角的發展歷史

㈠ 三角形的發展歷史

◇公元前600年以前 ◇ 據中國戰國時屍佼著《屍子》記載："古者，倕(注:傳說為黃帝或堯時人)為規、矩、准、繩，使天下仿焉"，這相當於在公元前2500年前，已有"圓、方、平、直"等形的概念。 公元前2100年左右，美索不達米亞人已有了乘法表，其中使用著六十進位制的演算法。 公元前2000年左右，古埃及已有基於十進制的記數法、將乘法簡化為加法的算術、分數計演算法。並已有三角形及圓的面積、正方角錐體、錐台體積的度量法等。 中國殷代甲骨文卜辭記錄已有十進制記數，最大數字是三萬。 公元前約1950年，巴比倫人能解二個變數的一次和二次方程，已經知道"勾股定理" 。 ◇公元前600--1年◇ 公元前六世紀，發展了初等幾何學(古希臘 泰勒斯)。 約公元前六世紀，古希臘畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原，宇宙的組織是數及其關系的和諧體系。證明了勾股定理，發現了無理數，引起了所謂第一次數學危機。 公元前六世紀，印度人求出√2＝1．4142156。 公元前462年左右，義大利的埃利亞學派指出了在運動和變化中的各種矛盾，提出了飛矢不動等有關時間、空間和數的芝諾悖理(古希臘 巴門尼德、芝諾等).。 公元前五世紀，研究了以直線及圓弧形所圍成的平面圖形的面積，指出相似弓形的面積與其弦的平方成正比(古希臘丘斯的希波克拉底)。 公元前四世紀，把比例論推廣到不可通約量上，發現了"窮竭法"(古希臘，歐多克斯)。 公元前四世紀，古希臘德謨克利特學派用"原子法"計算面積和體積，一個線段、一個面積或一個體積被設想為由很多不可分的"原子"所組成。 公元前四世紀，建立了亞里士多德學派，對數學、動物學等進行了綜合的研究(古希臘，亞里士多德等)。 公元前四世紀末，提出圓錐曲線，得到了三次方程式的最古老的解法(古希臘，密內凱莫)。 公元前三世紀，《幾何學原本》十三卷發表，把以前有的和他本人的發現系統化了，成為古希臘數學的代表作(古希臘，歐幾里得)。 公元前三世紀，研究了曲線圖和曲面體所圍成的面積、體積；研究了拋物面、雙曲面、橢圓面；討論了圓柱、圓錐半球之關系；還研究了螺線(古希臘，阿基米德)。 公元前三世紀，籌算是當時中國的主要計算方法。 公元前三至前二世紀，發表了八本《圓錐曲線學》，是一部最早的關於橢圓、拋物線和雙曲線的論著(古希臘 阿波羅尼)。 約公元前一世紀，中國的《周髀算經》發表。其中闡述了"蓋天說"和四分歷法，使用分數演算法和開方法等。 公元前一世紀，《大戴禮》記載，中國古代有象徵吉祥的河圖洛書縱橫圖，即為"九宮算"這被認為是現代"組合數學"最古老的發現。 ◇1-400年◇ 繼西漢張蒼、耿壽昌刪補校訂之後，50-100年，東漢時纂編成的《九章算術》，是中國古老的數學專著，收集了246個問題的解法。 一世紀左右，發表《球學》，其中包括球的幾何學，並附有球面三角形的討論(古希臘，梅內勞)。 一世紀左右，寫了關於幾何學、計算的和力學科目的網路全書。在其中的《度量論》中，以幾何形式推算出三角形面積的"希隆公式"(古希臘，希隆)。 100年左右,古希臘的尼寇馬克寫了《算術引論》一書，此後算術開始成為獨立學科。 150年左右，求出π＝3．14166，提出透視投影法與球面上經緯度的討論，這是古代坐標的示例(古希臘，托勒密)。 三世紀時，寫成代數著作《算術》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了許多定和不定方程式(古希臘，丟番都)。 三世紀至四世紀魏晉時期，《勾股圓方圖注》中列出關於直角三角形三邊之間關系的命題共21條(中國，趙爽)。 三世紀至四世紀魏晉時期，發明"割圓術"，得π＝3．1416(中國，劉徽)。 三世紀至四世紀魏晉時期，《海島算經》中論述了有關測量和計算海島的距離、高度的方法(中國 劉徽)。 四世紀時，幾何學著作《數學集成》問世，是研究古希臘數學的手冊(古希臘，帕普斯)。 ◇401-1000年◇ 五世紀，算出了π的近似值到七位小數，比西方早一千多年(中國 祖沖之)。 五世紀，著書研究數學和天文學，其中討論了一次不定方程式的解法、度量術和三角學等(印度，阿耶波多)。 六世紀中國六朝時，提出祖氏定律：若二立體等高處的截面積相等，則二者體積相等。西方直到十七世紀才發現同一定律，稱為卡瓦列利原理(中國，祖暅)。 六世紀，隋代《皇極歷法》內，已用"內插法"來計算日、月的正確位置(中國，劉焯)。 七世紀，研究了定方程和不定方程、四邊形、圓周率、梯形和序列。給出了ax+by=c (a,b,c,是整數)的第一個一般解(印度，婆羅摩笈多)。 七世紀，唐代的《緝古算經》中，解決了大規模土方工程中提出的三次方程求正根的問題(中國，王孝通)。 七世紀，唐代有《"十部算經"注釋》。"十部算經"指：《周髀》、《九章算術》、《海島算經》、《張邱建算經》、《五經算術》等(中國，李淳風等)。 727年，唐開元年間的《大衍歷》中，建立了不等距的內插公式(中國，僧一行)。 九世紀，發表《印度計數演算法》，使西歐熟悉了十進位制(阿拉伯，阿爾·花刺子模 )。 ◇1001-1500年◇ 1086-1093年，宋朝的《夢溪筆談》中提出"隙積術"和"會圓術"，開始高階等差級數的研究(中國，沈括)。 十一世紀，第一次解出x2n+axn=b型方程的根(阿拉伯，阿爾·卡爾希)。 十一世紀，完成了一部系統研究三次方程的書《代數學》(阿拉伯，卡牙姆)。 十一世紀，解決了"海賽姆"問題，即要在圓的平面上兩點作兩條線相交於圓周上一點，並與在該點的法線成等 角(埃及，阿爾·海賽姆)。 十一世紀中葉，宋朝的《黃帝九章算術細草》中，創造了開任意高次冪的"增乘開方法"，列出二項式定理系數表，這是現代"組合數學"的早期發現。後人所稱的"楊輝三角"即指此法(中國，賈憲)。 十二世紀，《立剌瓦提》一書是東方算術和計算方面的重要著作(印度，拜斯迦羅)。 1202年，發表《計算之書》，把印度－阿拉伯記數法介紹到西方(義大利，費婆拿契 )。 1220年，發表《幾何學實習》一書，介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例(義大利，費婆拿契)。 1247年，宋朝的《數書九章》共十八卷，推廣了"增乘開方法"。書中提出的聯立一次同餘式的解法，比西方早五百七十餘年(中國，秦九韶)。 1248年，宋朝的《測圓海鏡》十二卷，是第一部系統論述"天元術"的著作(中國，李治 )。 1261年，宋朝發表《詳解九章演算法》，用"垛積術"求出幾類高階等差級數之和(中國， 楊輝)。 1274年，宋朝發表《乘除通變本末》，敘述"九歸"捷法，介紹了籌算乘除的各種運演算法(中國，楊輝)。 1280年，元朝《授時歷》用招差法編制日月的方位表(中國，王恂、郭守敬等)。 十四世紀中葉前，中國開始應用珠算盤。 1303年，元朝發表《四元玉鑒》三卷，把"天元術"推廣為"四元術"(中國，朱世傑)。 1464年，在《論各種三角形》(1533年出版)中，系統地總結了三角學(德國，約·米勒)。 1494年，發表《算術集成》，反映了當時所知道的關於算術、代數和三角學的知識( 義大利，帕奇歐里)。 ◇1501-1600年◇ 1545年，卡爾達諾在《大法》中發表了非爾洛求三次方程的一般代數解的公式(義大利 ，卡爾達諾、非爾洛)。 1550─1572年，出版《代數學》，其中引入了虛數，完全解決了三次方程的代數解問題(義大利，邦別利)。 1591年左右，在《美妙的代數》中出現了用字母表示數字系數的一般符號，推進了代數問題的一般討論(德國，韋達)。 1596─1613年，完成了六個三角函數的間隔10秒的十五位小數表(德國，奧脫、皮提斯庫斯)。 ◇1601-1650年◇ 1614年，制定了對數(英國，耐普爾)。 1615年，發表《酒桶的立體幾何學》，研究了圓錐曲線旋轉體的體積(德國，刻卜勒 )。 1635年，發表《不可分連續量的幾何學》，書中避免無窮小量，用不可分量制定了一種簡單形式的微積分(義大利，卡瓦列利)。 1637年，出版《幾何學》，制定了解析幾何。把變數引進數學，成為"數學中的轉折點"，"有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了"(法國，笛卡爾)。 1638年，開始用微分法求極大、極小問題(法國，費爾瑪)。 1638年，發表《關於兩種新科學的數學證明的論說》，研究距離、速度和加速度之間的關系，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽里略重要的科學成就(義大利，伽里略)。 1639年，發行《企圖研究圓錐和平面的相交所發生的事的草案》，是近世射影幾何學的早期工作(法國，德沙格)。 1641年，發現關於圓錐內接六邊形的"巴斯噶定理"(法國，巴斯噶)。 1649年，製成巴斯噶計算器，它是近代計算機的先驅(法國，巴斯噶)。 .◇1651-1700年◇ 1654年，研究了概率論的基礎(法國，巴斯噶、費爾瑪)。 1655年，出版《無窮算術》一書，第一次把代數學擴展到分析學(英國，瓦里斯)。 1657年，發表關於概率論的早期論文《論機會游戲的演算》(荷蘭，惠更斯)。 1658年，出版《擺線通論》，對"擺線"進行了充分的研究(法國，巴斯噶)。 1665─1676年，牛頓(1665─1666年)先於萊布尼茨(1673─1676年)制定了微積分，萊布尼茨(1684─1686年)早於牛頓(1704─1736年)發表微積分(英國，牛頓，德國，萊布尼茨 )。 1669年，發明解非線性方程的牛頓－雷夫遜方法(英國，牛頓、雷夫遜)。 1670年，提出"費爾瑪大定理",預測：若X,Y,Z,n都是整數,則Xn＋Yn＝Zn ，當 n＞2時是不可能的(法國，費爾瑪)。 1673年，發表《擺動的時鍾》，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線(荷蘭，惠更斯)。 1684年，發表關於微分法的著作《關於極大極小以及切線的新方法》(德國，萊布尼茨)。 1686年，發表了關於積分法的著作(德國，萊布尼茨)。 1691年，出版《微分學初步》，促進了微積分在物理學和力學上的應用及研究(瑞士，約·貝努利)。 