三角函數的發展歷史

『壹』 三角函數的發明者是誰

1464,德國人用sine表示正弦.
1620英國人根日耳用cosine表示餘弦.
1640,丹麥人用tangent表示正版切權,secant表示正割.
1596哥白尼的學生用coscant表示餘切.
1623德國人首先提出用sin簡寫正弦,tan簡寫正切,sec簡寫正割.
1975英國人提出把餘弦,餘切,餘割簡寫為cos,cot,csc.
這一切要歸功於歐拉，在歐拉的推廣下,人們開始使用三角函數.

『貳』 三角函數的發展史以及數學家和應用

三角學的起源與發展
三角學之英文名稱 Trigonometry ，約定名於公元1600年，實際導源於希臘文trigono (三角)和metrein (測量)，其原義為三角形測量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系為基礎，達到測量上的應用為目的的一門學科。早期的三角學是天文學的一部份，後來研究范圍逐漸擴大，變成以三角函數為主要對象的學科。現在，三角學的研究范圍已不僅限於三角形，且為數理分析之基礎，研究實用科學所必需之工具。
(一) 西方的發展
三角學﹝Trigonometry﹞創始於公元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學知識，主要用於測量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測天象等。公元前600年左右古希臘學者泰勒斯(p13)利用相似三角形的原理測出金字塔的高，成為西方三角測量的肇始。公元前2世紀後希臘天文學家希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea）為了天文觀測的需要，作了一個和現在三角函數表相仿的「弦表」，即在固定的圓內，不同圓心角所對弦長的表，他成為西方三角學的最早奠基者，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。
公元2世紀，希臘天文學家數學家托勒密(Ptolemy)(85-165)
繼承希帕霍斯的成就，加以整理發揮，著成《天文學大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若乾等價於三角函數性質的關系式，被認為是西方第一本系統論述三角學理論的著作。約同時代的梅內勞斯（Menelaus）寫了一本專門論述球三角學的著作《球面學》，內容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨特性質。他的工作使希臘三角學達到全盛時期。
(二)中國的發展
我國古代沒有出現角的函數概念，只用勾股定理解決了一些三角學范圍內的實際問題。據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子已利用勾股定理測量太陽的高度，其方法後來稱為「重差術」。1631西方三角學首次輸入，以德國傳教士鄧玉函、湯若望和我國學者徐光啟(p20)合編的《大測》為代表。同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。年薛風祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角演算法》，以「三角」取代「大測」，確立了「三角」名稱。1877年華蘅煦等人對三角級數展開式等問題有過獨立的探討。
現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等，多發展於20世紀中。
貳、三角函數的演進
正弦函數、餘弦函數、正切函數、餘切函數、 正割函數、餘割函數統稱為三角函數（Trigonometric function）。
盡管三角知識起源於遠古，但是用線段的比來定義三角函數，是歐拉(p16)（1707-1783）在《無窮小分析引論》一書中首次給出的。在歐拉之前，研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的托勒密定半徑為60；印度 人阿耶波多（約476-550）定半徑為3438；德國數學家裡基奧蒙特納斯（1436-1476）為了精密地計算三角函數值曾定半徑600,000；後來為制訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段的長。
義大利數學家利提克斯（1514-1574）改變了前人的做法，即過去一般稱AB為 的正弦，把正弦與圓牢牢地連結在一起（如下頁圖）， 而利提克斯卻把它稱為∠AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓O成為從屬地位了。

】

到歐拉(Euler)時，才令圓的半徑為1，即置角於單位圓之中，從而使三角函數定義為相應的線段與圓半徑之比。
1. 正弦、餘弦
在△ABC中，a、b、c為角A、B、C的對邊，R為△ABC的外接圓半徑，則有
稱此定理為正弦定理。
正弦定理是由伊朗著名的天文學家阿布爾.威發(940-998)首先發現與證明的。中亞細亞人艾伯塔魯尼﹝973-1048﹞(p15)給三角形的正弦定理作出了一個證明。 也有說正弦定理的證明是13世紀的那希爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學作為獨立的學科進行論述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個角，可以求得它的三個邊，或由三邊去求三個角。 這是區別球面三角與平面三角的重要標志。至此三角學開始脫離天文學，走上獨立發展的道路。
托勒密（ Claudius Ptolemy ）的《天文學大成》第一卷
除了一些初級的天文學數據之外，還包括了上面講的弦表：
它給出一個圓從 （ ）° 到180°每隔半度的所有圓心
角所對的弦的長度。圓的半徑被分為60等分，弦長以每一等分為單位，以六十進制製表達。這樣，以符號 crd a 表示圓心角a所對的弦長， 例如 crd 36°=37p4'55"，意思是：36° 圓心角的弦等於半徑的 （或37個小部分），加上一個小部分的 ，再加上一個小部分的 ，從下圖看出， 弦表等價於正弦函數表，因為

