上面做文章，而是立足於對由此可以解決的一類實際問題演算法的深入研究．通過在直角三角形范圍內討論與勾股定理、相似直角三角形性質定理有關的命題，他們推出了一種組合比率演算法勾股術．勾股術把相似直角三角形的概念作為基本概念，把相似直角三角形的性質作為基本性質，使相似直角三角形之間的相似比率構成了勾股的核心．勾股術用比率表達相似勾股對應邊成比例的原理，勾股整數和勾股兩容（容圓、容方）問題的求解；建立了勾股測量的理論基礎．後來，劉徽實際上把相似勾股形理論確定為勾股比率論，並明確提出了「不失本率原理」，又把這個原理與比例演算法結合起來，去論證各種各樣的勾股測量原理，從而為我國古代的勾股測望術建立了堅實的理論基礎．

有的專家還提出：勾股定理在我國古代數學中佔有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．

『柒』 勾股定理的發現和發展史

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：「我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那麼怎樣才能得到關於天地得到數據呢？」
商高回答說：「數的產生來源於對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形『矩』得到的一條直角邊『勾』等於3，另一條直角邊『股』等於4的時候，那麼它的斜邊『弦』就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。」
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
直角三角形用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：
勾^2+股^2=弦^2
亦即：
a^2+b^2=c^2
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那麼周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。
在稍後一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；「把勾和股分別自乘，然後把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。」把這段話列成算式，即為：
弦=（勾2+股2）(1/2)
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
中國古代的數學家們不僅很早就發現並應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡後便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且代有發展。例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的「形數統一」的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，「形數統一」的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：「在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的...十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。」

『捌』 "勾股定理"的發展簡史

據考證，人類對這條定理的認識，少說也超過 4000 年！

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的第一章,就有這條定理的相關內容：周公問：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高答：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。」就是說，矩形以其對角相折所稱的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長直角邊）為4，那麼弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現並應用勾股定理這一重要的數學原理了。

在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例。除上述兩個例子外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角。但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑。比如說，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得證實。」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥板書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為 30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊泥板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數。這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫。

勾股定理是幾何學中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家、畫家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單又實用，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。（※關於勾股定理的詳細證明，由於證明過程較為繁雜，不予收錄。）

人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。

從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。

如此等等。

『玖』 勾股定理的歷史以及應用

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理．這是由於，他們認為最早發現直角三角形具有「勾2+股2=弦2」這一性質並且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580－公元前500）．

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例．除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用「勾三股四弦五」的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑．比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：「我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然後用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實．」不過，考古學家們發現了幾塊大約完成於公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：「一根長度為30個單位的棍子直立在牆上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開牆角有多遠？」這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數．這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫．

無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發現了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發現的這同一性質，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產而是我們全人類的共同財富.值得一提的是:在發現這一共同性質後的收獲卻是不完全相同的．下面以「畢達哥拉斯定理」和「勾股定理」為例，做一簡單介紹：

一、畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯是一個古希臘人的名字．生於公元前6世紀的畢達哥拉斯，早年曾游歷埃及、巴比倫（另一種說法是到過印度）等地，後來移居義大利半島南部的克羅托內，並在那裡組織了一個集政治、宗教、數學於一體的秘密團體畢達哥拉斯學派，這個學派非常重視數學，企圖用數來解釋一切．他們宣稱，數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於實用，而是為了探索自然的奧秘．他們對數學看法的一個重大貢獻是有意識地承認並強調：數學上的東西如數和圖形是思維的抽象，同實際事物或實際形象是截然不同的．有些原始文明社會中的人（如埃及人和巴比倫人）也知道把數脫離實物來思考，但他們對這種思考的抽象性質所達到的自覺認識程度，與畢達哥拉斯學派相比，是有相當差距的．而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的．例如，埃及人認為，直線就是拉緊的繩或田地的一條邊；而矩形則是田地的邊界．畢達哥拉斯學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯系起來．

正因為如此，畢達哥拉斯學派在他們的探索中，發現了既屬於算術又屬於幾何的用三個整數表示直角三角形邊長的公式：若2n+1，2n2+2n分別是兩直角邊，則斜邊是2n2+2n+1（不過這法則並不能把所有的整勾股數組表示出來）．也正是由於上述原因，這個學派通過對整勾股數的尋找和研究，發現了所謂的「不可通約量」例如，等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比即正方形對角線與其一邊之比不能用整數之比表達．為此，他們把那些能用整數之比表達的比稱做「可公度比」，意即相比兩量可用公共度量單位量盡，而把不能這樣表達的比稱做「不可公度比」．像我們今日寫成：1的比便是不可公度比．至於與1不能公度的證明也是畢達哥拉斯學派給出的．這個證明指出：若設等腰直角三角形斜邊能與一直角邊公度，那麼，同一個數將既是奇數又是偶數．證明過程如下：設等腰直角三角形斜邊與一直角邊之比為：，並設這個比已表達成最小整數之比．根據畢達哥拉斯定理2=2+2，有2=22．由於22為偶數即x2為偶數，所以必然也是偶數，因為任一奇數的平方必是奇數（任一奇數可表示為2n+1，於是（2n+1）2=4n2+4n+1，這仍是一個奇數．但是比：是既約的，因此，必然不是偶數而是奇數，既然是偶數，故可設=2．於是2=42=22．因此，2=22，這樣，2是個偶數，於是也是偶數，但是同時又是個奇數，這就產生了矛盾．