1696年，發明求不定式極限的"洛比達法則"(法國，洛比達)。 1697年，解決了一些變分問題，發現最速下降線和測地線(瑞士，約·貝努利)。 ◇1701-1750年◇ 1704年，發表《三次曲線枚舉》、《利用無窮級數求曲線的面積和長度》、《流數法》(英國，牛頓)。 1711年，發表《使用級數、流數等等的分析》(英國，牛頓)。 1713年，出版概率論的第一本著作《猜度術》(瑞士，雅·貝努利)。 1715年，發表《增量方法及其他》(英國，布·泰勒)。 1731年，出版《關於雙重曲率的曲線的研究》是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試(法國，克雷洛)。 1733年，發現正態概率曲線(英國，德·穆阿佛爾)。 1734年，貝克萊發表《分析學者》，副標題是《致不信神的數學家》，攻擊牛頓的《流數法》，引起所謂第二次數學危機(英國，貝克萊)。 1736年，發表《流數法和無窮級數》(英國，牛頓)。 1736年，出版《力學、或解析地敘述運動的理論》，是用分析方法發展牛頓的質點動力學的第一本著作(瑞士，歐勒)。 1742年，引進了函數的冪級數展開法(英國，馬克勞林)。 1744年，導出了變分法的歐勒方程，發現某些極小曲面(瑞士，歐勒)。 1747年，由弦振動的研究而開創偏微分方程論(法國，達蘭貝爾等)。 1748年，出版了系統研究分析數學的《無窮分析概要》，是歐勒的主要著作之一(瑞士， 歐勒)。 ◇1751-1800年◇ 1755─1774年出版《微分學》和《積分學》三卷。書中包括分方程論和一些特殊的函數(瑞士，歐勒)。 1760─1761年，系統地研究了變分法及其在力學上的應用(法國，拉格朗日)。 1767年，發現分離代數方程實根的方法和求其近似值的方法(法國，拉格朗日)。 1770─1771年，把置換群用於代數方程式求解，這是群論的開始(法國，拉格朗日)。 1772年，給出三體問題最初的特解(法國，拉格朗日)。 1788年，出版《解析力學》，把新發展的解析法應用於質點、剛體力學(法國，拉格朗日)。 1794年，流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》(法國，勒讓德爾)。 1794年，從測量誤差，提出最小二乘法，於1809年發表(德國，高斯)。 1797年，發表《解析函數論》不用極限的概念而用代數方法建立微分學(法國， 拉格朗日)。 1799年，創立畫法幾何學，在工程技術中應用頗多(法國，蒙日)。 1799年，證明了代數學的一個基本定理：實系數代數方程必有根(德國，高斯)。 ◇1801-1850年◇ 1801年, 出版《算術研究》，開創近代數論（德國，高斯）。 1809年，出版了微分幾何學的第一本書《分析在幾何學上的應用》（法國，蒙日）。 1812年，《分析概率論》一書出版，是近代概率論的先驅（法國，拉普拉斯）。 1816年，發現非歐幾何，但未發表（德國，高斯）。 1821年，《分析教程》出版，用極限嚴格地定義了函數的連續、導數和積分，研究了無窮級數的收斂性等（法國，柯西）。 1822年,系統研究幾何圖形在投影變換下的不變性質，建立了射影幾何學（法國，彭色列）。 1822年，研究熱傳導問題，發明用傅立葉級數求解偏微分方程的邊值問題，在理論和應用上都有重大影響（法國，傅立葉）。 1824年，證明用根式求解五次方程的不可能性（挪威，阿貝爾）。 1825年，發明關於復變函數的柯西積分定理，並用來求物理數學上常用的一些定積分值（法國，柯西）。 1826年，發現連續函數級數之和並非連續函數（挪威，阿貝爾）。 1826年，改變歐幾理得幾何學中的平行公理，提出非歐幾何學的理論（俄國，羅巴切夫斯基，匈牙利，波約）。 1827-1829年，確立了橢圓積分與橢圓函數的理論，在物理、力學中都有應用（德國，雅可比，挪威，阿貝爾，法國，勒讓德爾）。 1827年，建立微分幾何中關於曲面的系統理論（德國，高斯）。 1827年，出版《重心演算》，第一次引進齊次坐標（德國，梅比武斯）。 1830年，給出一個連續而沒有導數的所謂"病態"函數的例子（捷克，波爾查諾）。 1830年，在代數方程可否用根式求解的研究中建立群論（法國，伽羅華）。 1831年，發現解析函數的冪級數收斂定理（法國，柯西）。 1831年，建立了復數的代數學，用平面上的點來表示復數，破除了復數的神秘性（德國，高斯）。 1835年，提出確定代數方程式實根位置的方法（法國，斯特姆）。 1836年，證明解析系數微分方程式解的存在性（法國，柯西）。 1836年，證明具有已知周長的一切封閉曲線中包圍最大面積的圖形必定是圓（瑞士，史坦納）。 1837年，第一次給出了三角級數的一個收斂性定理（德國，狄利克萊）。 1840年，把解析函數用於數論，並且引入了"狄利克萊"級數（德國，狄利克萊）。 1841年，建立了行列式的系統理論（德國，雅可比）。 1844年，研究多個變元的代數系統，首次提出多維空間的概念（德國，格拉斯曼）。 1846年，提出求實對稱矩陣特徵值問題的雅可比方法（德國，雅可比）。 1847年，創立了布爾代數，對後來的電子計算機設計有重要應用（英國，布爾）。 