數學分析歷史發展

A. 分析學的歷史發展

20世紀初年以前，一般將全部數學分為三大基本分支：分析學、幾何學和代數學。當然，對於現代數學，已難於做如此的概括。象微分方程和概率論等學科，它們的創立都與分析密切相關，但由於它們各有獨特的研究對象，從而發展了各自的龐大系統，不能繼續將它們歸屬於分析學。一般而論，現代分析可分為實分析、復分析和包括泛函分析在內的抽象分析三大部分，它的研究對象已不限於函數，研究方法也日益綜合。
分析這個學科名稱，大約是由牛頓（Newton）最早引入數學的，因當時微積分被看做代數的擴張，「無窮」的代數，而「分析」與「代數」同義。今天它所指雖然更廣，但仍然只是對所含學科方法上共同特點的概括，而且愈來愈不容易與幾何、代數的方法完全分清了。
分析學中最古老和最基本的部分是數學分析。它是在17世紀為了解決當時生產和科學提出的問題，經過許多數學家的努力，最終由牛頓和萊布尼茨（Leibniz）創立的。但是為分析建立嚴格邏輯基礎的工作卻遲至19世紀方才完成。此後，數學分析才成為一個完整的數學學科。數學分析是最早系統研究函數的學科，它所研究的雖說基本上只是一類性質相當好的函數——區間上的連續函數，但無論在理論上或應用方面至今都有重要意義。在理論方面，數學分析是分析學科的共同基礎，也是它們的發源地。現代分析的諸多分支中，有一些在其發展初期曾經是數學分析的一部分（例如變分法、傅里葉分析以至復變函數論等），而另一些則是在數學分析的完整體系建立以後，由於各種需要，在對數學分析中的某些問題的深入研究和拓廣之中發展起來的，像實變函數論、泛函分析和流形上的分析就屬於這種情況。
19世紀末到20世紀初，由於某些數學分支（例如傅里葉分析）和物理等學科發展的需要，不但促使數學分析中函數可積的概念逐步明確，還進一步要求將積分推廣到更廣的函數類上去，希望積分運算更加靈活方便。同時，在對數學分析中各個基本概念之間的關系的繼續探討中（例如，微分和積分互為逆運算在一般意義上是否成立），人們也感到必須突破數學分析的限制。
在這方面，20世紀初，由勒貝格（Lebesgue）提出的積分理論有重大意義，而實變函數論的中心內容就是勒貝格積分的理論。作為黎曼積分的推廣，勒貝格積分不僅可積函數類廣，還具有可數可加性等良好性質，積分號下求極限的條件也較寬松，它的理論已經發展得充分完備，因而更適合數學各分支及物理的需要。由於勒貝格可積函數的空間（函數類）的完備性，使它在數學理論上占據黎曼積分所不可能有的重要地位。實變函數論同數學分析一樣，也研究函數的連續性、可微性、可積性這些基本性態，但由於應用了集合論的方法，使它有可能研究一般點集上的函數，從而研究的結果比數學分析更廣、更完善。因此，實變函數論也成為分析學各分支（特別是泛函分析等近代分支）的共同基礎之一。在關於微分和積分是否互為逆運算的問題上，勒貝格積分的結果就比黎曼積分情形進了一步。但是，為了徹底解決這個問題，後來又有人提出過多種更廣的積分理論，例如，當儒瓦積分和佩龍積分，最後由廣義當儒瓦積分（1916年）對前述問題作了肯定的回答。然而，這些積分除了在特定的理論問題上有重要意義外，遠不如勒貝格積分普遍適用。勒貝格積分是建立在勒貝格測度的基礎之上的，後者向抽象方面進一步發展，又促使對於測度的系統研究形成獨立的學科，這就是測度論。測度是面積、體積概念的推廣，它和積分概念始終緊密相聯，測度論的思想和理論在現代分析中是十分重要和很有用的。

B. 求一遍數學史的論文，突出數學史的發展過程，闡明數學史發展過程的內在本質

數學的發展史
世界數學發展史 數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語Μαθηματικ? mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於ματθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。 數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。 更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。 從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關多計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。 到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。 數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部分為新的數學定理及其證明。」
就這些了！O(∩_∩)O~

