『壹』 數的發展擴充史
系擴充原則(principle of extension of a number system)是數系擴充的基本法則，它是在人類認識和運用數的歷史發展過程中，逐步形成的、不斷擴大數的范圍的一些基本原則。這些原則是：
從數系A擴充到數系B必須是A⊂B，即A是B的真子集；
數系A中定義了的基本運算能擴展為數系B的運算，且這些運算對於B中A的元來說與原來A的元間的關系和運算相一致；
3.A中不是永遠可行的某種運算，在B中永遠可行，例如，實數系擴充為復數系後，開方的運算就永遠可行，再如，自然數系擴充為整數系後，減法的運算就能施行等；
4.B是滿足上述條件的惟一的最小的擴充，例如，自然數系只能擴充為整數系，而不能一下擴展為實數系。還有一點必須明確：數系A的每一次擴充，都解決了原來數系中的某些矛盾，隨之應用范圍擴大了。但是，每一次擴充也失去原有數系的某些性質，比如，實數系擴充到復數系後，實數系的順序性質就不復存在，即在復數系中不具有順序性。數系的擴充，一般採用兩種形式：一種是首先從理論上構造一個集合，即通過定義等價集合來建立新的數系，然後指出新的數系的一部分集合是和以前的數系同構的；另一種擴充形式則是把新元素加到已建立的數系中而擴充
數系的擴充過程 ，在人類文明史的發展過程中，先有正整數Z+=N∗,但在Z+中減法又不封閉：3−5=−2，不再屬於Z+，為此引進新數Z−和0，合成整數Z。Z=Z+∪Z−∪ 0 ,這是數系的第一次擴充。在Z內除法又不封閉：5 3∉Z，為此引進新數：分數，合成有理數Q=Z∪ 分數 ，這是數系的第二次擴充。在Q內正數不能開偶次方： 2∉Q，為此引進新數Q ，合成新數R=Q∪Q . 在R內負數不能開偶次方， −2∉R，為此又要引進新數虛數R ，與實數R合成復數：C=R∪R 。
數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集,了解它們之間的包含關系。
『貳』 數系的每一次擴充都與什麼密切相關
現在已有的是復數和四元數，網路上都有的 復數的擴張 復數概念的進化是數學史中專最奇特的一章，那就是數系的屬歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。
人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之後，才去嘗試新的征程。
『叄』 數系擴充的歷史及過程
上中國教育網
『肆』 實數繫到復數系的發展史
數的概念是從實踐中產生和發展起來的．早在人類社會初期，人們在狩獵、採集果實等勞動中，由於計數的需要，就產生了自然數；隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展：為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了滿足記數需要和表示具有相反意義的量，人們引進了負數；為了解決開方開不盡的矛盾，人們引進了無理數；在解方程時，為了使負數開平方有意義，人們就引進了虛數，使實數域擴大到復數域．
十六世紀中葉，義大利數學家卡爾丹在解一元二次方程 和一元三次方程 時，分別得到類似下面的結果：
，
由於負數在實數系內沒有平方根，於是他首先產生了將負數開平方的思想，基於自己的設想，卡爾丹研究了類似於 的新數，並進行了計算．後來又有一位義大利數學家幫加利探究了這類新數的運演算法則．但最初，人們對復數的概念和性質的了解不甚清楚，對於卡爾丹將40表示成 的乘積認為只不過是一種純形式的表示而已，莫名其妙；再者用這類新數的運演算法則計算又會得到一些矛盾，因而長期以來，人們把復數看作是不能接受的「虛數」．直到十七世紀和十八世紀，隨著微積分的發明與發展，以及這個時期復數有了幾何的解釋，「虛數」才被揭去縹緲的面紗，漸露端倪．1637年，法國數學家笛卡爾正式開始使用「實數」、「虛數」這兩個名詞；同一時期，德國數學家萊布尼茨、瑞士數學家歐拉和法國數學家棣莫弗等研究了虛數與對數函數、三角函數之間的關系，除了解方程外，還把它用於微積分等方面進行應用研究，得到很多有價值的結果．1777年，歐拉系統地建立了復數理論，創立了復變函數論的一些基本定理，並開始把它們用到水力學和地圖制圖學上；歐拉首先用符號「i」作為虛數的單位，並定義 1797年，挪威數學家維賽爾在平面內引進數軸，以實軸與虛軸所確定的平面向量表示虛數，不同的向量對應不同的點，他還用幾何術語定義了虛數與向量的運算，揭示了虛數及其運算所具有的幾何意義．