1848年，研究各種數域中的因子分解問題，引進了理想數（德國，庫莫爾）。 1848年，發現函數極限的一個重要概念--一致收斂，但未能嚴格表述（英國，斯托克斯）。 1850年，給出了"黎曼積分"的定義，提出函數可積的概念（德國，黎曼）。 ◇1851-1900年◇ 1851年，提出共形映照的原理，在力學、工程技術中應用頗多，但未給出證明（德國，黎曼）。 1854年，建立更廣泛的一類非歐幾何學--黎曼幾何學，並提出多維拓撲流形的概念（德國，黎曼）。開始建立函數逼近論，利用初等函數來逼近復雜的函數。 二十世紀以來，由於電子計算機的應用，使函數逼近論有很大的發展（俄國，契比雪夫）。 1856年，建立極限理論中的ε-δ方法，確立了一致收斂性的概念（德國，外爾斯特拉斯）。 1857年，詳細地討論了黎曼面，把多值函數看成黎曼面上的單值函數（德國，黎曼）。 1868年，在解析幾何中引進一些新的概念，提出可以用直線、平面等作為基本的空間元素（德國，普呂克）。 1870年，發現李群，並用以討論微分方程的求積問題（挪威，李）。 給出了群論的公理結構，是後來研究抽象群的出發點（德國，克朗尼格）。 1872年，數學分析的"算術化"，即以有理數的集合來定義實數（德國，戴特金、康托爾、外耳斯特拉斯）。 發表了"愛爾朗根計劃"，把每一種幾何學都看成是一種特殊變換群的不變數論（德國，克萊茵）。 1873年，證明了π是超越數（法國，埃爾米特）。 1876年，《解析函數論》發行，把復變函數論建立在冪級數的基礎上（德國，外爾斯特拉斯）。 1881-1884年，制定了向量分析（美國，吉布斯）。 1881-1886年，連續發表《微分方程所確定的積分曲線》的論文，開創微分方程定性理論（法國，彭加勒）。 1882年，制定運算微積，是求解某些微分方程的一種簡便方法，工程上常有應用（英國，亥維賽）。 1883年，建立集合論，發展了超窮基數的理論（德國，康托爾）。 1884年，《數論的基礎》出版，是數理邏輯中量詞理論的發端（德國 弗萊格）。 1887-1896年，出版了四卷《曲面的一般理論的講義》，總結了一個世紀來關於曲線和曲面的微分幾何學的成就（德德國，達爾布）。 方法。後在電子計算機上獲得應用。 1901年，嚴格證明狄利克雷原理，開創變分學的直接方法，在工程技術的計算問題中有很多應用（德國，希爾伯特）。 1907年，證明復變函數論的一個基本原理---黎曼共形映照定理（德國，寇貝）。 反對在數學中使用排中律，提出直觀主義數學（美籍荷蘭人，路.布勞威爾）。 1908年，點集拓撲學形成（德國，忻弗里斯）。 提出集合論的公理化系統（德國，策麥羅）。 1909年，解決數論中著名的華林問題（德國，希爾伯特）。 1910年，總結了19世紀末20世紀初的各種代數系統如群、代數、域等的研究，開創了現代抽象代數（德國，施坦尼茨）。 發現不動點原理，後來又發現了維數定理、單純形逼近方法，使代數拓撲成為系統理論（美籍荷蘭人，路.布勞威爾）。 1910-1913年，出版《數學原理》三卷，企圖把數學歸結到形式邏輯中去，是現代邏輯主義的代表著作（英國，貝.素、懷特海）。1913年 法國的厄·加當和德國的韋耳完成了半單純李代數有限維表示理論，奠定了李群表示理論的基礎。這在量子力學和基本粒子理論中有重要應用。 德國的韋耳研究黎曼面，初步產生了復流形的概念。 1914年 德國的豪斯道夫提出拓撲空間的公理系統，為一般拓撲學建立了基礎。 1915年 瑞士美籍德國人愛因斯坦和德國的卡·施瓦茨西德把黎曼幾何用於廣義相對論，解出球對稱的場方程，從而可以計算水星近日點的移動等問題。 1918年 英國的哈台、立篤武特應用復變函數論方法來研究數論，建立解析數論。 丹麥的愛爾蘭為改進自動電話交換台的設計，提出排隊論的數學理論。 希爾伯特空間理論的形成(匈牙利 里斯)。 1919年 德國的亨賽爾建立P-adic數論，這在代數數論和代數幾何中有重要用。 1922年 德國的希爾伯特提出數學要徹底形式化的主張，創立數學基礎中的形式主義體系和證明論。 1923年 法國的厄·加當提出一般聯絡的微分幾何學，將克萊因和黎曼的幾何學觀點統一起來，是纖維叢概念的發端。 法國的阿達瑪提出偏微分方程適定性，解決二階雙曲型方程的柯西問題()。 波蘭的巴拿哈提出更廣泛的一類函數空間——巴拿哈空間的理論()。 美國的諾·維納提出無限維空間的一種測度——維納測度，這對概率論和泛函分析有一定作用。 1925年 丹麥的哈·波爾創立概周期函數。 英國的費希爾以生物、醫學試驗為背景，開創了「試驗設計」(數理統計的一個分支)，也確立了統計推斷的基本方法。 1926年 德國的納脫大體上完成對近世代數有重大影響的理想理論。 1927年 美國的畢爾霍夫建立動力系統的系統理論，這是微分方程定性理論的一個重要方面。 1928年 美籍德國人 理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。 美國的哈特萊首次提出通信中的信息量概念。 德國的格羅許、芬蘭的阿爾福斯、蘇聯的拉甫連捷夫提出擬似共形映照理論，這在工程技術上有一定應用。

