除法歷史發展

『壹』 二進制運演算法則的歷史起源

萊布尼茲也是第一個認識到二進制記數法重要性的人，並系統地提出了二進制數的運演算法則。二進制對200多年後計算機的發展產生了深遠的影響。他於1716年發表了《論中國的哲學》一文，專門討論八卦與二進制，指出二進制與八卦有共同之處。

1672年1月，萊布尼茲搞出了一個木製的機器模型，向英國皇家學會會員們做了演示。但這個模型只能說明原理，不能正常運行。此後，為了加快研製計算機的進程，萊布尼茲在巴黎定居4年。在巴黎，他與一位著名鍾表匠奧利韋合作。

他只需對奧利韋作一些簡單的說明，實際的製造工作就全部由這位鍾表匠獨自去完成。1674年，最後定型的那台機器，就是由奧利韋一人裝配而成的。萊布尼茲的這台乘法機長約1米，寬30厘米，高25厘米。它由不動的計數器和可動的定位機構兩部分組成。整個機器由一套齒輪系統來傳動，它的重要部件是階梯形軸，便於實現簡單的乘除運算。

萊布尼茲設計的樣機，先後在巴黎，倫敦展出。由於他在計算設備上的出色成就，被選為英國皇家學會會員。1700年，他被選為巴黎科學院院士。

(1)除法歷史發展擴展閱讀：

二進制運演算法則

二進制的運算算術運算二進制的加法：0+0=0，0+1=1 ，1+0=1， 1+1=10(向高位進位)；即7=111

10=1010 3=11

二進制的減法：0-0=0，0-1=1(向高位借位) 1-0=1，1-1=0 (模二加運算或異或運算) ；

二進制的乘法：0 * 0 = 00 * 1 = 0，1 * 0 = 0，1 * 1 = 1 二進制的除法：0÷0 = 0，0÷1 = 0，1÷0 = 0 (無意義)，1÷1 = 1 ；

邏輯運算二進制的或運算：遇1得1 二進制的與運算：遇0得0 二進制的非運算：各位取反。

『貳』 乘除法的來歷

1、乘號是英國數學家奧特雷德首創的。

他於1631年出版的《數學之鑰》中引入這種記法。據說回是由加法符答號變動而來，因為乘法運算是從相同數的連加運算發展而來的。

2、除法是英國的瓦里斯最初使用的，後來在英國得到了推廣。

除的本意是分，除法符號的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了「分」。至此，四則運算符號齊備了，當時還遠未達到被各國普遍採用的程度。

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在各種文明的算術發展過程中，乘法運算的產生是很重要的一步。一個文明可以比較順利地發展出計數方法和加減法運算，但要想創造一套簡單可行的乘法運算方法卻不那麼容易。

我們目前使用的乘法豎式計算看似簡便，實際上這需要我們事先掌握九九乘法口訣表；考慮到這一點，這種豎式計算並不是完美的。

我們即將看到，在數學的發展過程中，不同的文明創造出了哪些不同的乘法運算方法，其中有的運演算法甚至可以完全拋棄乘法表。

『叄』 分數的產生和發展歷史

最早的分數是整數倒數：代表二分之一的古代符號，三分之一，四分之一，等等。埃及人使用埃及分數c。 1000 bc。大約4000年前，埃及人用分數略有不同的方法分開。

他們使用最小公倍數與單位分數。他們的方法給出了與現代方法相同的答案。埃及人對於Akhmim木片和二代數學紙莎草的問題也有不同的表示法。

希臘人使用單位分數和（後）持續分數。希臘哲學家畢達哥拉斯（c。530 bc）的追隨者發現，兩個平方根不能表示為整數的一部分。 （通常這可能是錯誤的歸因於Metapontum的Hippasus，據說他已被處決以揭示這一事實）。