C. 數學的發展史

數學史上的三次危機
無理數的發現──第一次數學危機 大約公元前5世紀，不可通約量的發現導致了畢達哥拉斯悖論。當時的畢達哥拉斯學派重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術、天文、音樂稱為"四藝"，在其中追求宇宙的和諧規律性。他們認為：宇宙間一切事物都可歸結為整數或整數之比，畢達哥拉斯學派的一項重大貢獻是證明了勾股定理，但由此也發現了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約）的情形，如直角邊長均為1的直角三角形就是如此。這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了當時認識上的"危機"，從而產生了第一次數學危機。 到了公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾里得《原本》第5卷中。歐多克斯和狄德金於1872年給出的無理數的解釋與現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處。 第一次數學危機對古希臘的數學觀點有極大沖擊。這表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示，反之卻可以由幾何量來表示出來，整數的權威地位開始動搖，而幾何學的身份升高了。危機也表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系，這不能不說是數學思想上的一次巨大革命！

無窮小是零嗎？──第二次數學危機18世紀，微分法和積分法在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。 1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎--無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。他指出："牛頓在求xn的導數時，採取了先給x以增量0，應用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，並除以0以求出xn的增量與x的增量之比，然後又讓0消逝，這樣得出增量的最終比。這里牛頓做了違反矛盾律的手續──先設x有增量，又令增量為零，也即假設x沒有增量。"他認為無窮小dx既等於零又不等於零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。導致了數學史上的第二次數學危機。
18世紀的數學思想的確是不嚴密的，直觀的強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，以及發散級數求和的任意性，符號的不嚴格使用，不考慮連續就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等。
直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。
悖論的產生---第三次數學危機
數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
1897年，福爾蒂揭示了集合論中的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。1902年，羅素又發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理發師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地"。於是終結了近12年的刻苦鑽研。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。

D. 數學發展史時間軸

一般分為：1.數學的萌芽時期；2.常量數學時期；3.變數數學時期；4.現代數學時期。

數學起源於人類早期的生產活動，為古中國六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學最早用於人們計數、天文、度量甚至是貿易的需要。這些需要可以簡單地被概括為數學對結構、空間以及時間的研究；對結構的研究是從數字開始的。

數學發展史的分期，一般來說，可以按照數學本身由低級到高級分階段進行，也就是分成四個本質不同的發展時期，每一新時期的開始都以卓越的科學成就作標志，這些成就確定了數學向本質上嶄新的狀態過渡。

(4)數學分析歷史發展擴展閱讀:

數學史對數學教育意義的意義

數學史在數學教育中有非常重要的地位和價值，是數學教育的重要內容，也是培養數學能力和實施數學素質教育的關鍵所在，是對數學教育來說十分有意義甚至是不可或缺的工具。

它可以活躍課堂氣氛並激起學生學習數學的興趣，可以培養學生的創新精神以及能讓學生了解數學的應用價值和文化價值，還可以通過數學史教育提高學生的綜合文化素質，還能幫助學生樹立科學品質，培養良好的科學精神。

在數學史教育中我們可以通過在教材中穿插相關的數學故事，來發揮激勵和榜樣作用，可以揭示數學發展的曲折歷程，培養學生的探索精神，可以在教學中追憶數學家的成敗歷程，吸取有益的教訓，還可以考察歷史上的數學思想方法，強化數學素質教育。

E. 求一篇大學數學史對數學分析課的影響的論文，要求字數3000左右，急用，謝謝大家了，

摘要：本文通過對高中生的調查研究發現當前高中生的數學觀存在不夠全面、不夠准確、不夠科學的現象，為此提出了通過數學史來影響高中生數學觀之假設．經過為期一年多的實驗和探索，發現數學史對改變學生的數學觀能產生積極的影響，對學生的學習興趣和學習效果也有明顯的作用．因此積極倡導應用數學史來為數學教學服務．

關鍵詞：數學觀；數學史；對數；復數

教學中，經常有學生提出這樣的問題：「老師，我怎麼對數學就是沒興趣？」「老師，學了這些概念、定理和公式到底將來有什麼用？」更有甚者問到：「老師，你為什麼要逼我學數學，我將來也不搞數學研究。」……

的確，當前不少學生因為想不通數學就認為數學是一門枯燥乏味、難以學習的學科；因為不理解數學就認為數學是一門概念和規則從天而降的游戲；因為沒有體會到數學的價值就認為數學是沒有實際意義的學科，學數學只是為了應付考試；因為沒有領悟數學的思想和精神就認為「概念我會背，公式我會用，定理我會證，題目我會做」是學好數學的最高標准……