十八世紀末十九世紀初，著名的德國數學家高斯在證明代數基本定理「任何一元n次方程在復數集內有且僅有n個根」時，就應用並論述了卡爾丹所設想的新數，並首次引進了「復數」這個名詞，把復數與平面內的點一一對應起來，創立了復平面，依賴於平面內的點或有向線段(向量)建立了復數的幾何基礎．這樣歷經300年的努力，數系從實數繫到復數系的擴張才基本完成，復數才被人們廣泛承認和使用．
復數在數學中起著重要的作用，除了上述的代數基本定理外，還有「實系數的一元n次方程虛根成對出現」定理等，特別是以復數為變數的「復變函數論」，是數學中一個重要分支．十九世紀，復變函數論經過法國數學家柯西、德國數學家黎曼和維爾斯特拉斯的巨大努力，已經形成了非常系統的理論，並且深刻地滲入到代數學、解析數論、微分方程，概率統計、計算數學和拓撲學等數學分支．同時，它在電學、熱力學、彈性理論和天體力學等方面都得到了實際應用．
『伍』 數系產生的社會背景
「數學是一門研究數量關系和空間形式的科學」的說法在中國曾經十分流行，這可能與恩格斯著作的長期影響有關。對於數學，今天人們更加認同於如下的說法：
「數學是一個完全自成體系的知識領域…數學僅僅討論它本身想像中的實體及關系」（《科學技術網路全書》[麥格勞-希爾圖書公司]第1卷數學，科學出版社1980，235-236頁）；
「到1900年，數學已經從實在性中分裂出來了；它已經明顯地而且無可挽回地失去了它對自然界真理的所有權，因而變成了一些沒有意義的東西的任意公理的必然推論的隨從了」（ 克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，111頁）。
照此說法，數學就不是「數」學了。然而，數學與生俱來的強大應用性並不因為「數學已經從實在性中分裂出來了」而有稍微的減弱。既是抽象的又有實在的一面，人們逐漸形成了對數學的主流看法——數學的現狀「一方面是其內在的統一性，另一方面是外界應用的更高的自覺性」，數學的兩種趨勢是「從外部尋求新問題和在內部追求統一」（美國國家研究委員會《振興美國數學——90年代的計劃》，葉其孝等譯，世界圖書出版公司1993），而不再局限於給數學下一個定義。
畢達哥拉斯
無理數是一個能恰好地描述數學特徵的案例。從數學發展史看，人類對無理數的發蒙始於古希臘畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）學派，但二千四百年後才產生包括無理數在內的實數嚴格定義；從當今教育的知識體系看，學生在初中階段開始接觸無理數，直到大學畢業卻仍然不明白無理數的實質含義。歷史與現實兩者的契合正好說明無理數的兩面特徵，應用性使得它是常見的數學工具之一，而抽象性又使所有非數學工作者不能真正認識它。
克羅內克
數系的擴張過程以自然數為基礎，德國數學家克羅內克（Kronecker，1823-1891）說「上帝創造了整數，其它一切都是人造的」（克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，41頁）。零與自然數的產生源於人類在生存活動中的原始沖動，這一推測想來不會有問題，人的雙手有十指與十進制的廣泛使用也當然有密切關系；
類似於 2+3=5 的事實產生了加法的概念，然而2加上幾會等於1呢？由此需要定義負數：一個數的「負數」即它與該數之和等於0；進而定義減法。產生零、負自然數，合稱整數；
加法的重復進行產生了乘法，2×3=6 就是三個2相加。然而2乘以幾會等於1呢？由此需要定義倒數：一個數的「倒數」即它與該數之積等於1，進而定義除法，產生既約分數，合稱有理數。
以上過程不論用抽象的數學語言還是通俗語言來描述都容易為人接受，可以說由於計數、測量的需要而擴大了數系。
最早出現的無理數也與計數、測量有關。乘法的重復進行產生了乘方，23 就是三個2相乘，然而哪個數的平方會等於2呢？畢達哥拉斯學派提出了這個問題，邊長為1的正方形的對角線的長度不是既約分數，後來用√2表示對角線的長度，無理數的概念初步形成。
以下是關於√2不是有理數的一個證明，載於歐幾里德《幾何原本》，但據說是更早的畢達哥拉斯學派所作 ：設√2是既約分數p/q，即√2=p/q，則2q2=p2，這表明p2是偶數，p也是偶數（否則若p是奇數則p2是奇數），設p=2k，得q2=2k2，於是q也是偶數，這與p/q是既約分數矛盾。
雖然開方運算可能產生無理數，但仿照上述辦法來擴張數系會遇到困難。例如僅用開方定義新的數例如√2，3√2（後來被稱為初等無理數）是不夠的；(1+√2) 就不能通過對某有理數開方而得，那麼(1+√2)是什麼？試作一比較，任何有理數總可以乘以某整數而還原成整數，但(1+√2)的任何次乘方卻不可能得到有理數。
阿貝爾
考慮到此，容易想到的辦法是用有理數的加減乘除、乘方、開方定義新的數，後來被稱為復合無理數，顯然它包含了初等無理數。畢竟擴張數系的動力之一是使代數方程有解，例如(1+√2)的產生使得方程x2-2x-1=0有解。
