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幾何學的歷史簡介
幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。
1、實驗幾何的形成和發展
幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察，產生於丈量土地、測量容積、製造器皿與繪制圖形等實踐活動的需要，人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，大體上就是實驗幾何的內容。
例如，我國古代很早就發現了勾股定理和簡易測量知識，《墨經》中載有「圜（圓），一中同長也」，「平（平行），同高也」， 古印度人認為「圓面積等於一個矩形的面積，而該矩形的底等於半個圓周，矩形的高等於圓的半徑」等等，都屬於實驗幾何學的范疇。
2、理論幾何的形成和發展
隨著古埃及、希臘之間貿易與文化的交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。古希臘許多數學家，如泰勒斯（Thales）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐幾里德（Euclid）等人都對幾何學的研究作出了重大貢獻。特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，而後歐幾里德在前人已有幾何知識的基礎上，按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何（又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等）的基礎，成為歷史上久負盛名的巨著。
《幾何原本》盡管存在公理的不完整，論證有時求助於直觀等缺陷，但它集古代數學之大成，論證嚴密，影響深遠，所運用的公理化方法對以後數學的發展指出了方向，以至成為整個人類文明發展史上的里程碑，全人類文化遺產中的瑰寶。
3、解析幾何的產生與發展
公元3世紀，《幾何原本》的出現，為理論幾何奠定了基礎。與此同時，人們對圓錐曲線也作了一定研究，發現了圓錐曲線的許多性質。但在後來較長時間里，封建社會中的神學佔有統治地位，科學得不到應有的重視。直到15、16世紀歐洲資本主義開始發展起來，隨著生產實際的需要，自然科學才得到迅速發展。法國笛卡爾（Descartes）在研究中發現，歐氏幾何過分依賴於圖形，而傳統的代數又完全受公式、法則所約束，他們認為傳統的研究圓錐曲線的方法，只重視幾何方面，而忽略代數方面，竭力主張將幾何、代數結合起來取長補短，認為這是促進數學發展的一個新的途徑。
在這樣的思想指導下，笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，並且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。
解析幾何學的出現，大大拓廣了幾何學的研究內容，並且促進了幾何學的進一步發展。18、19世紀，由於工程、力學和大地測量等方面的需要，又進一步產生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學的分支。
4、現代幾何的產生與發展
在初等幾何與解析幾何的發展過程中，人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，並不斷地充實一些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設「一條直線與另外兩條直線相交，同側的內角和小於兩直角時，這兩條直線就在這一側相交」的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，並取得了兩方面的突出研究成果。
一方面，從改變幾何的公理系統出發，即用和歐氏幾何第五公設相矛盾的命題來代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基用「在同一平面內，過直線外一點可作兩條直線平行於已知直線」代替第五公設，由此導出了一系列新結論，如「三角形內角和小於兩直角」、「不存在相似而不全等的三角形」等等，後人稱為羅氏幾何學（又稱雙曲幾何學）。德國數學家黎曼從另一角度，「在同一平面內，過直線外任一點不存在直線平行於已知直線」代替第五公設，同樣導致了一系列新理論，如「三角形內角和大於兩直角」、「所成三角形與球面三角形有相同面積公式」等，又得到另一種不同的幾何學，後人稱為黎氏幾何學（又稱橢圓幾何學）。習慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統稱為非歐幾何學。將歐氏幾何（又稱拋物幾何學）、羅氏幾何的公共部分統稱為絕對幾何學。
另一方面，人們在對歐氏幾何公理系統的嚴格分析中，形成了公理法，並由德國數學家希爾伯特在他所著《幾何基礎》中完善地建立起嚴格的公理體系，通常稱為希爾伯特公理體系，希爾伯特公理體系是完備的，即用純邏輯推理的方法，定能推演出系統嚴密的歐氏幾何學。但如果根據該公理體系，逐步推演出歐氏幾何中那些熟知的內容，卻是一件相當繁瑣的工作。
2. 幾何學的發展歷程
幾何學的發展史
幾何學研究的主要內容,為討論不同圖型的各類性質,它可說是與人類生活最密不可分的.遠自巴比倫,埃及時代,人們已知道利用一些圖的性質來丈量土地,劃分田園.但是並沒有把它當作一門獨立的學問來看,只把它當作人類生活中的一些基本常識而已.真正認真去研究它,則是從古希臘時代才開始的.所以由此,我們約略的將幾何學的發展,分為下列幾個方向:
古希臘的幾何學
解析幾何
投影幾何
非歐幾何
微分幾何
幾何的公理化
古希臘的幾何學的發展
1. 發展階段
2. 古希臘幾何發展的原因
3. 歐基里德的貢獻———介紹"Elements"
4. 阿基米德的貢獻
5. 阿波羅尼阿斯的貢獻
6. 古希臘幾何學中的著名問題
(1)方圓問題
(2)倍積問題
(3)三等分角問題
(4)平行公設
7. 影響數學發展的人物
8. 古希臘數學衰退的原因
9. 與幾何學有關的應用科學
10.古希臘數學的批判
1. 發展階段:
古希臘所發展的幾何學是所有近代數學的原動力.若要了解整個數學的架構,必定要先了解古希臘幾何學的發展.我們可將其分為三個階段:
(1)啟蒙期:
主要人物有泰利斯(Thales),畢達哥拉斯(Pythagoras),尤多沙斯(Eadoxus).
泰利斯:
為古希臘天文學與幾何學之父,他曾正確的預測日蝕的時間.他開始對一些幾何圖形做有系統的研究.
畢達哥拉斯(畢式學派):
首創集體創作,稱為畢式學派.也是一位音樂家,發明畢式音階.畢式定理為幾何學中的重要定理.這個學派認為"數"是宇宙萬物的基礎.
C,尤多拉斯:
創立窮盡法(exhaustion method),所謂窮盡法就是"無窮的逼近"的觀念,主要構想是為了求取圓周率π的近似值.所予理論上說尤多拉斯是微積分的開山祖師.
尤多拉斯的另一貢獻,為對比例問題做有系統的研究
(2)巔峰期:
重要人物有:歐基里德(Euclid)
阿基米德(Archimedes)
阿波羅尼阿斯(Apollonoius)
歐基里德:
他將一些前人對數學的結果,加以整理,寫成"Elements"這本書(中譯為幾何原本).這本書是有史以來第一本數學教科書,也是最暢銷的.在往後數學的每一分支都是由這本書出發的.目前初中所學的平面幾何學,內容仍以"Elements"這本書為主.這本書的詳細內容,將在後面單獨介紹.這本書的另一優點為淺顯易讀(readable).歐基里德本身並沒有什麼重大的數學突破,它是一個數學的集大成者.這本書直到明朝中葉以後才傳人中國.