關於對畢達哥拉斯定理的證明，現在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：「直角三角形斜邊上的正方形等於兩直角邊上的兩個正方形之和」．實際上，畢達哥拉斯學派關心得更多的是數學問題本身的研究；以畢達哥拉斯學派為代表的古希臘數學是以空間形式為主要研究對象，以邏輯上的演繹推理為主要的理論形式．而畢達哥拉斯定理的發現（關於可公度比與不可公度比的研究、討論），實際上導致了無理數的發現，盡管畢達哥拉斯學派不願意接受這樣的數，並因此造成了數學史上所謂的第一次數學危機，但是畢達哥拉斯學派的探索仍然是功不可沒的．

二、我國的勾股定理

在我國，至今可查的有關勾股定理的最早記載，是大約公元前1世紀前後成書的《周髀算經》，其中有一段公元前1千多年前的對話：「昔者周公問於商高曰：竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度．請問數安從出？商高曰：數之法，出於圓方．圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一．故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五．」

《周髀算經》中還有「陳子測日」的記載：根據勾股定理，周子可以測出日高及日遠．例如，當求得了日高及測得了測量人所在位置到日下點的距離之後，計算日遠的方法是：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股自乘，並開方而除之，得邪至日者．」

《周髀算經》是我國流傳至今的一部最早的數學著作．書中主要講述了學習數學的方法以及用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數計算等．在唐代，《周髀算經》與其他九部陸續出現在我國漢唐兩代千餘年間的數學著作一起，被國子監算學館定為課本，後世通稱這十本書為《算經十書》．《算經十書》較全面地反映了自先秦至唐初我國的數學成就．其中許多書中都涉及到了勾股定理的內容，尤其《九章算術》（《算經十書》之一）第九章「勾股」專門講解有關直角三角形的理論，所討論的主要內容就是勾股定理及其應用．該章共有設問24題，提出22術．其中第6題是有名的「引葭赴岸」：「今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．」這是一個流傳甚廣的題目，類似題目一再在其他書中出現，例如成書於5世紀中葉的《張邱建算經》（《算經十書》之一）、朱世傑所著的《四元玉鑒》（1303年）等．

我們的先輩們還根據勾股定理發明了一種由互相垂直的勾尺和股尺構成的測量工具矩．如，《周髀算經》中記載了商高對用矩之道的論述：「平矩以正繩，偃矩以望高，復矩以測深，卧矩以知遠．」又如，我國魏晉間傑出的數學家劉徽在他的名著《海島算經》（《算經十書》之一）中共列出了9個有代表性的可用矩解決的測望問題，其中第4個問題是：「今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺，從勾端望谷底，入下股九尺一寸，又設重矩於上，其矩間相去三丈，更從勾端望谷底，入上股八尺五寸，問谷深幾何．」

我國最早的關於勾股定理的證明，目前人們認為是漢代趙爽對《周髀算經》的注釋．
我國古代的數學與古希臘的數學不大一樣．實際上，我國數學的主要研究對象不是空間形式，而是數量關系；其理論形式不是邏輯演繹體系，而是以題解為中心的演算法體系．與古希臘數學採取層層論證的思維方式不同，我國古代數學家的思維方式是以直覺思維為主，又以類比為發現和推論結果的主要手段．

對於勾股定理，我國古代的數學家沒有把主要精力放在僅僅給出嚴格的邏輯推理證明上，也沒有在不可通約量究竟是什麼性質的數上面做文章，而是立足於對由此可以解決的一類實際問題演算法的深入研究．通過在直角三角形范圍內討論與勾股定理、相似直角三角形性質定理有關的命題，他們推出了一種組合比率演算法勾股術．勾股術把相似直角三角形的概念作為基本概念，把相似直角三角形的性質作為基本性質，使相似直角三角形之間的相似比率構成了勾股的核心．勾股術用比率表達相似勾股對應邊成比例的原理，勾股整數和勾股兩容（容圓、容方）問題的求解；建立了勾股測量的理論基礎．後來，劉徽實際上把相似勾股形理論確定為勾股比率論，並明確提出了「不失本率原理」，又把這個原理與比例演算法結合起來，去論證各種各樣的勾股測量原理，從而為我國古代的勾股測望術建立了堅實的理論基礎．

有的專家還提出：勾股定理在我國古代數學中佔有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應用為核心的中國式的幾何學．

『拾』 勾股定理的發現有何歷史意義

1、勾股定理是聯系數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理回。

2、勾股定理導致不可通約量的發答現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂「無理數"與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。

3、勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學。

4、勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個範式。