但又有新的問題，挪威數學家阿貝爾（Abel，1802-1829）於1825年證明「一般五次方程不能只用根式求解」，緊接著法國數學家伽羅瓦（Galois，1811-1832）解決「方程須有何種性質才可求根式解」的問題，復合無理數立即黯然失色。
伽羅瓦
數學家頑強地推進，索性將新的數系定義為所有有理系數方程的根（後來稱為代數數），有理數、初等無理數、復合無理數都被包括在內。數系的擴張本來是從現實需要出發的問題，但現在已經開始變得抽象了，因為代數數中那些不是有理數、初等無理數、復合無理數的「數」究竟什麼樣子？這不僅不能回答，似乎也並不重要，重要的是這樣的「數」確實存在。
不得不面對的煩惱是，一個代數數的描述與運算都必須通過相關的代數方程的系數，而且代數方程的根通常不是唯一的。
徹底摧毀這一定義方式的是1844年柳維爾（Liouville，1809-1882）證明非代數數的存在。早在1830年代，e=1+(1/1!)+(1+2!)+...+(1/n!)+...與圓周率π被證明是無理數，在柳維爾的結論宣布後不久，1873年、1883年數學家埃爾米特(Hermite，1822-1901)與林德曼（Lindemann，1852-1939）先後證明e,π不是代數數。
由於有理數可表示成有限小數或無限循環小數，人們想到用「無限不循環小數」來定義無理數，這也是直至19世紀中葉以前的實際做法。它看起來很通俗，不明白無理數奧妙的人大體也是這樣理解無理數的。但這樣做遇到的困難更大：關鍵的問題是你無法判斷一個數是無限不循環的，也不能將兩個無限不循環的數進行加減乘除。
不循環的無限小數當然是難以認識，如果我們翻用一下列夫•托爾斯泰著名小說《安娜•卡列尼娜》中的名句「幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸」，那就是：循環的小數都是一樣的循環，不循環的小數各有各的不循環！16世紀德國數學家施蒂費爾（Stifel，約1486-1567）說「當我們想把它們數出來（用十進小數表示）時，…就發現它們無止境地往遠處跑，因而沒有一個無理數實質上是能被我們准確掌握住的…。而本身缺乏准確性的東西就不能稱其為真正的數…。所以，正如無窮大的數並非數一樣，無理數也不是真正的數，而是隱藏在一種無窮迷霧後面的東西」（克萊因《古今數學思想》第1冊，上海科學技術出版社1979， 292頁）
克萊因指出「所有在Weierstrass（德國數學家外爾斯特拉斯1815-1897——引注）之前引進無理數的人都採用了這樣的概念，即無理數是一個以有理數為項的無窮序列的極限。但是這個極限，假如是無理數，在邏輯上是不存在的，除非無理數已經有了定義」（克萊因《古今數學思想》第4冊，上海科學技術出版社1979，46頁）。
一本著名的數學教材將「無限不循環小數」稱為「中學生的實數」，「用這個定義，實數是非常具體的對象，但在定義加法和乘法時所包含的困難是不容忽視的」，在介紹了加法定義的一種方式及指出乘法可類似處理後說「不過，乘法逆元素的存在將又一次是最困難的」並就此打住（斯皮瓦克《微積分》下冊，張毓賢等譯，人民教育出版社1981，695頁）。
根據施蒂費爾的說法我們只能說√2不是有理數，而不能說它是無理數，因為我們還沒有定義什麼是「無理數」。前述古希臘人關於√2無理性的證明應當是「不存在這樣的有理數使其平方等於2」。由於除了有理數就沒有數，√2根本就不是「數」。
現在可以看到無理數問題的困難所在：從開方運算的逆運算與確定邊長為1的正方形的對角線長度的需要，都應當在有理數的基礎上再擴大，這與以往從自然數擴大到整數、從整數擴大到有理數沒有什麼兩樣。然而在具體做法上，利用運算的逆向進行或通過對有理數進行代數運算或用代數方程的根而產生的「數」是不完全的，「無限不循環小數」的說法又不合理不嚴格。這一困難使數學史上數系的擴張停滯了兩千多年。
進一步擴張數系的必要性是不成問題的，在很長時間里人們將無理數理解為其近似值，從實用的角度來說，一個沒有嚴格定義的東西難道就不能存在、不能使用嗎？但是數學奉行嚴密邏輯的理念自歐幾里德《幾何原本》以來就堅定不移，不以現實為背景的非歐幾何的產生（18世紀）加深了數學家對於擺脫實在性的趨同。
從整數產生有理數曾經主要是根據測量、計數的需要，但現在要回到始點從頭做起。例如純粹從數學發展的內在動力與邏輯展開來定義有理數：
設p,q是整數，則數偶(p,q)稱為有理數，規定兩個有理數的乘法、加法規則，證明它們符合交換律、結合律等等。這是一個用以參考的範式：將某種「對象」定義為實數，其目標與要求應當是能包含以上已有的所有對象，有通常的加法乘法且符合運算規則。
以下介紹的兩種定義中的「數」僅指有理數，而實數是用「數」按特定方式構成的那樣一些「對象」或「東西」。