公元6世紀初，印度數學家阿耶波多製作了一個第一象限內間隔3°45'的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習慣，將圓周分為360度，每度為60分，整個圓周為21600份，然後據 2πr=216000，得出r=3438﹝近似值﹞，然後用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之後，再用半形公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3°45'的正弦長表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計算正弦值的時候，取圓心角所對弧的半弦長，比起希臘人取全弦長更近於現代正弦概
念。印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數的近似分
數式。
2.正切、餘切
著名的敘利亞天文學、數學家阿爾一巴坦尼﹝850-929﹞於920年左右，製成了自0°到90°相隔1°的餘切[cotangent]表。
公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成《大行歷》。為了求得全國任何一地方一年中各節氣的日影長度 ，一行編出了太陽天頂距和八尺之竿的日影長度對應表， 而太陽天頂距和日影長度的關系即為正切﹝tangent﹞函數 。而巴坦尼編制的是餘切函數表， 而太陽高度﹝角﹞和太陽天頂距﹝角﹞互為餘角，這樣兩人的發現實際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。
14世紀中葉，中亞細亞的阿魯伯﹝1393-1449﹞，原是成吉思汗的後裔，他組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算。他的正弦表精確到小數9位。他還製造了30°到45°之間相隔為1'，45°到90°的相隔為5'的正切表。
在歐洲，英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290？-1349﹞首先把正切、餘切引入他的三角計算之中。
3.正割、餘割
正割﹝secant﹞及餘割﹝cosecant﹞這兩個概念由阿布爾
─威發首先引入。sec這個略號是1626年荷蘭數基拉德
﹝1595-1630﹞在他的《三角學》中首先使用，後經歐拉採用
才得以通行。正割、餘割函數的現代定義亦是由歐拉給出的。
歐洲的「文藝復興時期」，﹝14世紀-16世紀﹞偉大的天文學家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地動學說，他的學生利提克斯見到當時天文觀測日益精密，認為推算更精確的三角函數值表刻不容緩。於是他定圓的半徑為1015，以製作每隔10"的正弦、正切及正割值表。當時還沒有對數，更沒有計算器。全靠筆算，任務十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅毅不拔的意志，勤奮工作達12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項工作，直到1596年，才由他的學生鄂圖﹝1550-1605﹞完成並公布於世，1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修訂了利提克斯的三角函數表，重新再版。後來英國數學家納皮爾發現了對數，這就大大地簡化了三角計算，為進一步造出更精確的三角函數表創造了條件。
4.三角函數符號
毛羅利科早於1558年已採用三角函數符號， 但當時並無
函數概念，於是只稱作三角線（ trigonometric lines）。他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus 2m arcus表示餘弦。
而首個真正使用簡化符號表示三角線的人是T.芬克。他於1583年創立以「tangent」（正切）及「secant」（正割）表示相應之概念，其後他分別以符號「sin.」,「tan. 」, 「sec. 」,「sin. com」,「tan. com」,「 sec. com」表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個符號與現代之符號相同。後來的符號多有變化，下列的表便顯示了它們之發展變化。
使用者 年代 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割 備注
羅格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl
Sec Sec.Compl
吉拉爾 1626 tan sec.
傑克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
歐拉 1753 sin. cos. tag(tg). cot. sec. cosec
謝格內 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos. tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰納 1827 tg Ⅱ
皮爾斯 1861 sin cos. tan. cotall sec cosec
奧萊沃爾 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
萬特沃斯 1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍費爾斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
註：Ⅰ－現代（歐洲）大陸派三角函數符 Ⅱ－現代英美派三角函數符號

我國現正採用Ⅰ類三角函數符號。
1729年，丹尼爾．伯努利是先以符號表示反三角函數，如以AS表示反正弦。1736年歐拉以At 表示反正切，一年後又以Asin 表示 於單位圓上正弦值相等於 的弧。
1772年，C．申費爾以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以 表示反正弦函數。1776年，蘭伯特則以arc. sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號中之小點，便成現今通用之符號，如arc sin x，arc cos x 等。於三角函數前加arc表示反三角函數，而有時則改以於三角函數前加大寫字母開頭Arc，以表示反三角函數之主值。
另一較常用之反三角函數符號如sin-1x ，tan-1x等，是赫謝爾於1813年開始採用的，把反三角函數符號與反函數符號統一起來，至今亦有應用。


參、三角函數的和差化積公式
下列公式



稱為三角函數的和差化積公式。
法國著名數學家韋達﹝1540-1603﹞(p18)在他的著名的三角學著作《標准數學》中收集並整理了有關三角公式並給予補充，其中就有他給出的恆等式:
【後記】三角函數名稱的由來和補充
想知道為何三角函數要叫做sin，cos 這些名字嗎？經過了多方的查取資料，找到了下圖：