在印度的150名印度人中，耆那教數學家寫了「Sthananga Sutra」，其中包含數字理論，算術學操作和操作。

現代的稱為bhinnarasi的分數似乎起源於印度在Aryabhatta（c。ad 500），[引用需要] Brahmagupta（c。628）和Bhaskara（c。1150）的工作。他們的作品通過將分子（Sanskrit：amsa）放在分母（cheda）上，但沒有它們之間的條紋，形成分數。

在梵文文獻中，分數總是表示為一個整數的加和減。整數被寫在一行上，其分數在兩行的下一行寫成。如果分數用小圓⟨0was或交叉⟨+ was標記，則從整數中減去;如果沒有這樣的標志出現，就被理解為被添加。

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作用：

整數（正負整數）在度量或均分時不能得到整數結果或小數不能約盡，我們就採用分數。我們可以對分數進行雙加或雙減(先約分），雙成或雙除，乘方或根方。

具有顯示比例的作用，說明一樣或多樣事物在同一區域或容量中的比例和大少。

分數一般分成：真分數，假分數，帶分數，百分數等；或分成正分數和負分數。

分數的作用無窮多，生活中每時每刻都需要它。

小數可以化作分數，整數也可以化作分數，但分母不能為零（該數等於零）。一個最簡分數的分母中只有2和5兩個質因數就能化成有限小數；如果最簡分數的分母中只含有2和5以外的質因數那麼就能化成純循環小數。