戴德金（Dadekind，1831-1916）定義：一個實數定義為有理數的一個集合，這個集合是數軸上所有有理數從某處分開的左邊「一半」（數學術語為「分割」），且沒有最大的數。
按戴德金的定義，實數集合的每個元是有理數集合的一個子集，一個實數是有理數的一個集合。例如所有小於2的有理數集合確定一個實數，它就是2；所有其平方小於2的有理數集合確定一個實數，它就是√2。須注意這兩例有一個重要區別，對應於有理數的「分割」其「右半」有最小的數2，對應於無理數的「分割」其「右半」沒有最小的數。戴德金的定義來源於這樣的啟示：每個有理數作為有長度的線段，對應著數軸上的坐標。邊長為1的正方形的對角線線段也應對應數軸上的一個點，這意味著如果只有有理數，數軸上存有「空隙」——盡管有理數非常稠密。應當填補這些「空隙」使數軸成為完美的，歐幾里德《幾何原本》中曾記載過這一思想的雛形。
康托（Cantor，1845-1918）定義：一個實數定義為有理數的柯西序列a1,a2,...,an，此處an都是有理數，且滿足對於任意自然數p必有自然數N，使當m＞N,n＞N時有|am-an|＜1/q。康托的定義來源於如下的啟示：若只限於有理數，則「微積分」的命題「單調有界數列必收斂」可能不成立，例如有理數數列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是單調遞減的、有界的，其極限是√2。
在以上兩種定義中還要分別規定實數之間的大小比較、如何運算然後證明運算是符合熟知的規則的。另一個需要解決的重要問題是，這兩種實數定義所規定的這些「東西」在抽象意義上是不是相同的？如果不能肯定回答豈不會帶來一片混亂，何況還會有其它形式的實數定義。這些問題當然都已一一妥帖解決。
試對兩種定義做一比較評判：康托的定義較實在，由於明顯涉及了無限（必定有時間如何發展的直覺）的概念稱為是動態的。例如，說數列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...定義無理數√2，必須附加對於數列變化規律的種種說明。戴德金的定義較虛幻，但是是靜態的，它擺脫了由時間直覺所附加的束縛。
為了加深印象，現在我們必須用最簡明最通俗的語言來描述一下「實數」：按戴德金的說法，一個實數是有理數的一個集合；按康托的說法，一個實數是有理數的一個（柯西）序列。數學史上還有別的實數定義，在那裡實數又有另外一副面孔。
幾乎在構建實數體系的同時，1874年康托還證明了無理數比有理數多得多、非代數數比代數數多得多！這也意味著，無形的、不是根式的無理數竟比直觀的、根式的無理數多得多！數軸上代表有理數的點雖然是稠密的——任何兩個有理數點之間恆有無數多有理數點，但是除有理數點外的「空隙」更多。「空隙」一旦填滿，稠密概念發展成了連續的概念，數軸上點與實數完全對應，無理數問題畫上了永遠的句號。這里涉及關於集合中元素「個數」的比較問題，本文限於篇幅就此打住了。
實數體系的建立，使得諸如3√2表示什麼得以明確，「高等數學」中命題「單調有界數列必收斂」、閉區間連續函數的性質得以證明。
然而從應用角度或對於非數學工作者（絕大多數人）而言，卻是再次回到古希臘。無理數仍然是「小數」，人們並不真正關心它的「無盡」、「不循環」，事實上也無法弄清楚，只是按需要取作適當位數的近似值。例如說到圓周率π，為什麼要關心它是循環的還是不循環的呢？「十位小數就足以使地球周界准確到一英寸以內，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周准確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量」（丹齊克《數：科學的語言》蘇仲湘譯，上海教育出版社2000年，98頁）。
至於數學家，在定義了無理數之後依然兩手空空，數學家所知道的無理數確實少的可憐：知道得最多的只是各式各樣的根式，這是古希臘人即已知道的；其次是π與e兩個非代數數。那些比代數數多得多的無理數在哪兒？1900年數學家希爾伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23個數學問題即包括了這一內容。以後的進展是，數學家證明若α是代數數（除0與1）、β是無理的代數數，則αβ是非代數數（1934年）。然而，若稍微追問一句「(π+e)是無理數還是有理數」？則至今都沒有嚴密的答案。數學家心安理得的是建立了無懈可擊的實數體系，在堅實的基礎上，任何閑言碎語都是不足道的。無理數所體現的完美無缺、一絲不苟的純粹理性與無孔不入、盡人皆知的世俗應用，可謂占盡天上人間風光，正是數學的魅力之所在
『陸』 數學的發展與人類歷史進程有什麼關系