上面這個圖稱為三角圓（半徑＝1），是用圖形的方式表達各函數。其中我們可以看到，sinθ為PM線段，也就是圓中一條弦（對2θ圓周角）的一半，所以稱為「正弦」。而cosθ是OM線段，但OM＝NP，故我們也可以將cosθ視為NOP（90°-θ）的正弦值，也就是θ的餘角的正弦值，故稱之為「餘弦」。其餘類推。
另外，除了課本中教的六種三角函數外，我們還查到了其他的三角函數，如上圖中的versθ、coversθ和exsecθ。事實上，在歷史上曾出現過的三角函數種類超過十種呢！但最後只剩下這六種常用的。其他的還有如半正矢（havθ）、古德曼函數和反古德曼函數等。
【補充：小歷史】
大部分的三角函數一開始都是由於天文上的需要而造出來的。在三角函數傳入中國時，正、余矢函數還未廢棄，故徐光啟將八種三角函數稱為「八線」。後來因為矢類函數廢棄不用，故八線之名漸被「三角」取代，但統一的名稱還是到了民國以後才確立的。
參考數據：
1. 梁宗巨（1995），《數學歷史典故》(九章出版社)
2. 王懷權《幾何發展史》(凡異出版社)

參考網站：
1. http://www.edp.ust.hk/math/history/
2. http://home.ecities.e.tw/sanchiang/
3. http://archives.math.utk.e/topics/history.html
4. http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/History/

泰勒斯﹝Tales of Miletus﹞
約公元前625-前547，古希臘
古希臘哲學家、自然科學家。生於小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為『希臘七賢』之首。而他更是以數學上的發現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，並以水為萬物的本源。
泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在於：
1. 保證命題的正確性，使理論立於不敗之地；
2. 揭露各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎；
3. 使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。
數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。
證明命題是希臘幾何學的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學的先驅。在幾何學中，下列的基本成果歸功於他：
1. 圓被任一直徑所平分；
2. 等腰三角形的兩底角相等；
3. 兩條直線相交，對頂角相等；
4. 已知三角形兩角和夾邊，三角形即已確定；
5. 對半圓的圓周角是直角；
6. 相似三角形對應邊成比例等等。
泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28
日發生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，並已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。

阿爾-比魯尼al-Biruni﹝973-1050﹞

比魯尼生於今烏茲別克的一個城市，畢生從事科學研究和寫作，共寫了大約146部著作，但留傳至今的只有22部。按已知其頁數的著作估算，比魯尼寫出的手稿當有13000頁之多，當中幾乎涉及到當時所有科學領域，如天文學、歷史學、地理學、數學、力學、醫學、葯物學、氣象學等。比魯尼特別偏重於那些易受數學影響的學科，其大部份之著作均是天文學和占星術有關。他在數學的應用，尤其在數學的傳播、東西方數學的交流方面，做出了突出的貢獻。

歐拉（Euler Leonhard，1707－1783）

歐拉，瑞士數學家及自然科學家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國的彼得堡去逝。 歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。
歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣的是數學。在上大學時，他已受到約翰第一．伯努利的特別指導，專心 研究數學，直至18歲，他徹底的放棄當牧師的想法而專攻數學，於19歲時（1726年）開始創作文章，並獲得巴黎科學院獎金。
1727年，在丹尼爾．伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學院從事研究工作。並在1731年接替丹尼爾第一．伯努利 ，成為物理學教授。
1735 年，他因工作過度以致右眼失明。在1741年，他受到普魯士 腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任物理數學所所長一職。他在柏林期間，大大的擴展了研究的內容，如行星運動、剛 體運動、熱力學、彈道學、人口學等，這些工作與他的數學研究互相推動著。與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何 及其他數學領域均有開創性的發現。
1766年，他應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 1771年，一場重病使他的左眼亦完全失明。但他以其驚人的 記憶力和心算技巧繼續從事科學創作。他通過與助手們的討論以及直介面授等方式完成了大量的科學著作，直至生命的 最後一刻。
歐拉是數學史上最多產的數學家，我們現在習以為常的數學符號很多都是歐拉所發明介紹的，例如：函數符號 f(x)、圓周率π、自然對數的底 e、求和符號 Σ、log x、sin x、cos x以及虛數單位 i 等。喬治西蒙曾稱他為數學界的莎士比亞。

韋達Francois Viè te（1540-1603）

法國數學家。亦譯維埃特。因其著作均用拉丁文 發表，故名字當用拉丁文拼法，譯為韋達（Vi ta）。1540年生於普瓦圖地區豐特奈－勒孔特，1603年12 月13日卒於巴黎。早年在普瓦捷大學學習法律，1560 年畢業後成為律師，後任過巴黎行政法院審查官，皇家私人律師和最高法院律師。1595-1598年對西班牙戰爭期間破譯截獲的西班牙密碼，卓有成效。他業余研究數學，並自籌資金印刷和發行自己的著作。
主要著作有：《應用三角形的數學定律》（1579 ），給出精確到5位和10位小數的6種三角函數表及造表方法，發現正切定律、和差化積等三角公式，給出球面三角形的完整公式及記憶法則：《截角術》（ 1615年出版），給出sinnx和cosnx的 展開式；《分析術入門》（1591），創設大量代數符號，引入未知量的運算，是最早的符號代數專著；《 論方程的識別與訂正》（1615年出版），改進了三、四次方程的解法，給出三次方程不可約情形的三角解法，記載了著名的韋達定理（方程根與系數的關系式）；《各種數學解答》（1593）中給出圓周率π值的 第一個解析表達式，還得到π的10位精確值等等。

徐光啟﹝公元1562-1633年﹞

徐光啟，字子先，號玄扈，生於上海，於1604年考中進士，相繼任禮部右侍郎、尚書、翰林院學士、東閣學士等，最後官至文淵閣大學士，他畢生致力於介紹西方科學，同時注意總結中國的固有科學遺產，編成巨著《農政全書》，成為我國近代科學的啟蒙大師。
徐光啟除與利瑪竇合譯《幾何原本》前六卷外，還有《測量全義》﹝公元1631年﹞，這是西方三角學及測量術傳入我國之始。公元1629年﹝崇禎二年﹞，徐光啟首次應用西方天文學和數學正確推算日蝕。同年七月，禮部決定開設歷局，由徐光啟組建，於是，一些西方傳教士如龍華尼﹝義大利人﹞、鄭玉函﹝瑞士人﹞、湯若望﹝德國人﹞、羅雅谷﹝義大利人﹞先後參與了中國的歷法改革工作。從公元1629至1643年，明亡止，共完成了《崇禎歷書》137卷，主要介紹當時歐洲天文學家第谷﹝Tycho. Brahe﹞的地心學說，數學方面則以平面幾何與球面三角據多。

『叄』 三角函數誰發明的

歷史表明，重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的，函數概念對數學發展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助於我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用． （一） 馬克思曾經認為，函數概念來源於代數學中不定方程的研究．由於羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數概念至少在那時已經萌芽． 自哥白尼的天文學革命以後，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉和公轉，那麼下降的物體為什麼不發生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什麼?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對於高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數概念就是從運動的研究中引申出的一個數學概念，這是函數概念的力學來源． （二） 早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸並研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等．1673年前後笛卡兒在他的解析幾何中，已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關系，但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義． 1673年，萊布尼茲首次使用函數一詞表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量．由此可以看出，函數一詞最初的數學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞「流量」來表示變數間的關系，直到1689年，瑞士數學家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義，貝努里把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函數」，表示為yx. 當時，由於連接變數與常數的運算主要是算術運算、三角運算、指數運算和對數運算，所以後來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子，取名為解析函數，還將它分成了「代數函數」與「超越函數」． 18世紀中葉，由於研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先後引出了「任意的函數」的說法．在解釋「任意的函數」概念的時候，達朗貝爾說是指「任意的解析式」，而歐拉則認為是「任意畫出的一條曲線」．現在看來這都是函數的表達方式，是函數概念的外延． （三） 函數概念缺乏科學的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛應用，但由於沒有函數的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉向物理學．他在和W·威伯爾合作發明電報的過程中，做了許多關於磁的實驗工作，提出了「力與距離的平方成反比例」這個重要的理論，使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了，實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究． 後來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當後一量變化時前一量也隨著變化，那麼第一個量稱為第二個量的函數．「這個定義雖然還沒有道出函數的本質，但卻把變化、運動注入到函數定義中去，是可喜的進步．」 在函數概念發展史上，法國數學家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數的本質，主張函數不必局限於解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，「通常，函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規律；他們以任何方式一個挨一個．」在該書中，他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續的「線」所給出的函數．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數，在〔－π，π〕區間內，可以由 表示出，其中 富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關於函數概念的傳統思想，在當時的數學界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間並不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了，那種視函數為解析式的觀點終於成為揭示函數關系的巨大障礙． 通過一場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義． 1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：「x的函數是這樣的一個數，它對於每個x都有確定的值，並且隨著x一起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的．」這個定義建立了變數與函數之間的對應關系，是對函數概念的一個重大發展，因為「對應」是函數概念的一種本質屬性與核心部分． 1837年，德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：「如果對於x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數．」 根據這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）： f（x）= 1 （x為有理數）， 0 （x為無理數）． 在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數． 狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義． （四） 生產實踐和科學實驗的進一步發展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數——δ-函數， 即ρ（x）＝ 0，x≠0， ∞,x=0． 且 δ-函數的出現，引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把「∞」作為數．另外，對於自變數只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等於零，這也是不可想像的．然而，δ-函數確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是 P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞． 其餘點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即 P（x）=0.另外，我們知道壓強函數的積分等於壓力，即 函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元． 函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發展，是數學發展道路上的重大轉折，近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志，它研究的是一般集合上的函數關系． 函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數的現代定義，應該說已經相當完善了．不過數學的發展是無止境的，函數現代定義的形式並不意味著函數概念發展的歷史終結，近二十年來，數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念—「關系」． 設集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為 X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝． 積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關系． 現設f是X與Y的關系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那麼稱f為X到Y的函數．在此定義中，已在形式上迴避了「對應」的術語，全部使用集合論的語言了． 從以上函數概念發展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要．

『肆』 三角函數發展史

函數是數學的重要的基礎概念之一。進一步學習的數學分析，包括極限理論、微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。函數的教學內容蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行辯證唯物主義觀點教育的好素材。函數的思想方法也廣泛地診透到中學數學的全過程和其他學科中。

函數是中學數學的主體內容。它與中學數學很多內容都密切相關，初中代數中的「函數及其圖象」就屬於函數的內容，高中數學中的指數函數、對數函數、三角函數是函數內容的主體，通過這些函數的研究，能夠認識函數的性質、圖象及其初步的應用。後續內容的極限、微積分初步知識等都是函數的內容。數列可以看作整標函數，等差數列的通項反映的點對(n，an)都分布在直線y＝kx+b的圖象上，等差數列的前n項和公式也可以看作關於的二次函數關系式，等比數列的內容也都屬於指數函數類型的整標函數。中學的其他數學內容也都與函數內容有關。

函數在中學教材中是分三個階段安排的。第一階段是在初中代數課本內初步討論了函數的概念、函數的表示方法以及函數圖象的繪制等，並具體地討論正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數，通過計算函數值、研究正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的慨念和性質，理解函數的概念，並用描點法可以繪制相應函數圖象。新課本函數一章以及本書的第四章三角函數的內容是中學函數教學的第二階段，也就是函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖象和性質，從而使學生在第二階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，並初步培養了學生的函數的應用意識，為今後學習打下良好的基礎。第二階段的主要內容在本章教學中完成。第三階段的函數教學是在高中三年級數學的限定選修課中安排的，理科限定選修內容有極限、導數、積分，文科和實科限定選修內容有極限與導數，這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，也是進一步學習和參加工農業生產需要具備的基礎知識。

『伍』 三角函數的歷史

三角學」，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 Trigonometria。現代三角學一詞最初見於希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學：解三角學的簡明處理》，創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角學)及μετρει υ(測量)兩字構成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附於天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。 早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由於墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；後來，貿易的發展和求知的慾望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標，夜裡則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確方向。 就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測，以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相聯系而邁出自己發展史的第一步的。
三角學問題的提出
三角函數
三角學理論的基礎，是對三角形各元素之間相依關系的認識。一般認為，這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時，希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學發展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形，因為進行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關系，通常是以直角三角形邊角之間的關系反映出來的。在很早以前，希臘天文學家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識：星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所採用的角度來反映的(如圖一)；角度(∠ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度與人觀測的角度之間在數量上究竟怎麼樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數學提出的第一個課題－製造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長度與∠ABC的大小之間的對應關系。
獨立三角學的產生
雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現，但是嚴格地說，他們並沒有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘述的，是德國數學家雷基奧蒙坦納斯。 雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數學家約翰·謬勒的筆名。他生於哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作，並熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數學家們在三角方面的工作比較了解。 三角函數
1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學知識，系統地綜合了起來，成了三角學在數學上的一個分支。
現代三角學的確認
直到十八世紀，所有的三角量：正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割，都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現出來的，這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現代特徵，是把三角量看作為函數，即看作為是一種與角相對應的函數值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發表著名的《無窮小分析引論》一書，指出：」三角函數是一種函數線與圓半徑的比值」。具體地說，任意一個角的三角函數，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM後，所得的線段OP、OM、MP(即函數線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα= MP/OM等。若令半徑為單位長，那麼所有的六個三角函數又可大為簡化。 尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現代特徵的分析性學科。正如歐拉所說，引進三角函數以後，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關系式也將很容易地從三角函數的定義出發直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數學家為之奮斗而得出的三角關系式，有了堅實的理論依據，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確立。
「正弦」的由來
公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。 三角學中」正弦」和」餘弦」的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。 三角函數
我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與∠AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是」全弦表」，而是」正弦表」了。 印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為」吉瓦」，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC) 為」阿爾哈吉瓦」。後來」吉瓦」這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為」彎曲」、」凹處」，阿拉伯語是 」dschaib」。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了」sinus」。 三角學輸入我國，開始於明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中，首先將sinus譯為」正半弦」，簡稱」正弦」，這就成了正弦一詞的由來。
「弦表」問世
根據現在的認識，弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發，去作一系列直角三角形，然後一一量出AC，A』C』，A』』C』』…之間的距離。然而，第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他採用的是在同一個固定的圓內，去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來製表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現在我們所知關於希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創造。 據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們採用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後，羅馬人把它們分別取名為」partes minutae primae」和」partes minutae secundae」；後來，這兩個名字演變為」minute」和」second」，成為現在角和時間的度 量上」分」和」秒」這兩個單位得起源。 建立了半徑與圓周的度量單位以後，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位)；用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用現在所稱的」托勒密定理」，來推算兩條已知所對弦長的弧的」和」與」差」所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。
補充：60進制
60進制以度為單位，將圓周分成360等份，每一份所對的圓心角叫做1度，1度等於60分，1分等於60秒。在時間上,1小時有60分，1分有60秒。這種60進制起源於巴比倫是1854年由欣克斯(Edward Hincks，1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所發現的,這些泥板是公元前2300-1600年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人，以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱於世。 巴比倫人為什麼用60作為進位的基數呢？這是很有趣的問題，引起後人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。 (1)數學史家M.康托爾(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾認為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度，太陽就每天行一度。又圓內恰好可以連續作6條等於半徑長的弦,每一條弦所對的長是60度，基數60或者由此而來。但根據考證,巴比倫人很早就知道太陽年是365日，太陰年(12個月)是354或355日,因此這種假說很難成立。康托爾後來也放棄了這種說法。 (2)60這個數字的選擇是因為它是許多簡單數字2，3，4，5，6，10，12，……的倍數，從而它的1/2，1/3，1/4， 1/5，……都是整數,用起來比較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就已指出，近年來又有 勒夫勒等人提倡。然而有人認為這是違反歷史事實的,因為記數制度不可能由某些學者為了」科學目的」自由創造出來，而是悠久歷史發展的結果。 (3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當時兩河流域有兩個民族，1個用10進制，一個用6進制。兩種制度混合調和就形成60進制。10進制是容易理解的，因為人們用10個指頭來計算,而6進制是用一隻手來計算，5個指頭表示1至5，握拳表示6，6以上，就要進位了。其實有幾種意見認為是和指算有關。用手指計算的確在某些地區和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有」掐指一算」的說法。 總之，對於基數60的起源,至今還沒有一致公認的看法。中國在殷商時代(公元前16-11世紀),就開始用干支紀日、紀年，從甲子起，60一個循環,周而復始，叫做六十花甲子。可以說和巴比倫異曲同工,不過沒有發展為進位值。 *希伯諸斯據說曾編著了第一個三角函數表，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。

『陸』 三角函數是誰發明的

迪卡爾

『柒』 三角函數的起源

三角學」，英文trigonometry，法文trigonometrie，德文Trigonometrie，都來自拉丁文 trigonometria。現代三角學一詞最初見於希臘文。最先使用trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作<<三角學:解三角學的簡明處理>>，創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角學)及μετρει υ(測量)兩字構成的，原意為三角形的測量，或者說解三角形。古希臘文裏沒有這個字，原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學，而是依附於天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候，由於墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移；後來，貿易的發展和求知的慾望，又推動他們去長途旅行。在當時，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或者經水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式，都首先要明確方向。那時，人們白天拿太陽作路標，夜裏則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確方向。

就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測，以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說，三角學是緊密地同天文學相聯系而邁出自己發展史的第一步的。

三角學問題的提出

三角學理論的基礎，是對三角形各元素之間相依關系的認識。一般認為，這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時，希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學發展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形，因為進行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關系，通常是以直角三角形邊角之間的關系反映出來的。在很早以前，希臘天文學家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識：星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所採用的角度來反映的(如圖一)；角度(∠ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度與人觀測的角度之間在數量上究竟怎麼樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數學提出的第一個課題—製造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長度與∠ABC的大小之間的對應關系。

獨立三角學的產生

雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現，但是嚴格地說，他們並沒有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘述的，是德國數學家雷基奧蒙坦納斯。

雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數學家約翰�謬勒的筆名。他生於哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作，並熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數學家們在三角方面的工作比較了解。

1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學知識，系統地綜合了起來，成了三角學在數學上的一個分支。

現代三角學的確認

直到十八世紀，所有的三角量：正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割，都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現出來的，這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現代特徵，是把三角量看作為函數，即看作為是一種與角相對應的函數值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發表著名的《無窮小分析引論》一書，指出：」三角函數是一種函數線與圓半徑的比值」。具體地說，任意一個角的三角函數，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM後，所得的線段OP、OM、MP(即函數線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝ MP/OM等。若令半徑為單位長，那麼所有的六個三角函數又可大為簡化。

尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現代特徵的分析性學科。正如歐拉所說，引進三角函數以後，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關系式也將很容易地從三角函數的定義出發直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數學家為之奮斗而得出的三角關系式，有了堅實的理論依據，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確立。

「正弦」的由來

公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。

三角學中」正弦」和」餘弦」的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與∠AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是」全弦表」，而是」正弦表」了。

印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為」吉瓦」，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC) 為」阿爾哈吉瓦」。後來」吉瓦」這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為」彎曲」、」凹處」，阿拉伯語是 」dschaib」。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了」sinus」。

三角學輸入我國，開始於明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，作為歷書的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中，首先將sinus譯為」正半弦」，簡稱」正弦」，這就成了正弦一詞的由來。

「弦表」問世

根據現在的認識，弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發，去作一系列直角三角形，然後一一量出AC，A』C』，A』』C』』…之間的距離。然而，第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus，約前180~前125)不是這樣作，他採用的是在同一個固定的圓內，去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來製表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現在我們所知關於希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創造。

據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們採用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後，羅馬人把它們分別取名為」partes minutae primae」和」partes minutae secundae」；後來，這兩個名字演變為」minute」和」second」，成為現在角和時間的度 量上」分」和」秒」這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以後，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60o弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60o弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位)；用同樣的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用現在所稱的」拖勒密定理」，來推算兩條已知所對弦長的弧的」和」與」差」所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。

補充:60進制

60進制以度為單位,將圓周分成360等份,每一份所對的圓心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。在時間上,1小時有60分,1分60秒。這種60進制起源於巴比倫是1854年由欣克斯(Edward Hincks,1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所發現的,這些泥板是公元前2300-1600年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人,以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱於世。

巴比倫人為什麼用60作為進位的基數呢？這是很有趣的問題，引起後人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。

(1)數學史家M.康托爾(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾認為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度,太陽就每天行一度。又圓內恰好可以連續作6條等於半徑長的弦,每一條弦所對的長是60度,基數60或者由此而來。但根據考證,巴比倫人很早就知道太陽年是365日,太陰年(12個月)是354或355日,因此這種假說很難成立。康托爾後來也放棄了這種說法。

(2)60這個數字的選擇是因為它是許多簡單數字2,3,4,5,6,10,12,……的倍數,從而它的1/2,1/3,1/4, 1/5,……都是整數,用起來比較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就已指出,近年來又有 勒夫勒等人提倡。然而有人認為這是違反歷史事實的,因為記數制度不可能由某些學者為了」科學目的」自由創造出來,而是悠久歷史發展的結果。

(3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當時兩河流域有兩個民族,1個用10進制,一個用6進制。兩種制度混合調和就形成60進制。10進制是容易理解的,因為人們用10個指頭來計算,而6進制是用一隻手來計算,5個指頭表示1至5,握拳表示6,6以上,就要進位了。其實有幾種意見認為是和指算有關。用手指計算的確在某些地區和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有」掐指一算」的說法。

總之,對於基數60的起源,至今還沒有一致公認的看法。中國在殷商時代(公元前16-11世紀),就開始用干支紀日、紀年，從甲子起,60一個循環,周而復始,叫做六十花甲子。可以說和巴比倫異曲同工,不過沒有發展為進位值。

