數及發展歷史

1. 數的發展史

數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻不同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。
我國的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。後來，數的概念發展到虛和復數，與此同時四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。
到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

2. 數的發展歷程 數學的發展史

分數分別產生於測量及計算過程中。在測量過程中，它是整體或一個單位的一部份；而在計算過程中，當兩個數（整數）相除而除不盡的時候，便得到分數。
一般可分為五期：
上古期：（2700B.C.~200B.C.）對數學有所創見的有伏羲氏、黃帝、隸首、綞等人。其成就歸納如下：
1. 結繩：最古的記數方法，傳為伏羲所創。
2. 書器：一種最古的記數工具，傳為隸首所創。
3. 河圖，洛書：相傳分別為伏羲、夏禹所作，是為最初的魔方陣。
4. 八卦：傳為周公所創，是最初的二進製法。
5. 規矩：傳為伏羲或綞所創，用以作方圓，測量田地與勘測水道。
6. 幾何圖案：在金石陶器、石器時代的陶片、周秦時代的彝器已有簡單 的幾何圖形出現，其種類不下數十種。
7. 九九：即個位數乘法表，傳為伏羲所創。古代數學家以九九之術作為初等數學的代表。
8. 技術方法：當時是以累積之方法記數，已有百……億，兆等大數產生，都是以十進制的；也已有分數的產生。當時盛行的籌算，演變為後來的珠算術。
9. 算學教育：周朝時，把算數列為六藝之一，再小學時就受以珠算。
初等數學在此時期已有相當基礎，算數與幾何由於人類實際生活的需要已初步形成，但並無形成一定邏輯關聯的系統。
中古期：（200B.C.~600A.D.由漢至隋）中國數學家對於算學已有可考據的著作。
1. 而對圓周率寄算最有成就者為祖沖之。所得結果比之西方早一千多年。
2. 算經十書的編篡：
算經十書為：周髀，九章算術，孫子算經，張丘健算經，夏侯陽算經，五曹算經，海島算經，五經算術，輯古算經及綴術，後因綴術亡失，而已數術記遺代之；其中輯古算經在唐朝才完成。此時期的數學成就，可以從這十本算經中之其概略。數學成就可歸納為以下各點：
（1）分數論的應用
（2）整數勾股形的計算
(3) 平方零約數：已建立開方的方法有兩種
（4）方程論：已有聯立一次方程的解法。九章算數方程章為世界最早包含不只一個未知 數的算 式和聯立方程組概念，並產生了正負數的概念。
（5）平面立體形的計算：一切直線圖的面積和體積公式皆正確；圓面積、球體積為近似公式
（6）級數論上的成就：已有等差、等比問題產生。
（7）數論上的成就：孫子算經上的「物不知數」是一次同餘式問題，由此以後所推廣的中國剩餘定理比西洋早了一千多年。
（8）數學教育制度的建立
近古期：（600A.D.~1367A.D.由唐到宋元）
分為前後兩期，各以唐及宋元為代表。可以說是中國數學史的黃金時代；數學教育制度更臻完善，民間研究數學的風氣很盛。數學成就歸納如下：
(1) 代數學上的成就：中國古代數學家很早就知道利用代數方法解決實際問題；這時期天元術的產生促使代數學向前發展，使其成為更完整的數學體系。其它數學也獲得更進一步的發展。數學家們掌握天元術之後，很快地把它應用到多元高次方程組而產生所謂的四元術；並利用天元術開方。開方數也推廣到多乘方，比西洋數學家的發現早約五百年。求數學高次方程的正根方法也已建立起理論根據。
(2) 幾何學與三角學的成就：割圓術得到進一步的推廣，除了平面割圓術外，球面割圓術也已產生，球面三角由此而初步建立起來。
(3) 數論上的成就：一次同餘的理論基礎擴大了應用范圍，有八次聯立一次同餘式的問題出現，在整數論上是一個偉大的成就。所用解一次同餘式的方法為有名的輾轉相除法，即西方數學家所謂歐幾里得演算法。
(4) 級數論上的成就：級數論在世界數學史上有著悠久的歷史，中算家所論述的在此中佔有一定位子。由高階等差級數研究中發明了招差數、垛積數。
(5) 縱橫圖說的研究：一些有名的縱橫圖（所謂方陣圖）已經產生。
由以上所述，可以看出，有系統的代數學已建立起來，更多的數學方法與數學概念也得到更進一步的推廣與發展。
婆羅門、天竺數學輸入中國，但中國的數學並沒有受到影響；同時中國的數學也輸入了百濟和日本。
近世紀：（1367A.D.~1750A.D.明初到清初）
為中國算學衰落時期，統治者對數學教育不注重，民間研習數學風氣不盛。
回回歷法在元末明初輸入中國，至明末，應用回回歷法已近尾聲。自利瑪竇至中國之後，西洋歷法、西洋數學也隨之輸入中國。當時還有人研究中算，但由於中算不如西算的簡明有系統，故中國古算陷入停頓狀態而得不到新的發展。
西洋數學輸入的有筆算、籌算、代數學、對數術、幾何學、平面及球面三角術、三角函數表、比例對數表、割圓術及圓錐曲線說。
著名的天元術停滯不前，珠算隨著實際生活的需要而產生，很多有關珠算實用算數書陸續出版；珠算術的發明是中算的革命、我國的偉大成就。
清初的一些大數學家都致力於西洋數學的研究，編寫了數學各科的入門書籍。中國數學輸入朝鮮及把元明數學輸入日本。
最近世期：（1750A.D.~1910A.D.清乾隆三十七到清末）
西算輸入告一段落。這時學術潮流偏向古典考證一路發展，數學研究也轉到古代數學方面去，對算經十書與宋元算書加以傳刻與研討到達最高峰。當時數學家很多都能兼通中西數學，在高等數學方面獲得相當的成就。
對圓周率解析法作深入的探討，級數論、方程論及數論得到進一步的研究，理論更臻完善。對中算史加以研究與著成專書。數學教育制度重新建立起來。此期末，西方數學第二次輸入中國，以補中算的不足，中國數學在此又進入另一階段。