現代數學時期是指由19世紀20年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關系和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數、拓撲學、泛函分析是整個現代數學科學的主體部分。它們是大學數學專業的課程，非數學專業也要具備其中某些知識。變數數學時期新興起的許多學科，蓬勃地向前發展，內容和方法不斷地充實、擴大和深入。
18、19世紀之交，數學已經達到豐沛茂密的境地，似乎數學的寶藏已經挖掘殆盡，再沒有多大的發展餘地了。然而，這只是暴風雨前夕的寧靜。19世紀20年代，數學革命的狂飆終於來臨了，數學開始了一連串本質的變化，從此數學又邁入了一個新的時期——現代數學時期。
19世紀前半葉，數學上出現兩項革命性的發現——非歐幾何與不可交換代數。
大約在1826年，人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和准備。
後來證明，非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終於開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質。從這個意義上說，為確立和發展非歐幾何貢獻了一生的羅巴契夫斯基不愧為現代科學的先驅者。
1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域——黎曼幾何學。非歐幾何學的發現還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。1899年，希爾伯特對此作了重大貢獻。
在1843年，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。不可交換代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數的大門。
另一方面，由於一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創了近世代數學的研究。近代代數是相對古典代數來說的，古典代數的內容是以討論方程的解法為中心的。群論之後，多種代數系統(環、域、格、布爾代數、線性空間等)被建立。這時，代數學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，並漸漸轉向代數系統結構本身的研究。
上述兩大事件和它們引起的發展，被稱為幾何學的解放和代數學的解放。
19世紀還發生了第三個有深遠意義的數學事件：分析的算術化。1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎作更深刻的理解。他提出了被稱為「分析的算術化」的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然後分析的所有概念應該由此數系導出。他和後繼者們使這個設想基本上得以實現，使今天的全部分析可以從表明實數系特徵的一個公設集中邏輯地推導出來。
現代數學家們的研究，遠遠超出了把實數系作為分析基礎的設想。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實數系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數分支是相容的。實數系(或某部分)可以用來解群代數的眾多分支；可使大量的代數相容性依賴於實數系的相容性。事實上，可以說：如果實數系是相容的，則現存的全部數學也是相容的。
19世紀後期，由於狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。即他們證明了實數系(由此導出多種數學)能從確立自然數系的公設集中導出。20世紀初期，證明了自然數可用集合論概念來定義，因而各種數學能以集合論為基礎來講述。
拓撲學開始是幾何學的一個分支，但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可以粗略地定義為對於連續性的數學研究。科學家們認識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數的集合、代數實體的集合、函數的集合或非數學對象的集合，都能在某種意義上構成拓撲空間。拓撲學的概念和理論，已經成功地應用於電磁學和物理學的研究。
20世紀有許多數學著作曾致力於仔細考查數學的邏輯基礎和結構，這反過來導致公理學的產生，即對於公設集合及其性質的研究。許多數學概念經受了重大的變革和推廣，並且像集合論、近世代數學和拓撲學這樣深奧的基礎學科也得到廣泛發展。一般(或抽象)集合論導致的一些意義深遠而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數學上以承認的前提去得出結論的工具，被認真地檢查，從而產生了數理邏輯。邏輯與哲學的多種關系，導致數學哲學的各種不同學派的出現。
20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。這些情況是：現代科學技術研究的對象，日益超出人類的感官范圍以外，向高溫、高壓、高速、高強度、遠距離、自動化發展。以長度單位為例、小到1塵(毫微微米，即10^-15米)，大到100萬秒差距(325.8萬光年)。這些測量和研究都不能依賴於感官的直接經驗，越來越多地要依靠理論計算的指導。其次是科學實驗的規模空前擴大，一個大型的實驗，要耗費大量的人力和物力。為了減少浪費和避免盲目性，迫切需要精確的理論分機和設計。再次是現代科學技術日益趨向定量化，各個科學技術領域，都需要使用數學工具。數學幾乎滲透到所有的科學部門中去，從而形成了許多邊緣數學學科，例如生物數學、生物統計學、數理生物學、數理語言學等等。
上述情況使得數學發展呈現出一些比較明顯的特點，可以簡單地歸納為三個方面：計算機科學的形成，應用數學出現眾多的新分支、純粹數學有若乾重大的突破。
1945年，第一台電子計算機誕生以後，由於電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。粗略地說，計算機科學是對計算機體系、軟體和某些特殊應用進行探索和理論研究的一門科學。計算數學可以歸入計算機科學之中，但它也可以算是一門應用數學。
計算機的設計與製造的大部分工作，通常是計算機工程或電子工程的事。軟體是指解題的程序、程序語言、編製程序的方法等。研究軟體需要使用數理邏輯、代數、數理語言學、組合理論、圖論、計算方法等很多的數學工具。目前電子計算機的應用已達數千種，還有不斷增加的趨勢。但只有某些特殊應用才歸入計算機科學之中，例如機器翻譯、人工智慧、機器證明、圖形識別、圖象處理等。
應用數學和純粹數學(或基礎理論)從來就沒有嚴格的界限。大體上說，純粹數學是數學的這一部分，它暫時不考慮對其它知識領域或生產實踐上的直接應用，它間接地推動有關學科的發展或者在若干年後才發現其直接應用；而應用數學，可以說是純粹數學與科學技術之間的橋梁。
20世紀40年代以後，涌現出了大量新的應用數學科目，內容的豐富、應用的廣泛、名目的繁多都是史無前例的。例如對策論、規劃論、排隊論、最優化方法、運籌學、資訊理論、控制論、系統分析、可靠性理論等。這些分支所研究的范圍和互相間的關系很難劃清，也有的因為用了很多概率統計的工具，又可以看作概率統計的新應用或新分支，還有的可以歸入計算機科學之中等等。
20世紀40年代以後，基礎理論也有了飛速的發展，出現許多突破性的工作，解決了一些帶根本性質的問題。在這過程中引入了新的概念、新的方法，推動了整個數學前進。例如，希爾伯特1990年在國際教學家大會上提出的尚待解決的23個問題中，有些問題得到了解決。60年代以來，還出現了如非標准分析、模糊數學、突變理論等新興的數學分支。此外，近幾十年來經典數學也獲得了巨大進展，如概率論、數理統計、解析數論、微分幾何、代數幾何、微分方程、因數論、泛函分析、數理邏輯等等。
當代數學的研究成果，有了幾乎爆炸性的增長。刊載數學論文的雜志，在17世紀末以前，只有17種(最初的出於1665年)；18世紀有210種；19世紀有950種。20世紀的統計數字更為增長。在本世紀初，每年發表的數學論文不過1000篇；到1960年，美國《數學評論》發表的論文摘要是7824篇，到1973年為20410篇，1979年已達52812篇，文獻呈指數式增長之勢。數學的三大特點—高度抽象性、應用廣泛性、體系嚴謹性，更加明顯地表露出來。
『柒』 簡述數系的五次擴充的過程
系擴充原則(principle of extension of a number system)是數系擴充的基本法則，它是在人類認識和運用數的歷史發展過程中，逐步形成的、不斷擴大數的范圍的一些基本原則。這些原則是：
從數系A擴充到數系B必須是A⊂B，即A是B的真子集；
數系A中定義了的基本運算能擴展為數系B的運算，且這些運算對於B中A的元來說與原來A的元間的關系和運算相一致；
3.A中不是永遠可行的某種運算，在B中永遠可行，例如，實數系擴充為復數系後，開方的運算就永遠可行，再如，自然數系擴充為整數系後，減法的運算就能施行等；
4.B是滿足上述條件的惟一的最小的擴充，例如，自然數系只能擴充為整數系，而不能一下擴展為實數系。還有一點必須明確：數系A的每一次擴充，都解決了原來數系中的某些矛盾，隨之應用范圍擴大了。但是，每一次擴充也失去原有數系的某些性質，比如，實數系擴充到復數系後，實數系的順序性質就不復存在，即在復數系中不具有順序性。數系的擴充，一般採用兩種形式：一種是首先從理論上構造一個集合，即通過定義等價集合來建立新的數系，然後指出新的數系的一部分集合是和以前的數系同構的；另一種擴充形式則是把新元素加到已建立的數系中而擴充
數系的擴充過程 ，在人類文明史的發展過程中，先有正整數Z+=N∗,但在Z+中減法又不封閉：3−5=−2，不再屬於Z+，為此引進新數Z−和0，合成整數Z。Z=Z+∪Z−∪ 0 ,這是數系的第一次擴充。在Z內除法又不封閉：5 3∉Z，為此引進新數：分數，合成有理數Q=Z∪ 分數 ，這是數系的第二次擴充。在Q內正數不能開偶次方： 2∉Q，為此引進新數Q ，合成新數R=Q∪Q . 在R內負數不能開偶次方， −2∉R，為此又要引進新數虛數R ，與實數R合成復數：C=R∪R 。
數系擴充的過程體現了數學的發展和創造的過程,也體現了數學發生、發展的客觀需求.雖然學生知道自然數集、整數集、有理數集和實數集,了解它們之間的包含關系。
『捌』 關於數的歷史和發展的論文
1 中國古代數復學的發展制
在古代世界四大文明中，中國數學持續繁榮時期最為長久。從公元前後至公元14世紀，中國古典數學先後經歷了三次發展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，並在宋元時期達到頂峰。
與以證明定理為中心的希臘古典數學不同，中國古代數學是以創造演算法特別是各種解方程的演算法為主線。從線性方程組到高次多項式方程，乃至不定方程，中國古代數學家創造了一系列先進的演算法(中國數學家稱之為「術」)，他們用這些演算法去求解相應類型的代數方程，從而解決導致這些方程的各種各樣的科學和實際問題。特別是，幾何問題也歸結為代數方程，然後用程式化的演算法來求解。因此，中國古代數學具有明顯的演算法化、機械化的特徵。以下擇要舉例說明中國古代數學發展的這種特徵。
1.1 線性方程組與「方程術」
中國古代最重要的數學經典《九章算術》(約公元前2世紀)卷8的「方程術」，是解線性方程組的演算法。以該卷第1題為例，用現代符號表述，該問題相當於解一個三元一次方程組：
3x+2y+z＝39
2x+3y+z＝34
x+2y+3z＝26
《九章》沒有表示未知數的符號，而是用算籌將x
『玖』 數的發展 急用!
中國古代數學的發展
在古代世界四大文明中，中國數學持續繁榮時期最為長久。從公元前後至公元14世紀，中國古典數學先後經歷了三次發展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，並在宋元時期達到頂峰。
與以證明定理為中心的希臘古典數學不同，中國古代數學是以創造演算法特別是各種解方程的演算法為主線。從線性方程組到高次多項式方程，乃至不定方程，中國古代數學家創造了一系列先進的演算法(中國數學家稱之為「術」)，他們用這些演算法去求解相應類型的代數方程，從而解決導致這些方程的各種各樣的科學和實際問題。特別是，幾何問題也歸結為代數方程，然後用程式化的演算法來求解。因此，中國古代數學具有明顯的演算法化、機械化的特徵。以下擇要舉例說明中國古代數學發展的這種特徵。
1.1 線性方程組與「方程術」
中國古代最重要的數學經典《九章算術》(約公元前2世紀)卷8的「方程術」，是解線性方程組的演算法。以該卷第1題為例，用現代符號表述，該問題相當於解一個三元一次方程組：
3x+2y+z＝39
2x+3y+z＝34
x+2y+3z＝26
《九章》沒有表示未知數的符號，而是用算籌將x
『拾』 「數」的發展過程
一、數的發展簡史
數是各種具體的量的抽象．從歷史上看,人類對於數的認識,大體上是按照以下的邏輯順序進行的:
自然數(添正分數)-→正有理數(添零)-→非負有理數(添負數)
-→有理數(添無理數)-→實數(添虛數)-→復數
自然數的產生，起源於人類在生產和生活中計數的需要．開始只有很少幾個自然數，後來隨著生產力的發展和記數方法的改進，逐步認識越來越多的自然數．這個過程大致可以分為三個階段．在第一階段，物體集合的性質，是由物體間的直接比較確定的．我國古代傳說的結繩記數便屬於這一階段.在第二階段,出現了數詞，如三頭牛、五隻羊等等．這時，還沒能把單個的數從具體物體的集合中分離出來．在第三階段，認識到每一個單個的數,是物體集合的一種性質，把數從具體物體的集合中分離出來，形成了抽象的自然數(正整數)概念，並有了代表它的符號．從某種意義上說，幼兒認識自然數的過程，就是人類祖先認識自然數的過程的再現．
隨著生產的發展，在土地測量、天文觀測、土木建築、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾．這樣，正分數就應運而生．據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關於正分數的問題．引進正分數,這是數的概念的第一次擴展．
最初人們在記數時，沒有「零」 的概念．後來，在生產實踐中,需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法．有了這種記數法，零的產生就不可避免的了．我國古代籌算中，利用 「空位」表示零.公元6世紀，印度數學家開始用符號「0」表示零. 但是，把「0」作為一個數是很遲的事．引進數0，這是數的概念的第二次擴充．
以後,為了表示具有相反意義的量,負數概念就出現了．我國是認識正、負數最早的國家，《九章算術》中就有了正、負數的記載．在歐洲，直到17世紀才對負數有一個完整的認識．引進負數，這是數的概念的第三次擴充．
數的概念的又一次擴充淵源於古希臘。公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(Pythagqras，約公元前580～前500)學派發現了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生．當時只是用幾何的形象來說明無理數的存在，至於嚴格的實數理論，直到19世紀70年代才建立起來．引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充．
數的概念的再一次擴充，是為了解決數學自身的矛盾．16世紀前半葉，義大利數學家塔爾塔利亞發現了三次方程的求根公式，膽地引用了負數開平方的運算，得到了正確答案．由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，並在進一步的發展中加以運用,成功地經受了理論和實踐的檢驗，最後於18世紀末至19世紀初確立了虛數在數學中的地位．引進虛數，形成復數系，這是數的概念的第五次擴充．
上面,我們簡要地回顧了數的發展過程．必須指出，數的概念的產生，實際上是交錯進行的．例如，在人們還沒有完全認識負數之前，早就知道了無理數的存在；在實數理論還未完全建立之前,經運用虛數解三次方程了．
直到19世紀初，從自然數到復數的理論基礎，並未被認真考慮過．後來，由於數學嚴密性的需要以及公理化傾向的影響，促使人們開始認真研究整個數系的邏輯結構．從19世紀中葉起，經過皮亞諾(G．Peano，1855～1939)、康托爾(G．Cantor，1845～1918)、戴德金(R．Dedekind，1831～1916)、外爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等數學家的努力，完成了建立整個數系的邏輯工作．
近代數學關於數的理論，是在總結數的歷史發展的基礎上，用代數結構的觀點和比較嚴格的公理系統加以整理而建立起來的.作為數的理論系統的基礎，首先要建立自然數系，然後逐步加以擴展．一般採用的擴展過程是
N--------→Z--------→Q--------→R--------→C
(自然數集) (整數集) (有理數集) (實數集) (復數集)
科學的數集擴充，通常採用兩種方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的數集中去；二是構造法,即從理論上構造一個集合，然後指出這個集合的某個真子集與先前的數集是同構的．
中、小學數學教學中，為了適應學生的年齡特徵和接受能力,關於數系的擴充，主要是滲透近代數學觀點，採用添加元素並強調運算的方法來進行的．其擴充過程是:
自然數集(添零)→擴大的自然數集(添正分數)→算術數集(添負有理數)
→有理數集(添無理數)→實數集(添虛數)→復數集
數系的每一次擴充，都解決了一定的矛盾，從而擴大了數的應用范圍．但是，數系的每一次擴充也會失去某些性質．例如，從自然數系 N 擴充到整數系 Z 後，Z 對減法具有封閉性，但失去N 的良序性質，即N 中任何非空子集都有最小元素．又如，由實數系R 擴充到復數系C 後，C 是代數閉域，即任何代數方程必有根,但失去了R的順序性，C 中元素已無大小可言．
數系擴充到復數系後，能否繼續擴充?這個問題的答案是有條件的．如果要求完全滿足復數系的全部運算性質,那麼任何擴充都是難以成功的．如果放棄某些要求，那麼進一步的擴充是可能的．比如，放棄乘法交換律，復數系C可以擴充為四元數系H,如果再適當改變對乘法結合律的要求，四元數系H 又可擴充為八元數系Ca 等等．當然,在現代數學中，通常總是把「數」理解為復數或實數，只有在個別情況，經特別指出，才用到四元數．至於八元數的使用就更罕見了．