＊希伯諸斯據說曾編著了第一個三角函數表，這個成就使他贏得了「三角學之父」的稱謂。

『捌』 三角學的歷史

古希臘的自然科學家泰勒斯（公元前624年－公元前546年）的理論，可以認為是三角學的萌芽，但歷史上都認為古希臘的天文學家喜帕恰斯是三角學的創始者。他著有三角學12卷，並作成弦表。可大都是天文觀測的副產品．例如，古希臘門納勞斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年後，另一個古希臘學者托勒密（Ptolemy）著《天文學大成》，初步發展了三角學．而在公元499年，印度數學家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角學思想；其後的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，約505～587年）最早引入正弦概念，並給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數學
的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數學家是德國人雷格蒙塔努斯（JRegiomontanus，1436～1476年）。
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》。這是歐洲第一部獨立於天文學的三角學著作。全書共5卷，前2卷論述平面三角學，後3卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉。雷格蒙塔努斯還較早地製成了一些三角函數表。
雷格蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用建立了牢固的基礎．他去世以後，其著作手稿在學者中廣為傳閱，並最終出版，對 16 世紀的數學家產生了相當大的影響，也對哥白尼等一批天文學家產生了直接或間接的影響．
三角學一詞的英文是trigonometry，來自拉丁文tuigonometuia．最先使用該詞的是文藝復興時期的德國數學家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus，1561～1613年），他在1595年出版的《三角學：解三角形的簡明處理》中創造這個詞．其構成法是由三角形（tuiangulum）和測量（metuicus）兩字湊合而成．要測量計算離不開三角函數表和三角學公式，它們是作為三角學的主要內容而發展的．
16世紀三角函數表的製作首推奧地利數學家雷蒂庫斯（G．J．Rhetucu s，1514～1574年）。他1536年畢業於滕貝格大學，留校講授算術和幾何。1539 年赴波蘭跟隨著名天文學家哥白尼學習天文學，1542年受聘為萊比錫大學數學教授．雷蒂庫斯首次編制出全部6種三角函數的數表，包括第一張詳盡的正切表和第一張印刷的正割表。
17世紀初對數發明後大大簡化了三角函數的計算，製作三角函數表已不再是很難的事，人們的注意力轉向了三角學的理論研究．不過三角函數表的應用卻一直占據重要地位，在科學研究與生產生活中發揮著不可替代的作用．
三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關系式．三角函數的定義已體現了一定的關系，一些簡單的關系式在古希臘人以及後來的阿拉伯人中已有研究．
文藝復興後期，法國數學家韋達（FVieta）成為三角公式的集大成者．他的《應用於三角形的數學定律》（1579年）是較早系統論述平面和球面三角學的專著之一．其中第一部分列出6種三角函數表，有些以分和度為間隔。給出精確到5位和10位小數的三角函數值，還附有與三角值有關的乘法表、商表等。第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關系的運算公式．除匯總前人的成果外，還補充了自己發現的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個總表中，使得任意給出某些已知量後，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎。對斜三角形，韋達仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對球面直角三角形，給出計算的完整公式及其記憶法則，如餘弦定理，1591年韋達又得到多倍角關系式，1593 年又用三角方法推導出餘弦定理。
1722年英國數學家棣莫弗（ADe Meiver）得到以他的名字命名的三角學定理
（cosθ±isinθ）^n=cosnθ+isinnθ，
並證明了n是正有理數時公式成立；1748年歐拉（LEuler）證明了n是任意實數時公式也成立，他還給出另一個著名公式
e^(iθ)=cosθ+isinθ，
對三角學的發展起到了重要的推動作用．
近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，並以函數線與半徑的比值定義三角函數，他還創用小寫拉丁字母a、b、c表示三角形三條邊，大寫拉丁字母A、B、C表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形 解法進一步轉化為研究三角函數及其應用，成為一個比較完整的數學分支學科．而由於上述諸人及 19 世紀許多數學家的努力，形成了現代的三角函數符號和三角學的完整的理論.

『玖』 三角函數的發展史

函數是數學的重要的基礎概念之一。進一步學習的數學分析，包括極限理論、微分學、積分學、微分方程乃至泛函分析等高等學校開設的數學基礎課程，無一不是以函數作為基本概念和研究對象的。其他學科如物理學等學科也是以函數的基礎知識作為研究問題和解決問題的工具。函數的教學內容蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學生進行辯證唯物主義觀點教育的好素材。函數的思想方法也廣泛地診透到中學數學的全過程和其他學科中。

函數是中學數學的主體內容。它與中學數學很多內容都密切相關，初中代數中的「函數及其圖象」就屬於函數的內容，高中數學中的指數函數、對數函數、三角函數是函數內容的主體，通過這些函數的研究，能夠認識函數的性質、圖象及其初步的應用。後續內容的極限、微積分初步知識等都是函數的內容。數列可以看作整標函數，等差數列的通項反映的點對(n，an)都分布在直線y＝kx+b的圖象上，等差數列的前n項和公式也可以看作關於的二次函數關系式，等比數列的內容也都屬於指數函數類型的整標函數。中學的其他數學內容也都與函數內容有關。

函數在中學教材中是分三個階段安排的。第一階段是在初中代數課本內初步討論了函數的概念、函數的表示方法以及函數圖象的繪制等，並具體地討論正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等最簡單的函數，通過計算函數值、研究正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的慨念和性質，理解函數的概念，並用描點法可以繪制相應函數圖象。新課本函數一章以及本書的第四章三角函數的內容是中學函數教學的第二階段，也就是函數概念的再認識階段，即用集合、映射的思想理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，在此基礎上研究了指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的概念、圖象和性質，從而使學生在第二階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，並初步培養了學生的函數的應用意識，為今後學習打下良好的基礎。第二階段的主要內容在本章教學中完成。第三階段的函數教學是在高中三年級數學的限定選修課中安排的，理科限定選修內容有極限、導數、積分，文科和實科限定選修內容有極限與導數，這些內容是函數及其應用研究的深化和提高，也是進一步學習和參加工農業生產需要具備的基礎知識。