3. 數的發展歷史

人類是動物進化的產物,最初也完全沒有數量的概念.但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步.這樣,在漫長的生活實踐中,由於記事和分配生活用品等方面的需要,才逐漸產生了數的概念.比如捕獲了一頭野獸,就用1塊石子代表.捕獲了3頭,就放3塊石子."結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事.我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載.傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數.用利器在樹皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法.這些辦法用得多了,就逐漸形成數的概念和記數的符號.
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的,但是記數的符號卻大小相同.
古羅馬的數字相當進步,現在許多老式掛鍾上還常常使用.
實際上,羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.這7個符號位置上不論怎樣變化,它所代表的數字都是不變的.它們按照下列規律組合起來,就能表示任何數：
1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次,就表示這個數的幾倍.如："III"表示"3"；"XXX"表示"30".
2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號,就表示大數字加小數字,如"VI"表示"6","DC"表示"600".一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號,就表示大數字減去小數字的數目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495".
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線,表示這個數字的一千倍.如：""表示 "15,000",""表示"165,000".
我國古代也很重視記數符號,最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號,不過難寫難認,後人沒有沿用.到春秋戰國時期,生產迅速發展,適應這一需要,我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算.籌算用的算籌是竹製的小棍,也有骨制的.按規定的橫豎長短順序擺好,就可用來記數和進行運算.隨著籌算的普及,算籌的擺法也就成為記數的符號了.算籌擺法有橫縱兩式,都能表示同樣的數字.
從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出,籌算從一開始就嚴格遵循十位進制.9位以上的數就要進一位.同一個數字放在百位上就是幾百,放在萬位上就是幾萬.這樣的計演算法在當時是很先進的.因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末.但籌算數碼中開始沒有"零",遇到"零"就空位.比如"6708",就可以表示為"┴ ╥ ".數字中沒有"零",是很容易發生錯誤的.所以後來有人把銅錢擺在空位上,以免弄錯,這或許與"零"的出現有關.不過多數人認為,"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人.他們最早用黑點（·）表示零,後來逐漸變成了"0".
說起"0"的出現,應該指出,我國古代文字中,"零"字出現很早.不過那時它不表示"空無所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思.如"零頭"、"零星"、"零丁"."一百零五"的意思是：在一百之外,還有一個零頭五.隨著阿拉數字的引進."105"恰恰讀作"一百零五","零"字與"0"恰好對應,"零"也就具有了"0"的含義.
如果你細心觀察的話,會發現羅馬數字中沒有"0".其實在公元5世紀時,"0"已經傳入羅馬.但羅馬教皇兇殘而且守舊.他不允許任何使用"0".有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明,就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握筆寫字.
但"0"的出現,誰也阻擋不住.現在,"0"已經成為含義最豐富的數字元號."0"可以表示沒有,也可以表示有.如：氣溫0℃,並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0!=1（零的階乘等於1）.
除了十進制以外,在數學萌芽的早期,還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法.在長期實際生活的應用中,十進制最終佔了上風.
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人們稱之為阿拉伯數字.實際上它們是古代印度人最早使用的.後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去,又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲,逐漸演變成今天的阿拉伯數字.
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果.
隨著生產、生活的需要,人們發現,僅僅能表示自然數是遠遠不行的.如果分配獵獲物時,5個人分4件東西,每個人人該得多少呢?於是分數就產生了.中國對分數的研究比歐洲早1400多年!自然數、分數和零,通稱為算術數.自然數也稱為正整數.