這些現象表明，學生思想深處的問題已經不能等閑視之了，為此筆者開展了相關研究。

一、對高中生數學觀的現狀分析

高中生的數學觀主要是指學生關於數學本身的信念，關於數學學習的信念和關於自身的信念。[1]由於個體具有不同的知識背景，或接受了不同哲學觀念，或受不同教師的影響，再加上自己的實踐經驗，因此在數學學習過程中便逐漸產生和形成各自不同的認識和體會。

（1）對數學本身的信念

學生在數學學習過程中，對數學本身的感受和認識不盡相同。通過對614名高中生的調查發現，約52.5%的人「從未想過數學是什麼」；24.9%的人「曾經想過數學是什麼，但不清楚是什麼」；7.8%的人「曾經聽老師說過數學是什麼」；14.8%的人「曾經想過數學是什麼，所以知道是什麼」。但在他們眼中，數學主要是與數字、圖形有關的問題；是由概念、公式、定理、法則、符號組成的一門學科；是技巧性和方法性很強但又不易把握的一門學科；是關於計算、解題的一門學科；是討論空間形式與其數量關系的學科……

（2）對數學學習的信念

Davis等人的調查（李士錡2001,217-222）表明：學生在學習過程中，對數學學習持有不同觀點和看法。筆者調查發現高中生的數學學習信念主要是：

①學數學就是要會做題目；

②學數學就是為了在考試中取得好成績；

③學數學主要靠記憶、模仿、套公式；

④學數學就是要培養一個人的計算能力、思維能力；立體幾何主要培養一個人的邏輯推理能力和空間想像能力；

⑤學數學就是學會用所學的數學知識解決實際生活中的問題。

（3）對自身學習數學的信念

學生對自身學習數學的信念差異明顯，在調查中發現：

①信心十足──有人對數學充滿濃厚的興趣，認為自己在數學方面有一定的天賦和優勢，有信心、有能力學好數學。

②信心平淡──有人對數學的興趣一般，認為自己在數學方面沒有多少天賦和優勢，但是只要自己勤奮努力，刻苦鑽研，還是能夠達到基本要求的。

③信心缺乏──有人對數學不感興趣，認為自己根本沒有學習數學的天賦，沒有學好數學的能力。他們經常說自己從小學到現在數學都一直很差，由此來表明自己是學不好數學的。

（4）數學觀的類型

根據調查分析，高中生的數學觀不妨可歸納為以下幾種：

①動態的數學觀。在學生眼中，數學是不斷變化、發展過程中的知識，從而可能會出現不足和錯誤，只有通過不斷地嘗試、改正和改進才會逐漸完善。所以學習數學也是一個循序漸進，不斷完善的過程。對自己的困惑和錯誤能夠寬容，同時也知道只有採取積極的態度才會學好數學。

②靜態絕對主義數學觀。他們把數學知識看成自古有之、千年不變的、不容置疑的真理的集合，是一個高度嚴密、極端抽象的知識體系。因此，他們多強調接受和記憶，模仿和訓練，提倡熟能生巧；或認為自己的記憶能力不行，抽象能力又較差，所以數學學習必然困難等想法。

③工具主義的數學觀。他們認為學數學就是學會處理和解決各類（數學）問題的方法和技巧。所以他們比較重視做應用題，提倡將數學與生活緊密結合，也比較注意積累與數學有關的素材。

④文化主義數學觀。他們認為數學是與社會性質、階級意識、民族精神等有一定關系的人類文化，是一種反應人們思維方法、審美意識與文化價值觀念的特定的知識體系。當然這種觀念在學生中間被發現、被接受的較少。

上述各種觀念從不同的角度反映了學生對數學本身的理解和領會，對數學價值的認識和判斷。當然有些觀念對學生的學習起到積極促進作用，而有些則明顯會導致消極的負面影響。

二、數學觀對數學學習的影響分析

數學觀對學生數學學習究竟有多大的影響，目前尚缺乏確切的數據分析。但從歷史材料和當前的研究表明，學生的數學觀對其學習方式和學習成果是有相當影響的。Schoenfeld研究表明學生思想觀念的發展已經成為數學學習過程中的重要因素，數學信念與數學成績之間存在明顯的相關性。[2]Carlson研究發現一些普遍存在的和持續的數學觀念在他們的後繼學習中起著決定性作用。[3]鄭毓信指出，對於學生來說，觀念的重要性在於數學學習不僅是指知識的學習和能力的提高，而且也是一個觀點、信念、態度等形成的過程，而後者則將對他們今後的數學學習、乃至整個人生產生重要的影響。[4]