㈡ 從歷史發展的角度來看

孫中山這樣的偉人太需要啦。我們現在的社會特別需要一種改革思維。把民主，民權，民生真正落到實處才能解決我們社會目前存在的問題。

㈢ 三角函數發展史

函數是數學的重要的基礎概念之一。進一步學習的數學分析，包括極限理論、微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。函數的教學內容蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行辯證唯物主義觀點教育的好素材。函數的思想方法也廣泛地診透到中學數學的全過程和其他學科中。

函數是中學數學的主體內容。它與中學數學很多內容都密切相關，初中代數中的「函數及其圖象」就屬於函數的內容，高中數學中的指數函數、對數函數、三角函數是函數內容的主體，通過這些函數的研究，能夠認識函數的性質、圖象及其初步的應用。後續內容的極限、微積分初步知識等都是函數的內容。數列可以看作整標函數，等差數列的通項反映的點對(n，an)都分布在直線y＝kx+b的圖象上，等差數列的前n項和公式也可以看作關於的二次函數關系式，等比數列的內容也都屬於指數函數類型的整標函數。中學的其他數學內容也都與函數內容有關。

函數在中學教材中是分三個階段安排的。第一階段是在初中代數課本內初步討論了函數的概念、函數的表示方法以及函數圖象的繪制等，並具體地討論正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數，通過計算函數值、研究正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的慨念和性質，理解函數的概念，並用描點法可以繪制相應函數圖象。新課本函數一章以及本書的第四章三角函數的內容是中學函數教學的第二階段，也就是函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖象和性質，從而使學生在第二階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，並初步培養了學生的函數的應用意識，為今後學習打下良好的基礎。第二階段的主要內容在本章教學中完成。第三階段的函數教學是在高中三年級數學的限定選修課中安排的，理科限定選修內容有極限、導數、積分，文科和實科限定選修內容有極限與導數，這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，也是進一步學習和參加工農業生產需要具備的基礎知識。

㈣ 三角函數的發展史以及數學家和應用

三角學的起源與發展
三角學之英文名稱 Trigonometry ，約定名於公元1600年，實際導源於希臘文trigono (三角)和metrein (測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。早期的三角學是天文學的一部份，後來研究范圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。現在，三角學的研究范圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。
(一) 西方的發展
三角學﹝Trigonometry﹞創始於公元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。
公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165)
繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若乾等價於三角函數性質的關系式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。
(二)中國的發展
我國古代沒有出現角的函數概念，只用勾股定理解決了一些三角學范圍內的實際問題。據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。1631西方三角學首次輸入，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國學者徐光啟(p20)合編的《大測》為代表。同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。年薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角演算法》，以「三角」取代「大測」，確立了「三角」名稱。1877年華蘅煦等人對三角級數展開式等問題有過獨立的探討。
現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等，多發展於20世紀中。
貳、三角函數的演進
正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、 正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometric function）。
盡管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來定義三角函數，是歐拉(p16)（1707-1783）在《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的托勒密定半徑為60；印度 人阿耶波多（約476-550）定半徑為3438；德國數學家裡基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地計算三角函數值曾定半徑600,000；後來為制訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段的長。
義大利數學家利提克斯（1514-1574）改變了前人的做法，即過去一般稱AB為 的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如下頁圖）， 而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。

】

到歐拉(Euler)時，才令圓的半徑為1，即置角於單位圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。
1. 正弦、餘弦
在△ABC中，a、b、c為角A、B、C的對邊，R為△ABC的外接圓半徑，則有
稱此定理為正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文學家阿布爾.威發(940-998)首先發現與證明的。中亞細亞人艾伯塔魯尼﹝973-1048﹞(p15)給三角形的正弦定理作出了一個證明。 也有說正弦定理的證明是13世紀的那希爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學作為獨立的學科進行論述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。 這是區別球面三角與平面三角的重要標志。至此三角學開始脫離天文學，走上獨立發展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文學大成》第一卷
除了一些初級的天文學數據之外，還包括了上面講的弦表：
它給出一個圓從 （ ）° 到180°每隔半度的所有圓心
角所對的弦的長度。圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位，以六十進制製表達。這樣，以符號 crd a 表示圓心角a所對的弦長， 例如 crd 36°=37p4'55"，意思是：36° 圓心角的弦等於半徑的 （或37個小部分），加上一個小部分的 ，再加上一個小部分的 ，從下圖看出， 弦表等價於正弦函數表，因為