隨著社會的發展,人們又發現很多數量具有相反的意義,比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西.為了表示這樣的量,又產生了負數.正整數、負整數和零,統稱為整數.如果再加上正分數和負分數,就統稱為有理數.有了這些數字表示法,人們計算起來感到方便多了.
但是,在數字的發展過程中,一件不愉快的事發生了.讓我們回到大經貿部2500年前的希臘,那裡有一個畢達哥拉斯學派,是一個研究數學、科學和哲學的團體.他們認為"數"是萬物的本源,支配整個自然界和人類社會.因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例,這是世界所以美好和諧的源泉.他們所說的數是指整數.分數的出現,使"數"不那樣完整了.但分數都可以寫成兩個整數之比,所以他們的信仰沒有動搖.但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時,發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它.如果設這個數為X,既然,推導的結果即x2=2.他畫了一個邊長為1的正方形,設對角線為x ,根據勾股定理x2=12+12=2,可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數,這個數肯定是存在的.可它是多少?又該怎樣表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最後認定這是一個從未見過的新數.這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚,動搖了他們哲學思想的核心.為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌,他們規定對新數的發現要嚴守秘密.而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去.據說他後來被扔進大海餵了鯊魚.然而真理是藏不住的.人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數,如圓周率 就是最重要的一個.人們把它們寫成 π、等形式,稱它們為無理數.
有理數和無理數一起統稱為實數.在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度.這時人類的歷史已進入19世紀.許多人認為數學成就已經登峰造極,數字的形式也不會有什麼新的發現了.但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數,這道題還有解嗎?如果沒有解,那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁.於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虛數就這樣誕生了."i "成了虛數的單位.後人將實數和虛數結合起來,寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數）,這就是復數.在很長一段時間里,人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量,所以虛數總讓人感到虛無縹緲.隨著科學的發展,虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用,在掌握和會使用虛數的科學家眼中,虛數一點也不"虛"了.
數的概念發展到虛和復數以後,在很長一段時間內,連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了,數學家族的成員已經都到齊了.可是1843年10月16日,英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念.所謂四元數,就是一種形如的數.它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的.四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用.與此同時,人們還開展了對"多元數"理論的研究.多元數已超出了復數的范疇,人們稱其為超復數.
由於科學技術發展的需要,向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生,把數學研究推向新的高峰.這些概念也都應列入數字計算的范疇,但若歸入超復數中不太合適,所以,人們將復數和超復數稱為狹義數,把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數.盡管人們對數的歸類法還有某些分歧,但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的.到目前為止,數的家庭已發展得十分龐大.

4. 誰能告訴我數字的由來及發展史

數字並不是阿拉伯人發明創造的，而是發源於古印度。數字後來被阿拉伯人用於經商而掌握，經改進，並傳到了西方。

西方人由於首先接觸到阿拉伯人使用過這些數據，便誤以為是他們發明的，所以便將這些數字稱為阿拉伯數字，造成了這一歷史的誤會。

後來，隨著在世界各地的普遍傳播，大家都都認同了「阿拉伯數字」這個說法，使世界上很多地方的人都誤認為是阿拉伯人發明的數字，實際上是阿拉伯人最早開始廣泛使用數字。傳到歐洲後，歐洲人非常喜愛這套方便適用的記數符號，盡管後來人們知道了事情的真相，但由於習慣了，就一直沒有改正過來。

1202年，義大利出版了一本重要的數學書籍《計算之書》，書中廣泛使用了由阿拉伯人改進的印度數字，它標志著新數字在歐洲使用的開始。這本書共分十五章。在第一章開頭就寫道：「印度的九個數目字是『9、8、7、6、5、4、3、2、1』，用這九個數字以及阿拉伯人叫做『零』的記號『0』，任何數都可以表示出來。」