事實上，對個體而言，正確的數學觀可以統攝個體自身的各種因素，使之積極參與到學習活動之中。如果學生沒有一定的數學觀念，那麼他將是主動精神缺乏、主體意識單薄、只會按指令被動行事的人；如果學生對數學的看法和課程蘊藏的數學觀不一致，那麼這種觀念便可能成為其學習的障礙；如果學生面對數學處境而未能意識到它與數學有關，那麼他就不會著手以數學方法來處理；如果學生把數學看作是與社會生產實踐活動無關的概念、定理、符號的集合，那麼他們在學習過程中就必然會採取一種靜止的、被動的態度來接受「數學真理」；如果學生把數學看作是數學家憑空想像、自由創造的產物，那麼一種遠離社會、脫離客觀、極其嚴密、高度抽象的刻板印象就會佔領他們心靈的上空，使他們在學習過程中必然產生一種興趣不大、意義不大，或難度太大、敬而遠之的心理；如果學生把數學看作思維的體操，認為學數學就要反復用腦，那麼數學彷彿就變成了度量一個人聰明與否的標尺，當他們解決不了數學問題而產生挫折感時，便會覺得自己智力不如別人而悲觀失望；如果學生認為數學學習就是計算、就是解題，那麼在他們眼中，數學與算式、公式﹑列式有著不可分割的關系，或者認為數學就是給出一堆數字、然後通過算式找出答案的活動，那麼他們對冗長繁雜的計算、無邊無際的題海必然會喪失興趣；如果學生認為數學學習就是模仿智力超群的數學家或數學教師的思維，那麼他們常喪失信心，自嘆不如。實踐證明，學生的數學觀的確影響著他們的學習態度、學習興趣，影響著他們對認知材料的選取，對認知方式的選擇，對學習結果的評價。（李士錡2001,211）對群體而言，數學觀可以統攝個體之間的各種力量，使之積極參與到社會建構活動之中。學習是一種社會建構活動，存在著師師、生生、師生以及學生與家庭、學生與社會交往的多種形態。在這些活動中，數學觀一方面提供活動的基本准則，以此來調節主體的行為方式，決定交往的程度和范圍。另一方面，通過個體數學觀的溝通、交流和碰撞，主體間逐漸達成共識、形成合力。盡管同一群體中的數學觀存在著個體差異，但總有一種主導的數學觀在起作用，也正是這樣主導觀念使得整個班級對數學的學習目標、學習方式、評價標准趨向一致，從而保證學習活動順利進行。相反，如果學生之間，師生之間，學生與教材之間的數學觀經常抵觸、矛盾和沖突，缺乏維系的紐帶，就會出現「形聚神散」的狀態，學習活動就難以真正有效開展。

三、數學史影響高中生數學觀的實驗探索

1、實驗目的

數學史與數學教育的關系早在1876年丹麥著名數學家和數學史家H. G. Zeuthen就強調，「通過數學史的學習，學生不僅獲得了一種歷史感，而且，通過從新的角度看數學學科，他們將對數學產生更敏銳的理解力和鑒賞力。」 [5] 1977年，美國學者McBride和Rollins發現數學史在提高學生數學學習積極性方面是十分有效的[6]．Wilson和Chauvot指出，讓學生和教師思考「誰做數學」、「數學怎麼做」、「數學是什麼」等問題，讓學生了解數學與其他學科、數學與社會的廣泛聯系，能拓寬對數學本質的看法[7]．英國數學史家J. Fauvel曾總結了20條將數學史運用於數學教學的理由，其中之一是數學史可以改變學生的數學觀[8]．Breugel指出有關數學概念是怎樣發展的歷史知識有助於學生理解概念，並向學生指明了數學是人類在特定歷史時期所創造的，而不是歷來就有、永恆不變的[9]．

自從1972年「數學史與數學教育之關系國際研究小組」（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics,簡稱HPM）成立以來，歐美更多的學者對數學史與數學教育的關系進行了大量研究。國內也有一些學者再關注數學史與數學教育的關系。但數學史能否改變學生的數學觀，從而影響他們的數學學習，國內外有關實證研究仍不多見。本文既受歷史的啟發，又擬在前人研究成果的基礎上，進一步探索數學史對高中生數學觀究竟是否產生影響。