阿基米德:
生於西西里島,曾留學埃及亞歷山大城.是有史以來三大數學家之一,發明不計其數,以後我們將單獨介紹他及他的貢獻.
阿波羅尼阿斯:
與阿基米德同一時代.最大一貢獻是對於圓錐曲線的研究,這對於以後的解析幾何,以至於微積分的發明有直接的影響.圓錐曲線的應用,直到16世紀才由刻卜勒加以發揚光大.
(3)衰退期:
自阿基米德及阿波羅尼阿斯之後,希臘數學已漸漸走入衰退期.在這中間,仍有幾位值得一提的人物.
托勒密:
將三角函數發揚光大,並由此將天文學炒熱.
帕布斯:
可說是末代時期的代表人物.
2.古希臘幾何發展的原因:
我們不禁要問:為什麼古希臘會發展出這麼偉大的一些數學結果,是什麼原動力使他們如此 在希臘以前的各支文明,都把大自然看成是無秩序的,神秘的,多元的,可怕的.自然的現象均為神控制.人的生活和運氣都是神的意志決定.但是希臘文明期,知識份子對自然擺出一種新的姿勢,也就是理智的,評價的,現實的,他們主張自然界是有秩序的依照某一公式而表現其作用.人類不僅能研究自然的法則,甚至預言什麼事情將發生.
畢學派首先提出下列觀念:"將神秘性,不確定性從自然活動中抹去,並將表面看似紛亂不堪的自然現象,重新整理成可理解的次序和型式,並決定性的關鍵就在於數學的應用."繼承畢式學派觀念的就是柏拉圖:
柏拉圖主張:"只有循數學一途,才能了解實體世界的真面目,而科學之成為科學,在於它含有數學的份."就是因為希臘時代的一些學者對於自然的這種看法和確立了依循數學研究自然的做法,給食臘時代本身及後來世世代代的數學創見提供了莫大的誘因.而在數學的領域中,幾何學是最接近實際的描述.對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙結構的具體表現,本身正一門實際空間的科學.幾何學就是數學,研究的中心.
3.歐基里德的貢獻:
"Elements"這本書共有13冊,其內容為:
(1)1-6冊:平面幾何學,它是以下列五大公設為基礎:
a,任二點之間可作一直線.
b,直線可以任意延長.
c,可以以任意點為圓心,任意長為半徑,畫出一圓.
d,直角皆相等.
e,平行公設.
以研究下列性質:
三角形的性質—全等,相似,等等.
平行線的性質—內錯角,同位角.
畢式定理.
圓的性質 - 內接圓,外切圓.
比例的問題.
平行四邊形的性質.
(2)7,8,9冊:整數論
討論奇數,偶數,質數的問題,另外也討論了窮盡法的應用.
(3)11,12,13冊:立體幾何
討論角錐,圓錐,圓柱等性質,也提到了窮盡法的應用.
(4)第10冊:不可測問題
類似無理數的性質.
這本書的最大的特色就是:
它只引用了幾個簡單的假設,再根據這些假設,推導出一連串的定理,最後變成一套完整的理論,在因果之間確立了嚴密的邏輯推理,由此確立了數學為一門演繹的科學.這本書也有一些缺點,而事實上這些缺點,就是使日後數學發揚光大的原動力.舉例來說,在第五個(平行公設)中,有無數的數學家在這假設上打轉,最後終於在19世紀造就了非歐式幾何學,而直接產生了愛因斯坦的相對論."Elements"為第一部成型的數學著作.數學之基本概念,證明模式,定理布局的邏輯性,都經由研讀它而得以通曉.
歐基里德的其他著作:
錐線(Conics)它的內容是阿羅尼阿斯的"圓錐曲線"骨架.
現象討論天文學的問題.
4.阿基米德的貢獻:
阿基米德在西元前287年生於西西里島的西那庫斯,他在亞力山大城求學. 他治學的態度是從一些簡單的公理出發,再用無懈可擊的邏輯導出其他的定理,把物理及數學聯合起來一起敘述,他算是第一人,因此我們也可以稱他為物理學之父,他是第一個有科學精神的工程師,他找一般性的原理,然後用到特殊的工程問題上.他最重要的貢獻是將"窮盡法"發揚光大,它已經將等於這個觀念跨向"任意趨近於"的觀念,而這已經跨進近代微積分的領域,他曾用窮盡法算π的近似值,得到:
3.1408<π<3.142858
阿基米德創立了流體靜力學(浮力原理是最重要的結果),同時發現的杠桿原理,所以可以把他視為一個工藝學家(美勞專家).阿基米德的去世,可代表著希臘數學開始衰退的起點,我們到後面會專門討論衰敗的原因.阿基米德著作的一個缺點是內容非常難懂,不具可讀性的特性,所以未能像Element這本書流傳這樣廣.順便一提的是,在1906年時在土耳其,發現了一本當年阿基米德的著作"The Method",在當時引起一陣轟動.
5.阿波羅尼阿斯的貢獻:
他居住亞力山大,與阿基米德同一時期.他主要的研究對象是圓錐曲線,在他之前也有一些零星的結果,但是由他開始對圓錐曲線作嚴密的定義與討論.由幾何學的觀點來看,它所著的"圓錐曲線"這本書可說是古希臘幾何學的巔峰.這本書計有八冊,共有487個項目.其真正的實用性,直到16世紀才被發揚.事實上,在這以後,任何時期的數學家在啟蒙入門時大概都是靠歐基里德的"Element"與阿波羅尼阿斯的"圓錐曲線"起家的.
6.希臘數學中的著名問題:
所謂的問題,就是只能用圓規與沒有刻度的直尺之下,是否可以解決下列問題:
方圓問題:
是否能將一個已知的圓,變成一個正方形,而使得兩者面積相等
這個問題在由尤多拉斯時代,就有許多人在這方面的研究,直到十九世紀才證明其為不可能,但是研究期間,已經另外產生了許多數學的分支.
倍積問題:
對一個已知的正立方體,長,寬,高應該擴大,才可使新的立方體為原來立方體體積的兩倍.
等分角問題:
對任意的一個角,如何將其三等分.
問題2,3到十九世紀才被解決,證明為不可能.
平行公設:
有人認為平行公設不為一公設,所以有人將平行公設這個去除,結果造出一套新的幾何學出來,而又不會違背原來的歐式幾何,這也就是非歐幾何學.也就是愛因斯坦相對論的基礎.