公元6世紀初，印度數學家阿耶波多製作了一個第一象限內間隔3°45'的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為60分，整個圓周為21600份，然後據 2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然後用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之後，再用半形公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3°45'的正弦長表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近於現代正弦概
念。印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數的近似分
數式。
2.正切、餘切
著名的敘利亞天文學、數學家阿爾一巴坦尼﹝850-929﹞於920年左右，製成了自0°到90°相隔1°的餘切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行歷》。為了求得全國任何一地方一年中各節氣的日影長度 ，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應表， 而太陽天頂距和日影長度的關系即為正切﹝tangent﹞函數 。而巴坦尼編制的是餘切函數表， 而太陽高度﹝角﹞和太陽天頂距﹝角﹞互為餘角，這樣兩人的發現實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世紀中葉，中亞細亞的阿魯伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的後裔，他組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算。他的正弦表精確到小數9位。他還製造了30°到45°之間相隔為1'，45°到90°的相隔為5'的正切表。
在歐洲，英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、餘切引入他的三角計算之中。
3.正割、餘割
正割﹝secant﹞及餘割﹝cosecant﹞這兩個概念由阿布爾
─威發首先引入。sec這個略號是1626年荷蘭數基拉德
﹝1595-1630﹞在他的《三角學》中首先使用，後經歐拉採用
才得以通行。正割、餘割函數的現代定義亦是由歐拉給出的。
歐洲的「文藝復興時期」，﹝14世紀-16世紀﹞偉大的天文學家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地動學說，他的學生利提克斯見到當時天文觀測日益精密，認為推算更精確的三角函數值表刻不容緩。於是他定圓的半徑為1015，以製作每隔10"的正弦、正切及正割值表。當時還沒有對數，更沒有計算器。全靠筆算，任務十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志，勤奮工作達12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學生鄂圖﹝1550-1605﹞完成並公布於世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修訂了利提克斯的三角函數表，重新再版。後來英國數學家納皮爾發現了對數，這就大大地簡化了三角計算，為進一步造出更精確的三角函數表創造了條件。
4.三角函數符號
毛羅利科早於1558年已採用三角函數符號， 但當時並無
函數概念，於是只稱作三角線（ trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示餘弦。
而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他於1583年創立以「tangent」（正切）及「secant」（正割）表示相應之概念，其後他分別以符號「sin.」,「tan. 」, 「sec. 」,「sin. com」,「tan. com」,「 sec. com」表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個符號與現代之符號相同。後來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發展變化。
使用者 年代 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 備注
羅格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl
Sec Sec.Compl
吉拉爾 1626 tan sec.
傑克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
歐拉 1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec
謝格內 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰納 1827 tg Ⅱ
皮爾斯 1861 sin cos. tan. cotall sec cosec
奧萊沃爾 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
萬特沃斯 1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍費爾斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
註：Ⅰ－現代（歐洲）大陸派三角函數符 Ⅱ－現代英美派三角函數符號

我國現正採用Ⅰ類三角函數符號。
1729年，丹尼爾．伯努利是先以符號表示反三角函數，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At 表示反正切，一年後又以Asin 表示 於單位圓上正弦值相等於 的弧。
1772年，C．申費爾以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以 表示反正弦函數。1776年，蘭伯特則以arc. sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現今通用之符號，如arc sin x，arc cos x 等。於三角函數前加arc表示反三角函數，而有時則改以於三角函數前加大寫字母開頭Arc，以表示反三角函數之主值。
另一較常用之反三角函數符號如sin-1x ，tan-1x等，是赫謝爾於1813年開始採用的，把反三角函數符號與反函數符號統一起來，至今亦有應用。


參、三角函數的和差化積公式
下列公式



稱為三角函數的和差化積公式。
法國著名數學家韋達﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角學著作《標准數學》中收集並整理了有關三角公式並給予補充，其中就有他給出的恆等式:
【後記】三角函數名稱的由來和補充
想知道為何三角函數要叫做sin，cos 這些名字嗎？經過了多方的查取資料，找到了下圖：

上面這個圖稱為三角圓（半徑＝1），是用圖形的方式表達各函數。其中我們可以看到，sinθ為PM線段，也就是圓中一條弦（對2θ圓周角）的一半，所以稱為「正弦」。而cosθ是OM線段，但OM＝NP，故我們也可以將cosθ視為NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的餘角的正弦值，故稱之為「餘弦」。其餘類推。
另外，除了課本中教的六種三角函數外，我們還查到了其他的三角函數，如上圖中的versθ、coversθ和exsecθ。事實上，在歷史上曾出現過的三角函數種類超過十種呢！但最後只剩下這六種常用的。其他的還有如半正矢（havθ）、古德曼函數和反古德曼函數等。
【補充：小歷史】
大部分的三角函數一開始都是由於天文上的需要而造出來的。在三角函數傳入中國時，正、余矢函數還未廢棄，故徐光啟將八種三角函數稱為「八線」。後來因為矢類函數廢棄不用，故八線之名漸被「三角」取代，但統一的名稱還是到了民國以後才確立的。
參考數據：
1. 梁宗巨（1995），《數學歷史典故》(九章出版社)
2. 王懷權《幾何發展史》(凡異出版社)

參考網站：
1. http://www.edp.ust.hk/math/history/
2. http://home.ecities.e.tw/sanchiang/
3. http://archives.math.utk.e/topics/history.html
4. http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/History/

泰勒斯﹝Tales of Miletus﹞
約公元前625-前547，古希臘
古希臘哲學家、自然科學家。生於小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為『希臘七賢』之首。而他更是以數學上的發現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，並以水為萬物的本源。
泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在於：
1. 保證命題的正確性，使理論立於不敗之地；
2. 揭露各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎；
3. 使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。
數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。
證明命題是希臘幾何學的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學的先驅。在幾何學中，下列的基本成果歸功於他：
1. 圓被任一直徑所平分；
2. 等腰三角形的兩底角相等；
3. 兩條直線相交，對頂角相等；
4. 已知三角形兩角和夾邊，三角形即已確定；
5. 對半圓的圓周角是直角；
6. 相似三角形對應邊成比例等等。
泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28
日發生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，並已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。

阿爾-比魯尼al-Biruni﹝973-1050﹞

比魯尼生於今烏茲別克的一個城市，畢生從事科學研究和寫作，共寫了大約146部著作，但留傳至今的只有22部。按已知其頁數的著作估算，比魯尼寫出的手稿當有13000頁之多，當中幾乎涉及到當時所有科學領域，如天文學、歷史學、地理學、數學、力學、醫學、葯物學、氣象學等。比魯尼特別偏重於那些易受數學影響的學科，其大部份之著作均是天文學和占星術有關。他在數學的應用，尤其在數學的傳播、東西方數學的交流方面，做出了突出的貢獻。

歐拉（Euler Leonhard，1707－1783）

歐拉，瑞士數學家及自然科學家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國的彼得堡去逝。 歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。
歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣的是數學。在上大學時，他已受到約翰第一．伯努利的特別指導，專心 研究數學，直至18歲，他徹底的放棄當牧師的想法而專攻數學，於19歲時（1726年）開始創作文章，並獲得巴黎科學院獎金。
1727年，在丹尼爾．伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學院從事研究工作。並在1731年接替丹尼爾第一．伯努利 ，成為物理學教授。
1735 年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士 腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任物理數學所所長一職。他在柏林期間，大大的擴展了研究的內容，如行星運動、剛 體運動、熱力學、彈道學、人口學等，這些工作與他的數學研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何 及其他數學領域均有開創性的發現。
1766年，他應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明。但他以其驚人的 記憶力和心算技巧繼續從事科學創作。他通過與助手們的討論以及直介面授等方式完成了大量的科學著作，直至生命的 最後一刻。
歐拉是數學史上最多產的數學家，我們現在習以為常的數學符號很多都是歐拉所發明介紹的，例如：函數符號 f(x)、圓周率π、自然對數的底 e、求和符號 Σ、log x、sin x、cos x以及虛數單位 i 等。喬治西蒙曾稱他為數學界的莎士比亞。

韋達Francois Viè te（1540-1603）

法國數學家。亦譯維埃特。因其著作均用拉丁文 發表，故名字當用拉丁文拼法，譯為韋達（Vi ta）。1540年生於普瓦圖地區豐特奈－勒孔特，1603年12 月13日卒於巴黎。早年在普瓦捷大學學習法律，1560 年畢業後成為律師，後任過巴黎行政法院審查官，皇家私人律師和最高法院律師。1595-1598年對西班牙戰爭期間破譯截獲的西班牙密碼，卓有成效。他業余研究數學，並自籌資金印刷和發行自己的著作。
主要著作有：《應用三角形的數學定律》（1579 ），給出精確到5位和10位小數的6種三角函數表及造表方法，發現正切定律、和差化積等三角公式，給出球面三角形的完整公式及記憶法則：《截角術》（ 1615年出版），給出sinnx和cosnx的 展開式；《分析術入門》（1591），創設大量代數符號，引入未知量的運算，是最早的符號代數專著；《 論方程的識別與訂正》（1615年出版），改進了三、四次方程的解法，給出三次方程不可約情形的三角解法，記載了著名的韋達定理（方程根與系數的關系式）；《各種數學解答》（1593）中給出圓周率π值的 第一個解析表達式，還得到π的10位精確值等等。

徐光啟﹝公元1562-1633年﹞

徐光啟，字子先，號玄扈，生於上海，於1604年考中進士，相繼任禮部右侍郎、尚書、翰林院學士、東閣學士等，最後官至文淵閣大學士，他畢生致力於介紹西方科學，同時注意總結中國的固有科學遺產，編成巨著《農政全書》，成為我國近代科學的啟蒙大師。
徐光啟除與利瑪竇合譯《幾何原本》前六卷外，還有《測量全義》﹝公元1631年﹞，這是西方三角學及測量術傳入我國之始。公元1629年﹝崇禎二年﹞，徐光啟首次應用西方天文學和數學正確推算日蝕。同年七月，禮部決定開設歷局，由徐光啟組建，於是，一些西方傳教士如龍華尼﹝義大利人﹞、鄭玉函﹝瑞士人﹞、湯若望﹝德國人﹞、羅雅谷﹝義大利人﹞先後參與了中國的歷法改革工作。從公元1629至1643年，明亡止，共完成了《崇禎歷書》137卷，主要介紹當時歐洲天文學家第谷﹝Tycho. Brahe﹞的地心學說，數學方面則以平面幾何與球面三角據多。

㈤ 三等分角發展歷史

三等分角是幾何中有名難題，與之並駕齊驅的還有倍立方和畫圓為方 ，
這三個問題現已被證明都不可能用尺規作出 。
勤於思考是好習慣，但不要在這類問題上浪費太多時間。
祝學習進步！

㈥ 蘭茲角的歷史

英國的南部海岸有許多歷史悠久的港口，也是英國歷史上最發達的地區。其中西南港口最為出名，因為從那裡無論航行到歐洲大陸或是美國都比較近。要去蘭茲角，需要先到港口城市普利茅斯。不過，老的普利茅斯市在二戰中幾乎被德軍的炮火全部毀掉，今天人們看到的這座城市則是在戰後重新建設起來的。由於重建時的原則是「快速和省錢」，所以市容很一般。但是面對大海的一側卻十分壯觀，可以看到軍艦走著「之」字出海。據說這是因為當地的海底暗礁密布，曲折而行是保證安全出海的唯一路線。實際上，在1588年，一艘艘英國戰艦也是從這個地方出發，去迎擊西班牙的「無敵艦隊」，並且最終樹立了英國「海上霸主」的地位。1620年，一艘名叫「五月花」號的帆船也是從普利茅斯起航，載著102名英國清教徒歷盡苦難，駛向美洲大陸。這群清教徒成了美國最早的外來移民之一。在今天的美國波士頓附近，還有一個地方叫普利茅斯，就是為了紀念當年清教徒的出發地而命名的。普利茅斯距離蘭茲角慢車只有一個來小時的路程，從地圖上看幾乎就是沿著大海的邊緣在走，鐵路兩邊目力所及之處是一眼望不到邊的田野、草地，成群的牛羊和孤零零的鄉野別墅。《蝴蝶夢》的故事就發生在康沃爾郡，如今坐擁豪宅的英國人已經很少，而把富餘的房間出租給遊客過夜的家庭旅館則到處都是。
在距蘭茲角最近的小鎮彭贊斯，通往蘭茲角的最後一條街道幾乎全是家庭旅館。即使深夜，所有房子的門廳也都亮著燈，主人熱情而愉快，完全沒有傳統英國人的冷淡氣息。清早沿著曲折的夾道直奔海邊，就能找到蘭茲角的白色木牌，上面寫著：「距離紐約3147英里。」幾乎所有到此一游的人看後都會明白，這里並不是一個正式的港口，但是由於處於英格蘭西南角的特殊位置，才會承載遠航出發點的象徵意義。
蘭茲角是以一個相當尖銳的角度插入大海的。三面的白色陡崖屹立在蔚藍的海中，放眼看去，在海天一色的地方隱約有法國島嶼的影子。即使是大晴天，這里也是風急浪涌、驚濤拍岸，很是壯觀。站在蘭茲角上遠望，想像著當年「五月花」號上的清教徒為了自由和理想不畏艱險的勇氣，我的心中也油然升起一種志在遠航的豪情。

㈦ 旦角的發展歷史

旦角是指戲曲中的女性形象，可分為青衣、花旦、刀馬旦、武旦、老旦、花衫等類別。其中京劇旦角著名的四大流派為梅派、程派、荀派、尚派。

㈧ 三角函數的發展史

函數是數學的重要的基礎概念之一。進一步學習的數學分析，包括極限理論、微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。函數的教學內容蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行辯證唯物主義觀點教育的好素材。函數的思想方法也廣泛地診透到中學數學的全過程和其他學科中。

函數是中學數學的主體內容。它與中學數學很多內容都密切相關，初中代數中的「函數及其圖象」就屬於函數的內容，高中數學中的指數函數、對數函數、三角函數是函數內容的主體，通過這些函數的研究，能夠認識函數的性質、圖象及其初步的應用。後續內容的極限、微積分初步知識等都是函數的內容。數列可以看作整標函數，等差數列的通項反映的點對(n，an)都分布在直線y＝kx+b的圖象上，等差數列的前n項和公式也可以看作關於的二次函數關系式，等比數列的內容也都屬於指數函數類型的整標函數。中學的其他數學內容也都與函數內容有關。

函數在中學教材中是分三個階段安排的。第一階段是在初中代數課本內初步討論了函數的概念、函數的表示方法以及函數圖象的繪制等，並具體地討論正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數，通過計算函數值、研究正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的慨念和性質，理解函數的概念，並用描點法可以繪制相應函數圖象。新課本函數一章以及本書的第四章三角函數的內容是中學函數教學的第二階段，也就是函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖象和性質，從而使學生在第二階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，並初步培養了學生的函數的應用意識，為今後學習打下良好的基礎。第二階段的主要內容在本章教學中完成。第三階段的函數教學是在高中三年級數學的限定選修課中安排的，理科限定選修內容有極限、導數、積分，文科和實科限定選修內容有極限與導數，這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，也是進一步學習和參加工農業生產需要具備的基礎知識。