2、被試的確定

實驗班：蘇高工校區03預科4班；控制班：蘇高工校區03預科3班．實驗班和控制班是隨機選定的．兩個班的數學教學由筆者一人承擔．

3、實驗過程

⑴前測．對兩個班學生數學成績進行測試，結果見表3 ．

對兩個班學生數學觀進行問卷調查（見附錄一），結果見表4．

⑵實驗方法

①結合教學內容，介紹相關歷史

為期一年的教學過程中，在實驗班每周至少介紹一項有關的數學史知識，在控制班以解題和練習代之．

②選擇部分內容，測試對比研究

實驗一：對數概念

學習對數概念時，在兩個班採用了不同的教學方式．一是按課本體系組織教學；另外是結合閱讀材料《對數與指數發展簡史》，解答學生的各種問題，同時也引發了一堂意想不到的對數課[10]．課後測試（見附錄二）結果統計如下：

表1 兩個班對數概念學習前、後測試統計表

結果表明：學習「對數發展簡史」之後，控制班對「對數」學習的難度明顯降低，對學習對數的興趣明顯提高，對學習對數的目的更加明確，對對數產生的過程更加清楚．

實驗二：復數概念

在兩個班按不同方式組織教學．在控制班按課本內容和體系組織教學．在實驗班從復數發展的歷程組織教學．調查（見附錄三）結果如下：

表2 兩個班對復數概念學習測試統計表

結果表明：實驗班對虛數的接受程度高於控制班，把虛數看成是有意義的、真實存在的數的比例大於控制班；將數系看成是動態發展的比例高於控制班．

從課後交流中也了解到：歷史過程的引入使學生對數的概念的認識更加充分、更加准確、更加深刻．

① 復數是按一定方式構造的．復數的產生是從「運算可以無限制地進行的原理」出發，數學內容的組織化、系統化的過程[11]．這是人類構造數系的一種方式，也是學生建構數系認知結構的方式之一．

② 復數的產生是一個歷史發展過程．通過對復數發展過程的剖析，學生認識到復數是幾代人共同努力的產物；是一個從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰、從片面到完善的過程；是隨著社會的發展、數學本身的發展而發展的．復數是對實數理論補充和推廣後產生的．這是數學本身內部成果積累，引導新的抽象階段，向新的概括性概念上升的必然結果 [12]．

③ 虛數不是神秘莫測、絕對權威的．從虛數概念「生長」過程來看，即使是數學家的認識也是逐步深入的．最初人們對虛數持懷疑和不接受的態度．萊布尼茲稱虛數是「理想世界的奇異創造」，是「神靈的美妙的庇護者，幾乎介於存在和不存在之間的兩棲物」[13]．歐拉盡管用它，但也認為虛數只存在於想像之中．直到哈密爾頓把復數建立在實數理論基礎之上，以及復數在物理學等領域中的應用加強時，人們才開始真正接受虛數．這與學生學習時，缺乏了解它們的實際應用而造成對概念理解和接受上有一定的心理障礙是一致的．但歷史的呈現有助於學生打消神秘的心態和權威的心理，減少排斥的情緒．

④ 復數產生和發展是人們思想觀念的突破．象這樣的方程沒有實數解在學生心目中已成定論，既然沒有實數解，為什麼還要討論它？既然負數不能開平方，又為什麼要承認是有意義的？這是一種心理上的矛盾、認知上的沖突，更是觀念上的封閉．辯證法告訴我們：世界上沒有任何東西是完全不變和無論如何也不發展的．任何數學概念，不管它是怎樣被精確定義，也還是要隨著科學的發展而發展的．人們對事物的認識總是螺旋式上升的．通過對歷史的考察，大家體會到虛數的引入是一種創造，一種發明，一種思維上突破，一種觀念上的更新．