也許有人認為希臘人不切實際,這三個問題在當時,可說完全無實用性,只可說是一些有閑階級的人磨練腦力之用.但是就是因為有那麼多人投下心力去研究,才會間接帶動幾何學研究的風潮.而因此產生以後數學蓬勃的發展.
7.對數學發展有影響力的人物
(1)亞力山大大帝
(2)托勒密王朝:
建立了亞力山大城,並建立了亞力山大圖書館,為世界當時最大圖書館.在這個圖書館中,產生了許多有影響力的學者.(阿基米德等人)
Hiero國王:
為西西里島國王,阿基米德的直接贊助者.
蘇格拉底,柏拉圖,亞里斯多德.
克利奧派翠亞(埃及艷後)
托勒密王朝的末代人物,亞力山大圖書館的第一次大火,就因它而起.(第一認浩劫).
基督教領袖與回教領袖:
對希臘數學作第二次與第三次摧毀的主要角色.
8.希臘數學的衰退
在阿基米德,阿波羅尼阿斯等人之後,希臘數學開始衰退,以後我們將討論它所遭受的災難:
第一次浩劫:
羅馬人的來臨,使得希臘數學遭到破壞.羅馬人都很實際,他們設計完成很多工程,但是卻拒絕去深思用的原理.羅馬的皇帝也不熱衷的支持數學家.希臘在公元前十四世紀完全被羅馬征服.當時托勒密王朝的末代君主為克利奧派翠亞(埃及艷後)與凱撒很好,凱撒為了幫助她與她的兄弟的紛爭,放火燒了亞力山大港的戰艦,結果大火無法控制,將亞力山大圖書館也燒掉了.大概有數以百萬計的圖書及手稿全部付之一炬,造成重大損傷.這一次損傷,耗了希臘數學不少元氣.
第二次浩劫:
基督教的興起,使得希臘數學面臨第二次浩劫.因為他們反對教會外的研究,並且嘲弄數學,天文學及物理學.基督徒被迫禁止參與希臘研究,以防止受到污染.所以又有成千上萬的希臘書被毀.
第三次浩劫:
回教徒征服亞力山大城後連最後的一些圖書都被燒掉,當時的回教征服有一句話說:若是這些書的內容在可蘭經中已有,則我們不必去讀它.若在可蘭經中沒有則更不應該去讀它,所以全部圖書付之一炬.
殘余的部份:
此時,一些學者都移居君士坦丁堡,寄託於東羅馬帝國之下,雖然仍感到基督徒的不友好氣氛,但是總是較安全,使得知識的庫存又慢慢增加,直到14世紀文藝復興時才又再發揚光大.
9.與幾何學有關的科學
天文學:
對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙空間的具體表現,所以幾乎每個數學家都曾在天文學上下過功夫.事實上,三角學的發明,就是要研究天文學而發展出來的技術.有許多數學家都曾設計過天體間星球運行的模型.當時流行的有日心識菟地心說,日心說由阿里斯塔克提出(他是亞力山大城第一位偉大的天文學家),但是當時反對的人很多.地心說由托勒密提出來的.這個學說直到16世紀時才被推翻.在托勒密的時代,也就是天文學發展最巔峰的時期.另一位偉大的天文學家是阿波羅尼阿斯,他以數量的觀點來描述過星球運動,這已接近18世紀時天文學的研究領域.托勒密的Almagest為經典之作.
另外，中國的歷代數學家在幾何在也作出了不小的貢獻，單列如下：
中國幾何發展史
自明朝後期(十六世紀)歐幾里得"幾何原本"中文譯本一部分出版之前，中國的幾何早已在獨立發展著。應該重視古代的許多工藝品以及建築工程、水利工程上的成就，其中蘊藏了豐富的幾何知識。
中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀談起，甲骨文內己有規和矩二個字，規是用來畫圓的，矩是用來畫方的。
漢代石刻中矩的形狀類似現在的直角三角形，大約在公元前二世紀左右，中國已記載了有名的勾股定理(勾股二個字的起源比較遲)。
圓和方的研究在古代中國幾何發展中佔了重要位置。墨子對圓的定義是："圓，一中同長也。"—個中心到圓周相等的叫圓，這解釋要比歐幾里得還早一百多年。
在圓周率的計算上有劉歆(？一23)、張衡(78—139)、劉徽(263)、王蕃(219—257)、祖沖之(429—500)、趙友欽(公元十三世紀)等人，其中劉徽、祖沖之、趙友欽的方法和所得的結果舉世聞名。
祖沖之所得的結果π=355/133要比歐洲早一千多年。
在劉徽的"九章算術"注中曾多次顯露出他對極限概念的天才。
在平面幾何中用直角三角形或正方形和在立體幾何中用錐體和長方柱體進行移補，這構成中國古代幾何的特點。
中國數學家善於把代數上的成就運用到幾何上，而又用幾何圖形來證明代數，數值代數和直觀幾何有機的配合起來，在實踐中獲得良好的效果．
江蘇吳雲超解答供參考！
3. 平面幾何學 發展史
平面幾何最開始是從丈量土地發展起來的。
人們把這些在生活中發現的一些計算公式總結出來，版就是最初的幾何知識權。
就是三角形，四邊形，圓，點線面等等。
到後來一些就發展長定理。最有名的就是歐幾里得的《幾何原本》。
還有就是解析幾何，在部分是由笛卡爾建立坐標系之後，發展起來的。
從解析幾何出發，萊布尼茨發明了微積分，所以幾何就走向了分析的領域。
如，現在的微分幾何。
4. 《幾何原本》在幾何學發展過程中的意義
《幾何原本》的意義和影響在幾何學上的影響和意義 在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這 歐幾里得種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的「根據」和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。《幾何原本》的誕生，標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。並且《幾何原本》中的命題1.47，證明了是歐幾里德最先發現的勾股定理，從而說明了歐洲是最早發現勾股定理的大洲。 論證方法上的影響 關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。 作為教材的影響 從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，盡管科學技術日新月異，由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。 （牛頓的例子） 少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識范圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的「坐標幾何」很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：「因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。」這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。 《原本》的缺憾 但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的「根據」問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了「連續」的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。
5. 中外幾何發展史
幾何學的發展史
幾何學研究的主要內容,為討論不同圖型的各類性質,它可說是與人類生活最密不可分的.遠自巴比倫,埃及時代,人們已知道利用一些圖的性質來丈量土地,劃分田園.但是並沒有把它當作一門獨立的學問來看,只把它當作人類生活中的一些基本常識而已.真正認真去研究它,則是從古希臘時代才開始的.所以由此,我們約略的將幾何學的發展,分為下列幾個方向:
古希臘的幾何學
解析幾何
投影幾何
非歐幾何
微分幾何
幾何的公理化
古希臘的幾何學的發展
1. 發展階段
2. 古希臘幾何發展的原因
3. 歐基里德的貢獻———介紹"Elements"
4. 阿基米德的貢獻
5. 阿波羅尼阿斯的貢獻
6. 古希臘幾何學中的著名問題
(1)方圓問題
(2)倍積問題
(3)三等分角問題
(4)平行公設
7. 影響數學發展的人物
8. 古希臘數學衰退的原因
9. 與幾何學有關的應用科學
10.古希臘數學的批判
1. 發展階段:
古希臘所發展的幾何學是所有近代數學的原動力.若要了解整個數學的架構,必定要先了解古希臘幾何學的發展.我們可將其分為三個階段:
(1)啟蒙期:
主要人物有泰利斯(Thales),畢達哥拉斯(Pythagoras),尤多沙斯(Eadoxus).