如果最簡分數的分母中既含有2或5兩個質因數也含有2和5以外的質因數那麼就能化成混循環小數。

（註：如果不是一個最簡分數就要先化成最簡分數再判斷；分母是2或5的最簡分數一定能化成有限小數，分母是其他質數的最簡分數一定能化成純循環小數）

『肆』 最大公約數的歷史發展

在求解最大公約數的幾種方法中，輾轉相除法最為出名。輾轉相除法是目前仍然在使用的歷史最悠久的演算法之一。它首次出現於幾何原本（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用於整數，在卷10中用於線段的長度（也就是現在所說的實數，但是當時未有實數的概念）。卷10中出現的演算法是幾何的，兩段線段a和b的最大公約數是准確測量a和b的最大長度。
這個演算法可能並非歐幾里得發明，而僅僅是將先人的結果編進他的幾何原本。數學家、歷史學家范德瓦爾登認為卷7的內容可能來自畢達哥拉斯學院出身的數學家寫的關於數論的教科書。輾轉相除法可能是被大約公元前375年的歐多克斯發現的，但也有可能更早之前就已經存在，因為歐幾里得和亞里士多德的著作中都出現了ἀνθυφαίρεσις一詞（anthyphairesis, 意為「輾轉相減」），
幾個世紀之後，輾轉相除法又分別被中國人和印度人獨立發現，主要用來解天文學中用到的丟番圖方程以及指定準確的歷法。5世紀末，印度數學家、天文學家阿里亞哈塔可能是因為輾轉相除法在解丟番圖方程時的高效率而稱它為「粉碎機」。因為在中國，孫子算經中出現了此演算法的一個特例中國剩餘定理，但是輾轉相除法的完整表述直到1247年秦九韶的數學九章中才出現。在歐洲，輾轉相除法首次出現於克勞德·巴希特（英語：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著作Problèmes plaisants et délectables的第二版在歐洲，輾轉相除法廣泛使用於丟番圖方程和連分數。後來，英國數學家桑德森（英語：Nicholas Saunderson）將擴展歐幾里得演算法作為羅傑科茨（英語：Roger Cotes）對計算連分數的方法的研究發表。
19世紀，輾轉相除法孕育出了一些新的數系，如高斯整數和艾森斯坦整數。1815年，高斯用輾轉相除法證明高斯整數的分解是惟一的，他的研究發表於1832年。高斯在他的《算數研究》（published 1801）中，作為處理連分數的方法提到了這個演算法。約翰·狄利克雷是第一個將輾轉相除法作為數論的基礎的數學家。狄利克雷提出，數論中的很多結論，如分解的惟一性，在任何使輾轉相除法成立的數系中有效。狄利克雷的觀點被理查德·戴德金修改和推廣，他用輾轉相除法研究代數整數。戴德金是第一個用高斯整數的分解惟一性證明費馬平方和定理的數學家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環的概念。19世紀末，輾轉相除法的輝煌逐漸被戴德金的理想取代。
輾轉相除法的其他應用發展於19世紀。1829年，施圖姆將輾轉相除法用於施圖姆序列（用於確定多項式的不同實根的個數的方法）。
輾轉相除法是歷史上第一個整數關系演算法（英語：integer relation algorithm），即尋找兩數的整數關系的演算法。 近年來，出現了一些新穎的整數關系演算法，如埃拉曼·弗格森（英語：Helaman Ferguson）和福爾卡德於1979年發表的弗格森-福爾卡德演算法、以及與它相關的LLL演算法（英語：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis rection algorithm）、HJLS演算法以及PSLQ演算法（英語：PSLQ algorithm）。
1969年，科爾(Cole)和戴維(Davie)基於輾轉相除法創造了一種二人游戲，叫做歐幾里得游戲。這個游戲有最優策略。游戲開始於兩列分別為a和b個棋子組成的序列，玩家輪流從較長一列中取走較短一列棋子數量的m倍的棋子。如果兩列棋子a和b分別由x和y個棋子組成，其中x大於y，那麼玩家可以序列a的棋子數量減少為自然數x − my。最後率先將一列棋子清空的玩家勝出。
擴展歐幾里得演算法
擴展歐幾里德演算法：擴展歐幾里得演算法（又稱擴充歐幾里得演算法）是用來解某一類特定的不定方程的一種方法，常用用來求解模線性方程及方程組。擴展的歐幾里得演算法可以用來計算模逆元，而模逆元在公鑰密碼學中佔有舉足輕重的地位。
基本演算法：對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab≠0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
Stein演算法
歐幾里德演算法是計算兩個數最大公約數的傳統演算法，無論從理論還是從實際效率上都是很好的。但是卻有一個致命的缺陷，這個缺陷在素數比較小的時候一般是感覺不到的，只有在大素數時才會顯現出來。
Stein演算法由J. Stein 1961年提出，這個方法也是計算兩個數的最大公約數。和歐幾里德演算法演算法不同的是，Stein演算法只有整數的移位和加減法，這對於程序設計者是一個福音。
Stein演算法：
設置A1=A、B1=B和C1=1
1、如果An=0，Bn*Cn是最大公約數，演算法結束
2、如果Bn=0，An*Cn是最大公約數，演算法結束
3、如果An和Bn都是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2隻要把整數左移一位即可，除2隻要把整數右移一位即可)
4、如果An是偶數，Bn不是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數的約數)
5、如果Bn是偶數，An不是偶數，則Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數的約數)
6、如果An和Bn都不是偶數，則An+1=|An-Bn|，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
7、n加1，轉步驟1
考慮歐幾里德演算法，最惡劣的情況是，每次迭代a=2b-1,這樣，迭代後，r=b-1。如果a小於2N，這樣大約需要4N次迭代。而考慮Stein演算法，每次迭代後，顯然A(n+1)B(n+1)≤AnBn/2，最大迭代次數也不超過4N次。也就是說，迭代次數幾乎是相等的。但是，需要注意的是，對於大素數，試商法將使每次迭代都更復雜，因此對於大素數Stein將更有優勢。

『伍』 除法的來歷

【除法的由來】：

在我國古代，人們很早就掌握了數的除法運算。最早使用是在先秦時期，或更早一些。形成於那個年代的《筭數書》中，關於除法的表示方式共有7類19種，涉及55條。

自公元前春秋戰國時代之前，我國出現了用「九九」表計算乘法以後，人們也總結了用口訣來計算除法的方法。《孫子算經》上說：「凡除之法，與乘正異。」當時我國主要是用算籌和口訣來計算除法的。