⑤辨析古人的數學觀，促進學生數學觀的形成

學習立體幾何時，讓學生討論歐幾里得的數學觀．學習解析幾何時，讓學生討論笛卡兒的數學觀與解析幾何的誕生．

⑶後測：一學年結束後，再對兩個班統一測試和問卷調查（見附錄一），結果如下：

表3 兩個班期初、期末考試成績統計表

註：⑴實驗班與控制班期初成績，所以兩個班學生成績無顯著差異．

⑵實驗班與控制班期末成績，故不能認為數學史對學生成績沒有影響．

表4 兩個班期初、期末問卷調查統計表

結果表明：數學史的介紹明顯提高了實驗班學生數學學習興趣；加強了學生數學學習動機，轉變了數學觀念；讓學生更加了解了數學的本質，也促進了數學成績的提高．

4 結論

通過一年的調研發現，數學史一定程度上能改變學生的數學觀，從而影響數學學習．

① 通過對歷史的了解，學生可以縮短心理上接受某一觀念的時間．

② 通過對歷史的分析，學生可以接受數學是人類社會活動的結果．

③ 數學史有助於培養學生動態的數學觀．

④ 數學史有助於培養學生的創造發明觀．

⑤ 數學史有助於培養學生的數學文化價值觀．

⑥ 數學史有助於學生了解數學形式化、抽象化、精確化的過程．

⑦ 數學史有助於改變教師的數學觀從而影響學生的數學觀．

5幾點建議

基於本文的研究，我建議：高度重視學生數學觀的培養；認真處理數學史與數學教材的關系；組織編寫合適的歷史材料；認真組織在職教師的數學史培訓；大力開展HPM研究．

F. 從數學的發展歷史來看,數學的研究對象各個階段有哪些

1、數學發生圖

數學可分為五大學科：純粹（基礎）數學、應用數學、計算數學、運籌與控制、概率論與數理統
計。
應用數學則以以上數學為綜合理論基礎，可分為：價值數學、運籌學、數理統計學、系統科
學、決策論等。目前又發展出混沌、小波變換、分形幾何等。
2、算術：人類逐步有了數的概念，由自然數開始。由於人有十個手指，所以多數民族建立了十進位制的自然數表示方法。二十個一組的太多太大，不能一目瞭然，還要用上腳趾，五個一組又太少，使組數太多，十個一組是比較會讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數法、希臘記數法、羅馬記數法、中國記數法，發展進步了5000年後，印度人第一次發明了零，零加自然數稱為為整數，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯數字。計算機的出現又需要二進位制，就是近幾十年的事了。
算術運算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導致了分數的出現，以十、百等為分母的除法，簡化表達就是
小數和循環小數。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現了負數，以上這些數放在一起，
就是有理數，可以表示在一個數軸上。人們曾經很長時間以為數軸上的數都是有理數，後來有人發現，正方形的邊是1，它的對角線長度就無法用有理數表示，用園規在數軸上找到那個對應點就是無理數的點，這是第一次數學危機。1761年德國物理學家和數學家蘭伯盧格嚴格證明了
π也是一個無理數，這樣把無理數包入之後，有理數與無理數統稱為實數，數軸也稱之為實數軸。後來人們發現，如果在實數軸上隨機的抽取，得到有理數的概率幾乎是零，得到無理數的概率幾乎是1，無理數比有理數多得多。為什麼會如此，因為我們生活的這個客觀世界，本來就是無理的多過有理的。為了解決負數的開平方是什麼，16世紀出了虛數i，虛軸與實軸垂直交叉形成一個復平面，數也發展成為由虛部和實部組成的復數。數的概念會不會繼續發展，我們試目以待。
3、代數：對實數的運算進入代數學階段，有「加、減、乘、除、乘方、開方、指數、對數」八則，用符號代表數，列出方程，求解方程成了比算術更有力的武器。這個時期稱為初等數學，從5世紀一直到17世紀，大約持續了一千多年。初等數學是常數的數學。對一組數群體性質的研究就導
致線性代數。
4、幾何：以上是研究數的，在研究形方面也平行的發展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構建了幾何學是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經與目前中學幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質，在計算復雜圖形的面積時，接近了高等數學。還初步了解到三角函數的值。在幾何學方面，後來進一步發展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓撲學等分支。 直到17世紀，笛卡爾的工作終於把平行發展的代數與幾何聯系起來，除建立了平面坐標系之外，還完善了目前通行的符號運算系統。
5、變數數學 ： 變化著的量以及它們間的依賴關系，產生了變數與函數的概念，研究函數的領域叫數學分析，其主要內容是微積分，牛頓由物理力學推動了微積分的產生，萊布尼茲從數學中求曲線多邊形的面積出發推動了微積分的發現，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號的記法，都是萊布尼茲最先採用的。他們都運用了極限的概念和無窮小的分析方法。 有了微積分，一系列分支出現了，如級數理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級數是無窮項數列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數而是函數，多元的情況下就出現了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關於曲線和曲面的一般理論，將實數分析的方法推廣到復數域中就產生了復變函數論。
6、概率論和數理統計 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機現象，其中存在很多不確定的、不可預測的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產生了概率論及其統計學等相關分枝。
7、模糊數學 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是「准確」的量，但自然界中存在大量的不準確現象，人為地准確化只能使我們對客觀世界的描述變得不準確。「乏晰數學」Fuzzy就是以這種思想觀點和方法研究問題的數學。