泰利斯:
為古希臘天文學與幾何學之父,他曾正確的預測日蝕的時間.他開始對一些幾何圖形做有系統的研究.
畢達哥拉斯(畢式學派):
首創集體創作,稱為畢式學派.也是一位音樂家,發明畢式音階.畢式定理為幾何學中的重要定理.這個學派認為"數"是宇宙萬物的基礎.
C,尤多拉斯:
創立窮盡法(exhaustion method),所謂窮盡法就是"無窮的逼近"的觀念,主要構想是為了求取圓周率π的近似值.所予理論上說尤多拉斯是微積分的開山祖師.
尤多拉斯的另一貢獻,為對比例問題做有系統的研究
(2)巔峰期:
重要人物有:歐基里德(Euclid)
阿基米德(Archimedes)
阿波羅尼阿斯(Apollonoius)
歐基里德:
他將一些前人對數學的結果,加以整理,寫成"Elements"這本書(中譯為幾何原本).這本書是有史以來第一本數學教科書,也是最暢銷的.在往後數學的每一分支都是由這本書出發的.目前初中所學的平面幾何學,內容仍以"Elements"這本書為主.這本書的詳細內容,將在後面單獨介紹.這本書的另一優點為淺顯易讀(readable).歐基里德本身並沒有什麼重大的數學突破,它是一個數學的集大成者.這本書直到明朝中葉以後才傳人中國.
阿基米德:
生於西西里島,曾留學埃及亞歷山大城.是有史以來三大數學家之一,發明不計其數,以後我們將單獨介紹他及他的貢獻.
阿波羅尼阿斯:
與阿基米德同一時代.最大一貢獻是對於圓錐曲線的研究,這對於以後的解析幾何,以至於微積分的發明有直接的影響.圓錐曲線的應用,直到16世紀才由刻卜勒加以發揚光大.
(3)衰退期:
自阿基米德及阿波羅尼阿斯之後,希臘數學已漸漸走入衰退期.在這中間,仍有幾位值得一提的人物.
托勒密:
將三角函數發揚光大,並由此將天文學炒熱.
帕布斯:
可說是末代時期的代表人物.
2.古希臘幾何發展的原因:
我們不禁要問:為什麼古希臘會發展出這麼偉大的一些數學結果,是什麼原動力使他們如此 在希臘以前的各支文明,都把大自然看成是無秩序的,神秘的,多元的,可怕的.自然的現象均為神控制.人的生活和運氣都是神的意志決定.但是希臘文明期,知識份子對自然擺出一種新的姿勢,也就是理智的,評價的,現實的,他們主張自然界是有秩序的依照某一公式而表現其作用.人類不僅能研究自然的法則,甚至預言什麼事情將發生.
畢學派首先提出下列觀念:"將神秘性,不確定性從自然活動中抹去,並將表面看似紛亂不堪的自然現象,重新整理成可理解的次序和型式,並決定性的關鍵就在於數學的應用."繼承畢式學派觀念的就是柏拉圖:
柏拉圖主張:"只有循數學一途,才能了解實體世界的真面目,而科學之成為科學,在於它含有數學的份."就是因為希臘時代的一些學者對於自然的這種看法和確立了依循數學研究自然的做法,給食臘時代本身及後來世世代代的數學創見提供了莫大的誘因.而在數學的領域中,幾何學是最接近實際的描述.對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙結構的具體表現,本身正一門實際空間的科學.幾何學就是數學,研究的中心.
3.歐基里德的貢獻:
"Elements"這本書共有13冊,其內容為:
(1)1-6冊:平面幾何學,它是以下列五大公設為基礎:
a,任二點之間可作一直線.
b,直線可以任意延長.
c,可以以任意點為圓心,任意長為半徑,畫出一圓.
d,直角皆相等.
e,平行公設.
以研究下列性質:
三角形的性質—全等,相似,等等.
平行線的性質—內錯角,同位角.
畢式定理.
圓的性質 - 內接圓,外切圓.
比例的問題.
平行四邊形的性質.
(2)7,8,9冊:整數論
討論奇數,偶數,質數的問題,另外也討論了窮盡法的應用.
(3)11,12,13冊:立體幾何
討論角錐,圓錐,圓柱等性質,也提到了窮盡法的應用.
(4)第10冊:不可測問題
類似無理數的性質.
這本書的最大的特色就是:
它只引用了幾個簡單的假設,再根據這些假設,推導出一連串的定理,最後變成一套完整的理論,在因果之間確立了嚴密的邏輯推理,由此確立了數學為一門演繹的科學.這本書也有一些缺點,而事實上這些缺點,就是使日後數學發揚光大的原動力.舉例來說,在第五個(平行公設)中,有無數的數學家在這假設上打轉,最後終於在19世紀造就了非歐式幾何學,而直接產生了愛因斯坦的相對論."Elements"為第一部成型的數學著作.數學之基本概念,證明模式,定理布局的邏輯性,都經由研讀它而得以通曉.
歐基里德的其他著作:
錐線(Conics)它的內容是阿羅尼阿斯的"圓錐曲線"骨架.
現象討論天文學的問題.
4.阿基米德的貢獻:
阿基米德在西元前287年生於西西里島的西那庫斯,他在亞力山大城求學. 他治學的態度是從一些簡單的公理出發,再用無懈可擊的邏輯導出其他的定理,把物理及數學聯合起來一起敘述,他算是第一人,因此我們也可以稱他為物理學之父,他是第一個有科學精神的工程師,他找一般性的原理,然後用到特殊的工程問題上.他最重要的貢獻是將"窮盡法"發揚光大,它已經將等於這個觀念跨向"任意趨近於"的觀念,而這已經跨進近代微積分的領域,他曾用窮盡法算π的近似值,得到:
3.1408<π<3.142858
阿基米德創立了流體靜力學(浮力原理是最重要的結果),同時發現的杠桿原理,所以可以把他視為一個工藝學家(美勞專家).阿基米德的去世,可代表著希臘數學開始衰退的起點,我們到後面會專門討論衰敗的原因.阿基米德著作的一個缺點是內容非常難懂,不具可讀性的特性,所以未能像Element這本書流傳這樣廣.順便一提的是,在1906年時在土耳其,發現了一本當年阿基米德的著作"The Method",在當時引起一陣轟動.
5.阿波羅尼阿斯的貢獻:
他居住亞力山大,與阿基米德同一時期.他主要的研究對象是圓錐曲線,在他之前也有一些零星的結果,但是由他開始對圓錐曲線作嚴密的定義與討論.由幾何學的觀點來看,它所著的"圓錐曲線"這本書可說是古希臘幾何學的巔峰.這本書計有八冊,共有487個項目.其真正的實用性,直到16世紀才被發揚.事實上,在這以後,任何時期的數學家在啟蒙入門時大概都是靠歐基里德的"Element"與阿波羅尼阿斯的"圓錐曲線"起家的.
6.希臘數學中的著名問題:
所謂的問題,就是只能用圓規與沒有刻度的直尺之下,是否可以解決下列問題:
方圓問題:
是否能將一個已知的圓,變成一個正方形,而使得兩者面積相等
這個問題在由尤多拉斯時代,就有許多人在這方面的研究,直到十九世紀才證明其為不可能,但是研究期間,已經另外產生了許多數學的分支.
倍積問題:
對一個已知的正立方體,長,寬,高應該擴大,才可使新的立方體為原來立方體體積的兩倍.
等分角問題:
對任意的一個角,如何將其三等分.
問題2,3到十九世紀才被解決,證明為不可能.
平行公設:
有人認為平行公設不為一公設,所以有人將平行公設這個去除,結果造出一套新的幾何學出來,而又不會違背原來的歐式幾何,這也就是非歐幾何學.也就是愛因斯坦相對論的基礎.
也許有人認為希臘人不切實際,這三個問題在當時,可說完全無實用性,只可說是一些有閑階級的人磨練腦力之用.但是就是因為有那麼多人投下心力去研究,才會間接帶動幾何學研究的風潮.而因此產生以後數學蓬勃的發展.
7.對數學發展有影響力的人物
(1)亞力山大大帝
(2)托勒密王朝:
建立了亞力山大城,並建立了亞力山大圖書館,為世界當時最大圖書館.在這個圖書館中,產生了許多有影響力的學者.(阿基米德等人)
Hiero國王:
為西西里島國王,阿基米德的直接贊助者.
蘇格拉底,柏拉圖,亞里斯多德.
克利奧派翠亞(埃及艷後)
托勒密王朝的末代人物,亞力山大圖書館的第一次大火,就因它而起.(第一認浩劫).
基督教領袖與回教領袖:
對希臘數學作第二次與第三次摧毀的主要角色.
8.希臘數學的衰退
在阿基米德,阿波羅尼阿斯等人之後,希臘數學開始衰退,以後我們將討論它所遭受的災難:
第一次浩劫:
羅馬人的來臨,使得希臘數學遭到破壞.羅馬人都很實際,他們設計完成很多工程,但是卻拒絕去深思用的原理.羅馬的皇帝也不熱衷的支持數學家.希臘在公元前十四世紀完全被羅馬征服.當時托勒密王朝的末代君主為克利奧派翠亞(埃及艷後)與凱撒很好,凱撒為了幫助她與她的兄弟的紛爭,放火燒了亞力山大港的戰艦,結果大火無法控制,將亞力山大圖書館也燒掉了.大概有數以百萬計的圖書及手稿全部付之一炬,造成重大損傷.這一次損傷,耗了希臘數學不少元氣.
第二次浩劫:
基督教的興起,使得希臘數學面臨第二次浩劫.因為他們反對教會外的研究,並且嘲弄數學,天文學及物理學.基督徒被迫禁止參與希臘研究,以防止受到污染.所以又有成千上萬的希臘書被毀.
第三次浩劫:
回教徒征服亞力山大城後連最後的一些圖書都被燒掉,當時的回教征服有一句話說:若是這些書的內容在可蘭經中已有,則我們不必去讀它.若在可蘭經中沒有則更不應該去讀它,所以全部圖書付之一炬.
殘余的部份:
此時,一些學者都移居君士坦丁堡,寄託於東羅馬帝國之下,雖然仍感到基督徒的不友好氣氛,但是總是較安全,使得知識的庫存又慢慢增加,直到14世紀文藝復興時才又再發揚光大.
9.與幾何學有關的科學
天文學:
對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙空間的具體表現,所以幾乎每個數學家都曾在天文學上下過功夫.事實上,三角學的發明,就是要研究天文學而發展出來的技術.有許多數學家都曾設計過天體間星球運行的模型.當時流行的有日心識菟地心說,日心說由阿里斯塔克提出(他是亞力山大城第一位偉大的天文學家),但是當時反對的人很多.地心說由托勒密提出來的.這個學說直到16世紀時才被推翻.在托勒密的時代,也就是天文學發展最巔峰的時期.另一位偉大的天文學家是阿波羅尼阿斯,他以數量的觀點來描述過星球運動,這已接近18世紀時天文學的研究領域.托勒密的Almagest為經典之作.