隨著歲月的推移，到十四世紀，中國印刷術傳到歐洲，更加速了印度數字在歐洲的推廣與應用。印度數字逐漸為全歐洲人所採用。

西方人接受了經阿拉伯傳來的印度數字，但他們當時忽視了古代印度人，而只認為是阿拉伯人的功績，因而稱其為阿拉伯數字，這個錯誤的稱呼一直流傳至今。

(4)數及發展歷史擴展閱讀

數字分好幾種，阿拉伯數字是最普遍的一種。阿拉伯數字並不是阿拉伯人發明的而是印度人發明的，實際應該列為印度語言，只是先傳播到阿拉伯，然後傳向世界的，所以稱之為「阿拉伯數字」。數字是一種用來表示數的書寫符號。不同的記數系統可以使用相同的數字。

西方人由於首先接觸到阿拉伯人使用過這些數據，便誤以為是他們發明的，所以便將這些數字稱為阿拉伯數字，造成了這一歷史的誤會。

後來，隨著在世界各地的普遍傳播，大家都都認同了「阿拉伯數字」這個說法，使世界上很多地方的人都誤認為是阿拉伯人發明的數字，實際上是阿拉伯人最早開始廣泛使用數字。傳到歐洲後，歐洲人非常喜愛這套方便適用的記數符號，盡管後來人們知道了事情的真相，但由於習慣了，就一直沒有改正過來。

5. 數的發展歷史 從遠古時期開始.

1.結繩記事時代算開始吧,具有實物意義,兩個疙瘩可能表示5隻羊.
2.然後有了抽象的意內義,數與量產生了對應關系容.
3.然後向兩個方向發展:文學藝術和邏輯.音樂美術詩歌等領域都有數的身影,要指出的是在這些領域數體現了各要素的關系,規律,是人們對美的形式的認識.邏輯方面則偏重數抽象的概念的意義.從非自然數的產生及其產生過程可以看出來.
其實數的作用就是人認識世界表現世界的一種方法.很多公認的數學家也是哲學家,藝術家,科學家就可以說明.以計算能力超常聞世的人,因該不能算數學家,匠人而已.
有必要補充一點:在藝術領域數的發展遲緩,每一個藝術大師對其領域的數的發展都有貢獻.反過來說,判定大師的標准可以是看他是否建立了和諧的數的模型.
4.根據上一點推斷,數還會有巨大發展.

6. 數的產生及發展歷史是什麼

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。 但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步 。這樣，在漫長的生活實踐中， 由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。 比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭， 就放3塊石子。"結繩記事" 也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《 易經》中有"結繩而治"的記載。 傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。 用利器在樹皮上或獸皮上刻痕， 或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了， 就逐漸形成數的概念和記數的符號。 數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4…… 這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。 古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。 實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（ 代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、 D（代表500）、M（代表1,000）。 這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。 它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數： 1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。 如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。 2．右加左減： 一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號， 就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示" 600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號， 就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL" 表示"40"，"VD"表示"495"。 3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。 如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。 我國古代也很重視記數符號， 最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認， 後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要， 我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。 籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。 按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。 隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。 算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。 從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出， 籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。 同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。 這樣的計演算法在當時是很先進的。 因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。 但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如" 6708"，就可以表示為"┴╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。 所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零" 的出現有關。不過多數人認為，"0" 這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。 他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。 說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零" 字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、 "不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五" 的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。" 105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，" 零"也就具有了"0"的含義。 如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。 其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。 但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。 有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明， 就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。 但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0" 已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有， 也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0" 是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1； 0！=1（零的階乘等於1）。 除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、 三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、 六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中， 十進制最終佔了上風。 現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0， 人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。 後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去， 又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲， 逐漸演變成今天的阿拉伯數字。 數的概念、 數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。 隨著生產、生活的需要，人們發現， 僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時， 5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。 中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零， 通稱為算術數。自然數也稱為正整數。 隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義， 比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。 為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零， 統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。 有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。 但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。 讓我們回到大經貿部2500年前的希臘， 那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。 他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。 因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例， 這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。 分數的出現，使"數"不那樣完整了。 但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。 但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時， 發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。 如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。 他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2， 可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數， 這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？ 希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。 這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚， 動搖了他們哲學思想的核心。 為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌， 他們規定對新數的發現要嚴守秘密。 而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。 據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。 人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。 有理數和無理數一起統稱為實數。 在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程 度。這時人類的歷史已進入19世紀。 許多人認為數學成就已經登峰造極， 數字的形式也不會有什麼新的發現了。 但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數， 這道題還有解嗎？如果沒有解， 那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。 於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。 在很長一段時間里， 人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量， 所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展， 虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用， 在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。 數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內， 連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了， 數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日， 英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數， 就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、 量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時， 人們還開展了對"多元數"理論的研究。 多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。 由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、 域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。 這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適， 所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、 矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧， 但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。 到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。