G. 高等數學的歷史發展

一般認為，世紀以前發展起來的各個數學學科總的是屬於初等數學的范疇，因而，17世紀以後建立的數學學科基本上都是高等數學的內容。由此可見，高等數學的范疇無法用簡單的幾句話或列舉其所含分支學科來說明。
19世紀以前確立的幾何、代數、分析三大數學分支中，前兩個都原是初等數學的分支，其後又發展了屬於高等數學的部分，而只有分析從一開始就屬於高等數學。分析的基礎——微積分被認為是「變數的數學」的開始，因此，研究變數是高等數學的特徵之一。原始的變數概念是物質世界變化的諸量的直接抽象，現代數學中變數的概念包含了更高層次的抽象。如數學分析中研究的限於實變數，而其他數學分支所研究的還有取復數值的復變數和向量、張量形式的，以及各種幾何量、代數量，還有取值具有偶然性的隨機變數、模糊變數和變化的（概率）空間——范疇和隨機過程。描述變數間依賴關系的概念由函數發展到泛函、變換以至於函子。與初等數學一樣，高等數學也研究空間形式，只不過它具有更高層次的抽象性，並反映變化的特徵，或者說是在變化中研究它。例如，曲線、曲面的概念已發展成一般的流形。按照埃爾朗根綱領，幾何是關於圖形在某種變換群下不變性質的理論，這也就是說，幾何是將各種空間形式置於變換之下來來研究的。
無窮進入數學，這是高等數學的又一特徵。現實世界的各種事物都以有限的形式出現，無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以，無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。在極限過程中，變數的變化是無止境的，屬於潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函數的極限。數學分析以它為基礎，建立了刻畫函數局部和總體特徵的各種概念和有關理論，初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程，在別的數學學科中也都起著基本的作用。還有許多學科的研究對象本身就是無窮多的個體，也就說是無窮集合，例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。能夠處理這類無窮集合，是數學水平與能力提高的表現。為了處理這類無窮集合，數學中引進了各種結構，如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構，如抽象空間中的范數、距離和測度等，它使得個體之間的關系定量化、數字化，成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋梁。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的內涵，能夠彼此區分，並由此形成了眾多的數學學科。
數學的計算性方面。在初等數學中甚至佔了主導的地位。它在高等數學中的地位也是明顯的，高等數學除了有很多理論性很強的學科之外，也有一大批計算性很強的學科，如微分方程、計算數學、統計學等。在高度抽象的理論裝備下，這些學科才有可能處理現代科學技術中的復雜計算問題。
除了數學基礎、集合論、數理邏輯這樣一些基礎性學科之外，數學分為初等數學與高等數學兩大部分。它們有共同的基礎，而彼此之間並沒有嚴格的界限。它們都是人類文明在不同發展階段的產物，但並不像某些事物那樣，後發展起來的可以代替古老的，隨著人類文明的進步，數學中某些局部的、繁瑣的成果或工作可能被淘汰，而其總體仍然是有用的，並必將向著更加綜合和抽象、結構更多樣化的方向發展下去。

H. 誰能提供數論發展的歷史 急求 50分

數論概述
人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，後來由於實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介於正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們合起來叫做整數。（註：現在，自然數的概念有了改變，包括正整數和0）

對於整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數范圍內可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數。但整數之間的除法在整數范圍內並不一定能夠無阻礙地進行。

人們在對整數進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數的特性。比如，整數可分為兩大類—奇數和偶數（通常被稱為單數、雙數）等。利用整數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數學規律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數學家不斷地研究和探索。

數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。後來整數論又進一步發展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。

數論的發展簡況
自古以來，數學家對於整數性質的研究一直十分重視，但是直到十九世紀，這些研究成果還只是孤立地記載在各個時期的算術著作中，也就是說還沒有形成完整統一的學科。

自我國古代，許多著名的數學著作中都關於數論內容的論述，比如求最大公約數、勾股數組、某些不定方程整數解的問題等等。在國外，古希臘時代的數學家對於數論中一個最基本的問題——整除性問題就有系統的研究，關於質數、和數、約數、倍數等一系列概念也已經被提出來應用了。後來的各個時代的數學家也都對整數性質的研究做出過重大的貢獻，使數論的基本理論逐步得到完善。

在整數性質的研究中，人們發現質數是構成正整數的基本「材料」，要深入研究整數的性質就必須研究質數的性質。因此關於質數性質的有關問題，一直受到數學家的關注。

到了十八世紀末，歷代數學家積累的關於整數性質零散的知識已經十分豐富了，把它們整理加工成為一門系統的學科的條件已經完全成熟了。德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術探討》，1800年寄給了法國科學院，但是法國科學院拒絕了高斯的這部傑作，高斯只好在1801年自己發表了這部著作。這部書開始了現代數論的新紀元。