6. 幾何的形成歷史
幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。
1、實驗幾何的形成和發展
幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察，產生於丈量土地、測量容積、製造器皿與繪制圖形等實踐活動的需要，人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，大體上就是實驗幾何的內容。
例如，我國古代很早就發現了勾股定理和簡易測量知識，《墨經》中載有「圜（圓），一中同長也」，「平（平行），同高也」， 古印度人認為「圓面積等於一個矩形的面積，而該矩形的底等於半個圓周，矩形的高等於圓的半徑」等等，都屬於實驗幾何學的范疇。
2、理論幾何的形成和發展
隨著古埃及、希臘之間貿易與文化的交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。古希臘許多數學家，如泰勒斯（Thales）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐幾里德（Euclid）等人都對幾何學的研究作出了重大貢獻。特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，而後歐幾里德在前人已有幾何知識的基礎上，按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何（又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等）的基礎，成為歷史上久負盛名的巨著。
《幾何原本》盡管存在公理的不完整，論證有時求助於直觀等缺陷，但它集古代數學之大成，論證嚴密，影響深遠，所運用的公理化方法對以後數學的發展指出了方向，以至成為整個人類文明發展史上的里程碑，全人類文化遺產中的瑰寶。
3、解析幾何的產生與發展
公元3世紀，《幾何原本》的出現，為理論幾何奠定了基礎。與此同時，人們對圓錐曲線也作了一定研究，發現了圓錐曲線的許多性質。但在後來較長時間里，封建社會中的神學佔有統治地位，科學得不到應有的重視。直到15、16世紀歐洲資本主義開始發展起來，隨著生產實際的需要，自然科學才得到迅速發展。法國笛卡爾（Descartes）在研究中發現，歐氏幾何過分依賴於圖形，而傳統的代數又完全受公式、法則所約束，他們認為傳統的研究圓錐曲線的方法，只重視幾何方面，而忽略代數方面，竭力主張將幾何、代數結合起來取長補短，認為這是促進數學發展的一個新的途徑。
在這樣的思想指導下，笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，並且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。
解析幾何學的出現，大大拓廣了幾何學的研究內容，並且促進了幾何學的進一步發展。18、19世紀，由於工程、力學和大地測量等方面的需要，又進一步產生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學的分支。
4、現代幾何的產生與發展
在初等幾何與解析幾何的發展過程中，人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，並不斷地充實一些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設「一條直線與另外兩條直線相交，同側的內角和小於兩直角時，這兩條直線就在這一側相交」的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，並取得了兩方面的突出研究成果。
一方面，從改變幾何的公理系統出發，即用和歐氏幾何第五公設相矛盾的命題來代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基用「在同一平面內，過直線外一點可作兩條直線平行於已知直線」代替第五公設，由此導出了一系列新結論，如「三角形內角和小於兩直角」、「不存在相似而不全等的三角形」等等，後人稱為羅氏幾何學（又稱雙曲幾何學）。德國數學家黎曼從另一角度，「在同一平面內，過直線外任一點不存在直線平行於已知直線」代替第五公設，同樣導致了一系列新理論，如「三角形內角和大於兩直角」、「所成三角形與球面三角形有相同面積公式」等，又得到另一種不同的幾何學，後人稱為黎氏幾何學（又稱橢圓幾何學）。習慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統稱為非歐幾何學。將歐氏幾何（又稱拋物幾何學）、羅氏幾何的公共部分統稱為絕對幾何學。
另一方面，人們在對歐氏幾何公理系統的嚴格分析中，形成了公理法，並由德國數學家希爾伯特在他所著《幾何基礎》中完善地建立起嚴格的公理體系，通常稱為希爾伯特公理體系，希爾伯特公理體系是完備的，即用純邏輯推理的方法，定能推演出系統嚴密的歐氏幾何學。但如果根據該公理體系，逐步推演出歐氏幾何中那些熟知的內容，卻是一件相當繁瑣的工作。
7. 幾何學的發展可能和哪些歷史因素有關
平面幾何最開始是從丈量土地發展起來的。
人們把這些在生活中發現的一內些計算公式總結出來，就是最初容的幾何知識。
就是三角形，四邊形，圓，點線面等等。
到後來一些就發展長定理。最有名的就是歐幾里得的《幾何原本》。
還有就是解析幾何，在部分是由笛卡爾建立坐標系之後，發展起來的。
從解析幾何出發，萊布尼茨發明了微積分，所以幾何就走向了分析的領域。
如，現在的微分幾何。
8. 查資料了解幾何學的發展歷史
幾何學研究的主要內容,為討論不同圖型的各類性質,它可說是與人類生活最密不可分的.遠自巴比倫,埃及時代,人們已知道利用一些圖的性質來丈量土地,劃分田園.但是並沒有把它當作一門獨立的學問來看,只把它當作人類生活中的一些基本常識而已.真正認真去研究它,則是從古希臘時代才開始的.所以由此,我們約略的將幾何學的發展,分為下列幾個方向:
古希臘的幾何學
解析幾何
投影幾何
非歐幾何
微分幾何
幾何的公理化
古希臘的幾何學的發展
1. 發展階段
2. 古希臘幾何發展的原因
3. 歐基里德的貢獻———介紹"Elements"
4. 阿基米德的貢獻
5. 阿波羅尼阿斯的貢獻
6. 古希臘幾何學中的著名問題
(1)方圓問題
(2)倍積問題
(3)三等分角問題
(4)平行公設
7. 影響數學發展的人物
8. 古希臘數學衰退的原因
9. 與幾何學有關的應用科學
10.古希臘數學的批判
1. 發展階段:
古希臘所發展的幾何學是所有近代數學的原動力.若要了解整個數學的架構,必定要先了解古希臘幾何學的發展.我們可將其分為三個階段:
(1)啟蒙期:
主要人物有泰利斯(Thales),畢達哥拉斯(Pythagoras),尤多沙斯(Eadoxus).
泰利斯:
為古希臘天文學與幾何學之父,他曾正確的預測日蝕的時間.他開始對一些幾何圖形做有系統的研究.
畢達哥拉斯(畢式學派):
首創集體創作,稱為畢式學派.也是一位音樂家,發明畢式音階.畢式定理為幾何學中的重要定理.這個學派認為"數"是宇宙萬物的基礎.
C,尤多拉斯:
創立窮盡法(exhaustion method),所謂窮盡法就是"無窮的逼近"的觀念,主要構想是為了求取圓周率π的近似值.所予理論上說尤多拉斯是微積分的開山祖師.
尤多拉斯的另一貢獻,為對比例問題做有系統的研究
(2)巔峰期:
重要人物有:歐基里德(Euclid)
阿基米德(Archimedes)
阿波羅尼阿斯(Apollonoius)
歐基里德:
他將一些前人對數學的結果,加以整理,寫成"Elements"這本書(中譯為幾何原本).這本書是有史以來第一本數學教科書,也是最暢銷的.在往後數學的每一分支都是由這本書出發的.目前初中所學的平面幾何學,內容仍以"Elements"這本書為主.這本書的詳細內容,將在後面單獨介紹.這本書的另一優點為淺顯易讀(readable).歐基里德本身並沒有什麼重大的數學突破,它是一個數學的集大成者.這本書直到明朝中葉以後才傳人中國.
阿基米德:
生於西西里島,曾留學埃及亞歷山大城.是有史以來三大數學家之一,發明不計其數,以後我們將單獨介紹他及他的貢獻.
阿波羅尼阿斯:
與阿基米德同一時代.最大一貢獻是對於圓錐曲線的研究,這對於以後的解析幾何,以至於微積分的發明有直接的影響.圓錐曲線的應用,直到16世紀才由刻卜勒加以發揚光大.
(3)衰退期:
自阿基米德及阿波羅尼阿斯之後,希臘數學已漸漸走入衰退期.在這中間,仍有幾位值得一提的人物.
托勒密:
將三角函數發揚光大,並由此將天文學炒熱.
帕布斯:
可說是末代時期的代表人物.
2.古希臘幾何發展的原因:
我們不禁要問:為什麼古希臘會發展出這麼偉大的一些數學結果,是什麼原動力使他們如此 在希臘以前的各支文明,都把大自然看成是無秩序的,神秘的,多元的,可怕的.自然的現象均為神控制.人的生活和運氣都是神的意志決定.但是希臘文明期,知識份子對自然擺出一種新的姿勢,也就是理智的,評價的,現實的,他們主張自然界是有秩序的依照某一公式而表現其作用.人類不僅能研究自然的法則,甚至預言什麼事情將發生.
畢學派首先提出下列觀念:"將神秘性,不確定性從自然活動中抹去,並將表面看似紛亂不堪的自然現象,重新整理成可理解的次序和型式,並決定性的關鍵就在於數學的應用."繼承畢式學派觀念的就是柏拉圖:
柏拉圖主張:"只有循數學一途,才能了解實體世界的真面目,而科學之成為科學,在於它含有數學的份."就是因為希臘時代的一些學者對於自然的這種看法和確立了依循數學研究自然的做法,給食臘時代本身及後來世世代代的數學創見提供了莫大的誘因.而在數學的領域中,幾何學是最接近實際的描述.對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙結構的具體表現,本身正一門實際空間的科學.幾何學就是數學,研究的中心.
3.歐基里德的貢獻:
"Elements"這本書共有13冊,其內容為:
(1)1-6冊:平面幾何學,它是以下列五大公設為基礎:
a,任二點之間可作一直線.
b,直線可以任意延長.
c,可以以任意點為圓心,任意長為半徑,畫出一圓.
d,直角皆相等.
e,平行公設.
以研究下列性質:
三角形的性質—全等,相似,等等.
平行線的性質—內錯角,同位角.
畢式定理.
圓的性質 - 內接圓,外切圓.
比例的問題.
平行四邊形的性質.
(2)7,8,9冊:整數論
討論奇數,偶數,質數的問題,另外也討論了窮盡法的應用.
(3)11,12,13冊:立體幾何
討論角錐,圓錐,圓柱等性質,也提到了窮盡法的應用.
(4)第10冊:不可測問題
類似無理數的性質.
這本書的最大的特色就是:
它只引用了幾個簡單的假設,再根據這些假設,推導出一連串的定理,最後變成一套完整的理論,在因果之間確立了嚴密的邏輯推理,由此確立了數學為一門演繹的科學.這本書也有一些缺點,而事實上這些缺點,就是使日後數學發揚光大的原動力.舉例來說,在第五個(平行公設)中,有無數的數學家在這假設上打轉,最後終於在19世紀造就了非歐式幾何學,而直接產生了愛因斯坦的相對論."Elements"為第一部成型的數學著作.數學之基本概念,證明模式,定理布局的邏輯性,都經由研讀它而得以通曉.
歐基里德的其他著作:
錐線(Conics)它的內容是阿羅尼阿斯的"圓錐曲線"骨架.
現象討論天文學的問題.
4.阿基米德的貢獻:
阿基米德在西元前287年生於西西里島的西那庫斯,他在亞力山大城求學. 他治學的態度是從一些簡單的公理出發,再用無懈可擊的邏輯導出其他的定理,把物理及數學聯合起來一起敘述,他算是第一人,因此我們也可以稱他為物理學之父,他是第一個有科學精神的工程師,他找一般性的原理,然後用到特殊的工程問題上.他最重要的貢獻是將"窮盡法"發揚光大,它已經將等於這個觀念跨向"任意趨近於"的觀念,而這已經跨進近代微積分的領域,他曾用窮盡法算π的近似值,得到:
3.1408<π<3.142858
阿基米德創立了流體靜力學(浮力原理是最重要的結果),同時發現的杠桿原理,所以可以把他視為一個工藝學家(美勞專家).阿基米德的去世,可代表著希臘數學開始衰退的起點,我們到後面會專門討論衰敗的原因.阿基米德著作的一個缺點是內容非常難懂,不具可讀性的特性,所以未能像Element這本書流傳這樣廣.順便一提的是,在1906年時在土耳其,發現了一本當年阿基米德的著作"The Method",在當時引起一陣轟動.
5.阿波羅尼阿斯的貢獻:
他居住亞力山大,與阿基米德同一時期.他主要的研究對象是圓錐曲線,在他之前也有一些零星的結果,但是由他開始對圓錐曲線作嚴密的定義與討論.由幾何學的觀點來看,它所著的"圓錐曲線"這本書可說是古希臘幾何學的巔峰.這本書計有八冊,共有487個項目.其真正的實用性,直到16世紀才被發揚.事實上,在這以後,任何時期的數學家在啟蒙入門時大概都是靠歐基里德的"Element"與阿波羅尼阿斯的"圓錐曲線"起家的.
6.希臘數學中的著名問題:
所謂的問題,就是只能用圓規與沒有刻度的直尺之下,是否可以解決下列問題:
方圓問題:
是否能將一個已知的圓,變成一個正方形,而使得兩者面積相等
這個問題在由尤多拉斯時代,就有許多人在這方面的研究,直到十九世紀才證明其為不可能,但是研究期間,已經另外產生了許多數學的分支.
倍積問題:
對一個已知的正立方體,長,寬,高應該擴大,才可使新的立方體為原來立方體體積的兩倍.
等分角問題:
對任意的一個角,如何將其三等分.
問題2,3到十九世紀才被解決,證明為不可能.
平行公設:
有人認為平行公設不為一公設,所以有人將平行公設這個去除,結果造出一套新的幾何學出來,而又不會違背原來的歐式幾何,這也就是非歐幾何學.也就是愛因斯坦相對論的基礎.
也許有人認為希臘人不切實際,這三個問題在當時,可說完全無實用性,只可說是一些有閑階級的人磨練腦力之用.但是就是因為有那麼多人投下心力去研究,才會間接帶動幾何學研究的風潮.而因此產生以後數學蓬勃的發展.
7.對數學發展有影響力的人物
(1)亞力山大大帝
(2)托勒密王朝:
建立了亞力山大城,並建立了亞力山大圖書館,為世界當時最大圖書館.在這個圖書館中,產生了許多有影響力的學者.(阿基米德等人)
Hiero國王:
為西西里島國王,阿基米德的直接贊助者.
蘇格拉底,柏拉圖,亞里斯多德.
克利奧派翠亞(埃及艷後)
托勒密王朝的末代人物,亞力山大圖書館的第一次大火,就因它而起.(第一認浩劫).
基督教領袖與回教領袖:
對希臘數學作第二次與第三次摧毀的主要角色.
8.希臘數學的衰退
在阿基米德,阿波羅尼阿斯等人之後,希臘數學開始衰退,以後我們將討論它所遭受的災難:
第一次浩劫:
羅馬人的來臨,使得希臘數學遭到破壞.羅馬人都很實際,他們設計完成很多工程,但是卻拒絕去深思用的原理.羅馬的皇帝也不熱衷的支持數學家.希臘在公元前十四世紀完全被羅馬征服.當時托勒密王朝的末代君主為克利奧派翠亞(埃及艷後)與凱撒很好,凱撒為了幫助她與她的兄弟的紛爭,放火燒了亞力山大港的戰艦,結果大火無法控制,將亞力山大圖書館也燒掉了.大概有數以百萬計的圖書及手稿全部付之一炬,造成重大損傷.這一次損傷,耗了希臘數學不少元氣.
第二次浩劫:
基督教的興起,使得希臘數學面臨第二次浩劫.因為他們反對教會外的研究,並且嘲弄數學,天文學及物理學.基督徒被迫禁止參與希臘研究,以防止受到污染.所以又有成千上萬的希臘書被毀.
第三次浩劫:
回教徒征服亞力山大城後連最後的一些圖書都被燒掉,當時的回教征服有一句話說:若是這些書的內容在可蘭經中已有,則我們不必去讀它.若在可蘭經中沒有則更不應該去讀它,所以全部圖書付之一炬.
殘余的部份:
此時,一些學者都移居君士坦丁堡,寄託於東羅馬帝國之下,雖然仍感到基督徒的不友好氣氛,但是總是較安全,使得知識的庫存又慢慢增加,直到14世紀文藝復興時才又再發揚光大.
9.與幾何學有關的科學
天文學:
對希臘人而言,幾何學的原則是宇宙空間的具體表現,所以幾乎每個數學家都曾在天文學上下過功夫.事實上,三角學的發明,就是要研究天文學而發展出來的技術.有許多數學家都曾設計過天體間星球運行的模型.當時流行的有日心識菟地心說,日心說由阿里斯塔克提出(他是亞力山大城第一位偉大的天文學家),但是當時反對的人很多.地心說由托勒密提出來的.這個學說直到16世紀時才被推翻.在托勒密的時代,也就是天文學發展最巔峰的時期.另一位偉大的天文學家是阿波羅尼阿斯,他以數量的觀點來描述過星球運動,這已接近18世紀時天文學的研究領域.托勒密的Almagest為經典之作.
9. 解析幾何發展史
十六世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；義大利科學家伽利略發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。
1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的後面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個「幾何學」實際上指的是數學，就像我國古代「算術」和「數學」是一個意思一樣。
笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和「超立體」的作圖，但他實際是代數問題，探討方程的根的性質。後世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。
從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種「普遍」的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解一個方程式。
為了實現上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對(x,y)的對應關系。x,y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。
具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系後，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變數、函數以及數和形等重要概念密切聯系了起來。
解析幾何的產生並不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個「坐標」（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。
在數學史上，一般認為和笛卡爾同時代的法國業余數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之一，應該分享這門學科創建的榮譽。
費爾馬是一個業余從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的「書」無意發表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關於解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費爾馬死後，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。
笛卡爾的《幾何學》，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數學新園地做出了貢獻。
解析幾何的基本內容
在解析幾何中，首先是建立坐標系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個直角坐標系oxy。利用坐標系可以把平面內的點和一對實數(x,y)建立起一一對應的關系。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。
坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對於解析幾何是重要的，就是對於幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。
解析幾何的創立，引入了一系列新的數學概念，特別是將變數引入數學，使數學進入了一個新的發展時期，這就是變數數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。恩格斯對此曾經作過評價「數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變書，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，……」
解析幾何的應用
解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。
在平面解析幾何中，除了研究直線的有關直線的性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。
在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。
橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理製成的。
總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。
運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件「翻譯」成代數方程；然後運用代數工具對方程進行研究；最後把代數方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。
坐標法的思想促使人們運用各種代數的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數方法後就變得平淡無奇了。坐標法對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具。
10. 知道幾何學的由來嗎
幾何學是研究空間(或平面)圖形的形狀、大小和位置的相互關系的一門科學，簡稱為幾何。
「幾何」這一名詞最早出現於希臘，由希臘文「土地」和「測量」二字合成，意思是「測地術」。實際上希臘人所稱的「幾何」是指數學，對測量土地的科學，希臘人用了「測地術」的名稱。
古希臘學者認為，幾何學原是由埃及人開創的，由於尼羅河泛濫，常把埃及人的土地界線沖掉，於是他們每年要作一次土地測量，重新劃分界線。這樣，埃及人逐漸形成一種專門的測地技術，隨後這種技術傳到希臘，逐步演變成現在狹義的幾何學。
公元前三百年左右，古希臘數學家歐幾里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的既豐富又紛紜的龐雜結果整理在一個嚴密統一的體系中，從原始公理開始，列出5條公理，通過邏輯推理，演繹出一系列定理和推論，從而建立了被稱為歐幾里得幾何學的第一個公理化數學體系，寫成了巨著《幾何原本》。
我國古代的幾何學是獨立發展的，對幾何學的研究有悠久的歷史，從甲骨文中發現，早在公元前13、14世紀，我國已有「規」、「矩」等專門工具。《周髀算經》和《九章算術》書中，對圖形面積的計算已有記載，《墨經》中已給一些幾何概念明確了定義。劉微、祖沖之父子對幾何學也都有重大貢獻。中文名詞「幾何」是1607年徐光啟在義大利傳教士利瑪竇協助下，翻譯《幾何原本》前6卷時首先提出的。這里說的幾何不是狹義地指「多少」的意思，而是泛指度量以及包括與度量有關的內容。
當今，幾何已形成結構嚴密的科學體系，成為數學中的一個重要分支，是訓練邏輯思維能力與空間想像能力的最有效的學科之一。
「幾何」這個詞在漢語里是「多少？」的意思，但在數學里「幾何」的涵義就完全不同了。「幾何」這個詞的詞義來源於希臘文，原意是土地測量，或叫測地術。
幾何學和算術一樣產生於實踐，也可以說幾何產生的歷史和算術是相似的。在遠古時代，人們在實踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，並且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關系跟數量關系之間的關系，這些後來就成了幾何學的基本概念。
正是生產實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數是經驗性的，但是幾何學就是建立在這些零散、經驗性的、粗淺的幾何知識之上的。
幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域里最基礎的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。