(5)除法歷史發展擴展閱讀：

除法是四則運算之一。已知兩個因數的積與其中一個非零因數，求另一個因數的運算，叫做除法。

兩個數相除又叫做兩個數的比。若ab=c（b≠0）,用積數c和因數b來求另一個因數a的運算就是除法，寫作c÷b，讀作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除數，b叫做除數，運算的結果a叫做商。

被除數擴大（縮小）n倍，除數不變，商也相應的擴大（縮小）n倍。

除數擴大（縮小）n倍，被除數不變，商相應的縮小（擴大）n倍。

被除數連續除以兩個除數，等於除以這兩個除數之積。有時可以根據除法的性質來進行簡便運算。如：300÷25÷4=300÷（25×4）除以一個數就=這個數的倒數

在數學中,當一級運算(加減)和二級運算(乘除)同時在一個式子中時,它們的運算順序是先乘除,後加減,如果有括弧就先算括弧內後算括弧外,同一級運算順序是從左到右．這樣的運算叫四則運算。

四則指加法、減法、乘法、除法的計演算法則。一道四則運算的算式並不需要一定有四種運算符號,一般指由兩個或兩個以上運算符號及括弧,把多數合並成一個數的運算。

加法： 把兩個數合並成一個數的運算/把兩個小數合並成一個小數的運算/把兩個分數合並成一個分數的運算

減法： 已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算。

乘法 ：求幾個相同加數的和的簡便運算。小數乘整數的意義與整數乘法意義相同。一個數乘純小數就是求這個數的十分之幾，百分之幾…… 分數乘整數的意義與整數乘法意義相同。

除法： 已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。與整數除法的意義相同

舉例說明：

1° 乘法：①求幾個幾是多少；②求一個數的幾倍是多少；③求物體面積、體積；④求一個數的幾分之幾或百分之幾是多少。

2° 除法：①把一個數平均分成若干份，求其中的一份；②求一個數里有幾個另一個數；③已知一個數的幾分之幾或百分之幾是多少求這個數；④求一個數是另一個數的幾倍。

3°加法：①求和；②減法逆運算。

4° 減法：①求剩餘；②比較；③加法逆運算。

加減互為逆運算；乘除互為逆運算；乘法是加法的簡便運算。

『陸』 乘法的由來和歷史

1.乘法的由來

《九九乘法歌訣》，又常稱為「小九九」。現在學生版學的「小九九」口訣，是從「權一一得一」開始，到「九九八十一」止，而在古代，卻是倒過來，從「九九八十一」起，到「二二得四」止。因為口訣開頭兩個字是「九九」，所以，人們就把它簡稱為「九九」。大約到13、14世紀的時候才倒過來像現在這樣「一一得一……九九八十一」。

2. 乘法的歷史

中國使用「九九口訣」的時間較早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《戰國策》等書中就能找到「三九二十七」、「六八四十八」、「四八三十二」、「六六三十六」等句子。由此可見，早在「春秋」、「戰國」的時候，《九九乘法歌訣》就已經開始流行了。

『柒』 加減乘除的來歷

加減乘除等數學符號都是經過長期發展而形成，到了十七世紀，才得到廣泛的使用。

加法符號，開始使用的是英文plus的字頭p。在德國，使用了相當於英語「and」的詞「et」。隨著歐洲商業的繁榮，寫「et」也嫌慢，為了加快速度，把兩個字母連著寫，因此「et」慢慢地變成了「＋」。

減法也是同樣，使用英文minus的字頭m，而它也是為了便於速寫，逐漸變成了「－」。

英國的奧特雷德首先使用了「×」作為乘號。據說乘法符號是根據加法符號得來的。乘法運算是一種特殊的加法運算，所以將加法符號「＋」稍作變動，就變成了現在的成號「×」。

除法的符號「÷」是英國的瓦里斯最初使用的，後來在英國得到了推廣。符號「÷」中間的橫線把上、下兩部分分開，形像地表示了「分」。

(7)除法歷史發展擴展閱讀：

一、加法實質

是完全一致的事物也就是同類事物的重復或累計，是數字運算的開始，不同類比如一個蘋果+一個橘子其結果只能等於二個水果就存在分類與歸類的關系。

減法是加法的逆運算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆運算；乘方是乘法的簡便形式；開方是乘方的逆運算；對數是在乘方的各項中尋找規律；由對數而發展出導數；然後是微分和積分。數字運算的發展，是更特殊的情況，更高度重復下的規律。

二、減法實質

減法是一種數學運算，表示從集合中移除對象的操作。它的符號是負號(−)。例如，在右邊的圖片，有5−2 蘋果，5蘋果，2個被帶走，就剩下了3個蘋果。因此5−2 = 3。減法表示用不同的對象(包括負數、分數、無理數、向量、小數、函數和矩陣)去除或減少物理和抽象的量。

三、乘法運算定律

整數的乘法運算滿足：交換律，結合律，分配律，消去律。

隨著數學的發展， 運算的對象從整數發展為更一般群。

群中的乘法運算不再要求滿足交換律。 最有名的非交換例子，就是哈密爾頓發現的四元數群。 但是結合律仍然滿足。

1、乘法交換律：ab＝ba，註：字母與字母相乘，乘號不用寫，或者可以寫成·。

2、乘法結合律：(ab)c=a(bc)

3、乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。

四、除法性質

被除數擴大（縮小）n倍，除數不變，商也相應的擴大（縮小）n倍。

除數擴大（縮小）n倍，被除數不變，商相應的縮小（擴大）n倍。

被除數連續除以兩個除數，等於除以這兩個除數之積。有時可以根據除法的性質來進行簡便運算。如：300÷25÷4=300÷（25×4）除以一個數就=這個數的倒數

『捌』 請問除法運算是在什麼情況下產生的，歷史怎麼演變來的。謝謝謝謝。

自然產生的，比如要把20個蘋果平均分成4份，加減乘除都是現在日常生活，甚至是古代人的日常生活就要用到的，因而也就自然發展起來的

『玖』 乘除法豎式是哪國何時由誰創造的發明之前的乘除怎麼算的

豎式的沿革沒有典籍記載

我國古代數學以計算為主，取得了十分輝煌的成就。其中十進位值制記數法、籌算和珠算在數學發展中所起的作用和顯示出來的優越性，在世界數學史上也是值得稱道的。

十進位值制記數法曾經被馬克思（1818—1883）稱為「最妙的發明之一」①。

從有文字記載開始，我國的記數法就遵循十進制。殷代的甲骨文和西周的鍾鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等字的合文來記十萬以內的自然數的。例如二千六百五十六寫作■■■■（甲骨文），六百五十九寫作■■■■■（鍾鼎文）。這種記數法含有明顯的位值制意義，實際上，只要把「千」、「百」、「十」和「又」的字樣取消，便和位值制記數法基本一樣了。

春秋戰國時期是我國從奴隸制轉變到封建制的時期，生產的迅速發展和科學技術的進步提出了大量比較復雜的數字計算問題。為了適應這種需要，勞動人民創造了一種十分重要的計算方法——籌算。我們認為籌算是完成於春秋戰國時期，理由是：第一，春秋戰國時期，農業、商業和天文歷法方面有了飛躍的發展，在這些領域中，出現了大量比以前復雜得多的計算問題。由於井田制的廢除，各種形狀的私田相繼出現，並相應實行按畝收稅的制度，這就需要計算復雜形狀的土地面積和產量；商業貿易的增加和貨幣的廣泛使用，提出了大量比例換算的問題；適應當時農業需要的厲法，要計算多位數的乘法和除法。為了解決這些復雜的計算問題，才創造出計算工具算籌和計算方法籌算。第二，現有的文獻和文物也證明籌算出現在春秋戰國時期。例如「算」和「籌」二字出現在春秋戰國時期的著作（如《儀禮》、《孫子》、《老子》、《法經》、《管子》、《荀子》等）中，甲骨文和鍾鼎文中到現在仍沒有見到這兩個字。一二三以外的籌算數字最早出現在戰國時期的貨幣（刀、布）上。《老子》提到：「善計者不用籌策」，可見這時籌算已經比較普遍了。因此我們說籌算是完成於春秋戰國時期。這並不否認在春秋戰國時期以前就有簡單的算籌記數和簡單的四則運算。

關於算籌形狀和大小，最早見於《漢書·律歷志》。根據記載，算籌是直徑一分（合○·二三厘米）、長六寸（合一三·八六厘米）的圓形竹棍，以二百七十一根為一「握」。南北朝時期公元六世紀《數術記遺》和《隋書·律歷志》記載的算籌，長度縮短，並且把圓的改成方的或扁的。這種改變是容易理解的：長度縮短是為了縮小布算所佔的面積，以適應更加復雜的計算；圓的改成方的或扁的是為了避免圓形算籌容易滾動而造成錯誤。根據文獻的記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、玉籌和牙籌，還有盛裝算籌的算袋和運算元筒。唐代曾經規定，文武官員必須攜帶算袋。1971年八月中旬，在陝西寶雞市千陽縣第一次發現西漢宣帝時期（公元前73年到前49年）的骨制算籌三十多根，大小長短和《漢書·律歷志》的記載基本相同。1975年上半年在湖北江陵鳳凰山一六八號漢墓又發現西漢文帝時期（公元前179年到前157年）的竹製算籌一束，長度比千陽縣發現的算籌稍大一點。1980年九月，在石家莊市又發現東漢初期（公元一世紀）的骨制算籌約三十根，長度和形狀同《隋書·律歷志》的記載相近，這說明算籌長度和形狀的改變早在東漢初期已經開始。算籌的出土，為研究我國數學發展史提供了可貴的實物資料。

從而進行加、減、乘、除、開方以及其他的代數計算。

籌算一出現，就嚴格遵循十進位值制記數法。九以上的數就進一位，同一個數字放在百位就是幾百，放在萬位就是幾萬。這種記數法，除所用的數字和現今通用的印度-阿拉伯數字形式不同外，和現在的記數法實質是一樣的。籌算是把算籌一面擺成數字，一面進行計算，它的運算程序和現今珠算的運算程序基本相似。記述籌算記數法和運演算法則的著作有《孫子算經》（公元四世紀）、《夏侯陽算經》（公元五世紀）和《數術記遺》（公元六世紀）。負數出現後，算籌分成紅黑兩種，紅籌表示正數，黑籌表示負數。算籌還可以表示各種代數式，進行各種代數運算，方法和現今的分離系數法相似。我國古代在數字計算和代數學方面取得的輝煌成就，和籌算有密切的關系。例如祖沖之的圓周率准確到小數第六位，需要計算正一萬二千二百八十八邊形的邊長，把一個九位數進行二十二次開平方（加、減、乘、除步驟除外），如果沒有十進位值制的計算方法，那就會困難得多了。

古巴比侖的記數法雖然有位值制的意義，但是它是六十進的，計算比較繁瑣。古埃及的數字從一到十隻有兩個數字元號，從一百到一千萬有四個數字元號，而且是象形的，例如用一個鳥表示十萬。文化比較發達的古希臘，由於看重幾何，輕視計算，記數方法十分落後，用全部希臘字母表示一到一

民創造的，但是印度在公元三世紀以前使用的記數法是希臘式和羅馬式兩種，都不是位值制，真正使用十進位值制記數法出現在公元六世紀末。由此可見，我國古代的十進位值制記數法和籌算，在世界數學史上應該佔有重要的地位。

籌算在我國古代用了大約兩千年，在生產和科學技術以至人民生活中，發揮了重大的作用。但是它的缺點也是十分明顯的：首先，在室外拿著一大把算籌進行計算就很不方便；其次，計算數字的位數越多，所需要的面積越大，受環境和條件的限制；此外，當計算速度加快的時候，很容易由於算籌擺弄不正而造成錯誤。隨著社會的發展，計算技術要求越來越高，籌算需要改革，這是勢在必行的。這個改革從中唐以後的商業實用算術開始，經宋元出現大量的計算歌訣，到元末明初珠算的普遍應用，歷時七百多年。《新唐書》和《宋史·藝文志》記載了這個時期出現的大量著作。由於封建統治階級對民間數學十分輕視，以致這些著作的絕大部分已經失傳。從遺留下來的著作中可以看出，籌算的改革是從籌算的簡化開始而不是從工具改革開始的，這個改革最後導致珠算的出現。

珠算是由籌算演變而來的，這是十分清楚的。籌算數字中，上面一根籌當五，下面一根籌當一，珠算盤中的上一珠也是當五，下一珠也是當一；由於籌算在乘、除法中出現某位數字等於十或多於十的情形（例如26532÷8，

採用上二珠下五珠的形式。其次，我們可以證明，從楊輝、朱世傑開始到元末丁巨、何平子、賈亨止的除「起一」法外的全部現今通用的珠算歌訣，是為籌算而設的。楊輝的《乘除通變本末》（公元1274年）和朱世傑的《算學啟蒙》（公元1299年）已經有相當完備的歌訣，但是楊輝在《乘除通變本末》中說：「下算不出『橫』『直』」，其中「橫」「直」顯然是指算籌的縱橫排列；朱世傑在《算學啟蒙》中提到「知算縱橫數目真」，也是這個意思。《丁巨演算法》（公元1355年）、何平子的《詳明演算法》（公元1373年）、賈亨的《演算法全能》（約公元1373年）也有相當完備的歸除歌訣，但是都沒有提到珠算，而《詳明演算法》還有許多籌算算草。歌訣出現後，籌算原來存在的缺點就更突出了，歌訣的快捷和擺弄算籌的遲緩存在矛盾。為了得心應手，勞動人民便創造出更加先進的計算工具——珠算盤。

現存文獻中最早提到珠算盤的是明初的《對相四言》。明代中期公元十五世紀中葉《魯班木經》中有製造珠算盤的規格：「算盤式：一尺二寸長，四寸二分大。框六分厚，九分大，……線上二子，一寸一分；線下五子，三寸一分。長短大小，看子而做。」把上二子和下五子隔開的不是木製的橫梁，而是一條線。比較詳細地說明珠算用法的現存著作有徐心魯的《盤珠演算法》（公元1573年）、柯尚遷的《數學通軌》（公元1578年）、朱載堉（1536—1611）的《算學新說》（公元1584年）、程大位的《直指演算法統宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流傳最廣。

值得指出的是，在元代中葉和元末的文學、戲劇作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279年）劉因在他的《靜修先生文集》中有一首關於算盤的五言絕詩；陶宗儀在他的《輟耕錄》中把婢僕貶作算盤珠，要撥才動；《元曲選》「龐居士誤放來生債」提到「去那算盤里撥了我的歲數」，等等。文學、戲劇中用算盤珠作比喻，說明珠算盤已經比較流行，也說明它是比較時新的東西。因此可以認為，珠算出現在元代中葉，元末明初已經普遍應用了。

有的外國學者認為我國的珠算出現在漢代，他們的根據是漢徐岳著、北周甄鸞注的《數術記遺》已經明確提到珠算。我國數學家、數學史家錢寶琮（1892—1974）曾經考證過，《數術記遺》是甄鸞依託偽造而自己注釋的書。在北周時，乘、除運算都在上、中、下三層進行，又沒有簡化乘、除法的歌訣，因此甄鸞注釋的珠算，充其量不過是一種記數工具或者只能作加減法的簡單算盤，和後來出現的珠算是完全不同的。

珠算還傳到朝鮮、日本等國，對這些國家的計算技術的發展曾經起過一定的作用。日本人在十七世紀中葉，在中國算盤的基礎上，改成樑上一珠、珠作棱形的日本算盤。