在《算術探討》中，高斯把過去研究整數性質所用的符號標准化了，把當時現存的定理系統化並進行了推廣，把要研究的問題和意志的方法進行了分類，還引進了新的方法。

數論的基本內容

數論形成了一門獨立的學科後，隨著數學其他分支的發展，研究數論的方法也在不斷發展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論四個部分。

初等數論是數論中不求助於其他數學學科的幫助，只依靠初等的方法來研究整數性質的分支。比如中國古代有名的「中國剩餘定理」，就是初等數論中很重要的內容。

解析數論是使用數學分析作為工具來解決數論問題的分支。數學分析是以函數作為研究對象的、在極限概念的基礎上建立起來的數學學科。用數學分析來解決數論問題是由歐拉奠基的，俄國數學家車比雪夫等也對它的發展做出過貢獻。解析數論是解決數論中艱深問題的強有力的工具。比如，對於「質數有無限多個」這個命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數學分析中有關無窮級數的若干知識。二十世紀三十年代，蘇聯數學家維諾格拉多夫創造性的提出了「三角和方法」，這個方法對於解決某些數論難題有著重要的作用。我國數學家陳景潤在解決「哥德巴赫猜想」問題中使用的是解析數論中的篩法。

代數數論是把整數的概念推廣到代數整數的一個分支。數學家把整數概念推廣到一般代數數域上去，相應地也建立了素整數、可除性等概念。

幾何數論是由德國數學家、物理學家閔可夫斯基等人開創和奠基的。幾何數論研究的基本對象是「空間格網」。什麼是空間格網呢？在給定的直角坐標繫上，坐標全是整數的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網。空間格網對幾何學和結晶學有著重大的意義。由於幾何數論涉及的問題比較復雜，必須具有相當的數學基礎才能深入研究。

數論是一門高度抽象的數學學科，長期以來，它的發展處於純理論的研究狀態，它對數學理論的發展起到了積極的作用。但對於大多數人來講並不清楚它的實際意義。

由於近代計算機科學和應用數學的發展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在有些國家應用「孫子定理」來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由於計算機的發展，用離散量的計算去逼近連續量而達到所要求的精度已成為可能。

數論在數學中的地位是獨特的，高斯曾經說過「數學是科學的皇後，數論是數學中的皇冠」。因此，數學家都喜歡把數論中一些懸而未決的疑難問題，叫做「皇冠上的明珠」，以鼓勵人們去「摘取」。下面簡要列出幾顆「明珠」：費爾馬大定理、孿生素數問題、歌德巴赫猜想、圓內整點問題、完全數問題……

在我國近代，數論也是發展最早的數學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過重要的貢獻，出現了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素數論方面的研究是享有盛名的。1949年以後，數論的研究的得到了更大的發展。特別是在「篩法」和「歌德巴赫猜想」方面的研究，已取得世界領先的優秀成績。

特別是陳景潤在1966年證明「歌德巴赫猜想」的「一個大偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和」以後，在國際數學引起了強烈的反響，盛贊陳景潤的論文是解析數學的名作，是篩法的光輝頂點。至今，這仍是「歌德巴赫猜想」的最好結果。

人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，後來由於實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介於正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們和起來叫做整數。

對於整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。其中加法、減法和乘法這三種運算，在整數范圍內可以毫無阻礙地進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘的時候，它們的和、差、積仍然是一個整數。但整數之間的除法在整數范圍內並不一定能夠無阻礙地進行。

人們在對整數進行運算的應用和研究中，逐步熟悉了整數的特性。比如，整數可分為兩大類—奇數和偶數（通常被稱為單數、雙數）等。利用整數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和復雜的數學規律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來許多的數學家不斷地研究和探索。

數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。後來整數論又進一步發展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。

其它數學分支學科
算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、復變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、計算數學、突變理論、數學物理學

·初等數論
意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互逆律等等。

·解析數論
藉助微積分及復分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分布的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個范疇的重要議題。

·代數數論
引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密。

·幾何數論
主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分布情形。最著名的定理為Minkowski 定理。

·計算數論
藉助電腦的演算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。

·超越數論
研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的 Zeta 函數值之研究尤其令人感到興趣。

·組合數論
利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的復雜結論。這是由艾狄胥開創的思路。

I. 數學分析的歷史

http://kecheng.lut.cn/shuxuefenxi/dyxt/display.asp?id=22

求採納

J. 世界數學發展史

奇普，印加帝國時所使用的計數工具。數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικ