⑴ 函數發展的歷史
隨機過程的發展
隨時間推進的隨機現象的數學抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由於受許多隨機因素的影響,它本身具有隨機性,因此便是一個隨機過程。類似地，森林中某種動物的頭數，液體中受分子碰撞而作布朗運動的粒子位置，百貨公司每天的顧客數，等等，都隨時間變化而形成隨機過程。嚴格說來，現實中大多數過程都具有程度不同的隨機性。
氣體分子運動時，由於相互碰撞等原因而迅速改變自己的位置與速度,其運動的過程是隨機的。人們希望知道，運動的軌道有什麼性質(是否連續、可微等等)？分子從一點出發能達到某區域的概率有多大？如果有兩類分子同時運動，由於擴散而互相滲透，那麼擴散是如何進行的,要經過多久其混合才會變得均勻？又如,在一定時間內，放射性物質中有多少原子會分裂或轉化？電話交換台將收到多少次呼喚？機器會出現多少次故障？物價如何波動？這些實際問題的數學抽象為隨機過程論提供了研究的課題。
一些特殊的隨機過程早已引起注意，例如1907年前後，Α.Α.馬爾可夫研究過一列有特定相依性的隨機變數，後人稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）；又如1923年N.維納給出了布朗運動的數學定義（後人也稱數學上的布朗運動為維納過程），這種過程至今仍是重要的研究對象。雖然如此，隨機過程一般理論的研究通常認為開始於30年代。1931年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫發表了《概率論的解析方法》；三年後，Α.Я.辛欽發表了《平穩過程的相關理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過程與平穩過程奠定了理論基礎。稍後，P.萊維出版了關於布朗運動與可加過程的兩本書，其中蘊含著豐富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《隨機過程論》問世，它系統且嚴格地敘述了隨機過程的基本理論。1951年伊藤清建立了關於布朗運動的隨機微分方程的理論(見隨機積分)，為研究馬爾可夫過程開辟了新的道路；近年來由於鞅論的進展，人們討論了關於半鞅的隨機微分方程；而流形上的隨機微分方程的理論，正方興未艾。60年代，法國學派基於馬爾可夫過程和位勢理論中的一些思想與結果，在相當大的程度上發展了隨機過程的一般理論，包括截口定理與過程的投影理論等，中國學者在平穩過程、馬爾可夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面也做出了較好的工作。
研究隨機過程的方法是多樣的，主要可分為兩大類：一是概率方法，其中用到軌道性質、停時、隨機微分方程等；另一是分析方法，工具是測度論、微分方程、半群理論、函數論、希爾伯特空間等。但許多重要結果往往是由兩者並用而取得的。此外，組合方法、代數方法在某些特殊隨機過程的研究中也起一定的作用。研究的主要課題有：多指標隨機過程、流形上的隨機過程與隨機微分方程以及它們與微分幾何的關系、無窮質點馬爾可夫過程、概率與位勢、各種特殊過程的專題討論等。
隨機過程論的強大生命力來源於理論本身的內部，來源於其他數學分支如位勢論、微分方程、力學、復變函數論等與隨機過程論的相互滲透和彼此促進，而更重要的是來源於生產活動、科學研究和工程技術中的大量實際問題所提出的要求。目前隨機過程論已得到廣泛的應用，特別是對統計物理、放射性問題、原子反應、天體物理、化學反應、生物中的群體生長、遺傳、傳染病問題、排隊論、資訊理論、可靠性、經濟數學以及自動控制、無線電技術等的作用更為顯著。
隨機過程的定義 設 (Ω,F,p)為概率空間（見概率），T為指標t的集合（通常視t為時間）,如果對每個t∈T,有定義在Ω上的實隨機變數x(t)與之對應，就稱隨機變數族x＝為一隨機過程（簡稱過程）。研究得最多的是T 為實數集R＝(-∞，∞)的子集的情形；如果T為整數n的集,也稱為隨機序列。如果T是d維歐幾里得空間Rd（d為大於1的正整數）的子集，則稱x為多指標隨機過程。
過程x實際上是兩個變元(t,ω)(t∈T,ω ∈Ω)的函數，當t固定時，它是一個隨機變數；當ω固定時,它是t的函數,稱此函數為隨機過程（對應於ω）的軌道或樣本函數。
如不限於實值情況，可將隨機變數與隨機過程的概念作如下一般化:設(E,ε)為可測空間（即E為任意非空集,ε為E的某些子集組成的σ域）,稱x=(x(ω), ω∈Ω)為取值於E的隨機元,如果對任一B∈ε,∈F。特別,如果為Rd中全體波萊爾集所成的σ域（稱波萊爾域）,則取值於Rd中的隨機元即d維隨機向量。如果其中RT為全體實值函數
⑵ 函數的發展史
中文數學書上使用的「函數」一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1859年）一書時，把「function」譯成「函數」的。
中國古代「函」字與「含」字通用，都有著「包含」的意思.李善蘭給出的定義是：「凡式中含天，為天之函數.」中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變數.這個定義的含義是：「凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函數.」所以「函數」是指公式里含有變數的意思.我們所說的方程的確切定義是指含有未知數的等式。但是方程一詞在我國早期的數學專著《九章算術》中,意思指的是包含多個未知量的聯立一次方程，即所說的線性方程組。
早期概念
十七世紀伽俐略在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變數關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1637年前後笛卡爾在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用「function」（函數）表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 「流量」來表示變數間的關系。
十八世紀
1718年約翰·柏努利在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量。」他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。
1748年，歐拉在其《無窮分析引論》一書中把函數定義為：「一個變數的函數是由該變數的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。」他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了「隨意函數」。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
1755年，歐拉給出了另一個定義：「如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函數。」
十九世紀
1821年，柯西從定義變數起給出了定義：「在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函數。」在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1822年傅里葉發現某些函數可以用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。
1837年狄利克雷突破了這一局限，認為怎樣去建立間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函數。」這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，奧斯瓦爾德維布倫用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象。
現代概念
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函數，其避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數定義為「若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變數，元素y稱為因變數。
⑶ 函數發展史
歷史表明，重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的，函數概念專對數學發展的屬影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助於我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用．
（一）
⑷ 函數的發展史是什麼
函數就是在某變化過程中有兩個變數X和Y，變數Y隨著變數X一起變化，而且依賴於X。如果變數X取某個特定的值，Y依確定的關系取相應的值，那麼稱Y是X的函數。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生於德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了 「function" 一詞。翻譯成漢語的意思就是 「 函數。不過，它和我們今天使用的函數一詞的內涵並不一樣，它表示 」 冪 」 、 「 坐標 」 、 「 切線長 」 等概念。
直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，他認為，所謂變數的函數，就是指由這些變數和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。後來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進一步的規范，他認為函數是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關系，各自有它們的優點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函數的本質來。
19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次准確地提出了函數的定義：如果某一個量依賴於另一個量，使後一個量變化時，前一個量也隨著變化，那麼就把前一個量叫做後一個量的函數。黎曼定義的最大特點在於它突出了就是之間的依賴、變化的關系，反映了函數概念的本質屬性。
⑸ 1 函數產生的歷史背景 2 函數的發展歷程 3 與函數有關的數學家
1． 早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變數的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關系，但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。
1．2 十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變數和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函數」，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。
18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數（只有自變數間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變數的無理數冪所表示的函數），還考慮了「隨意函數」（表示任意畫出曲線的函數），不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
1．3 十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變數開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是傑出數學家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函數。」狄利克雷的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。
1．4 現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用「序偶」來定義函數。其優點是避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念，其不足之處是又引入了不明確的概念「序偶」。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」，即序偶(a，b)為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。
函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這並不意味著函數概念發展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac－δ函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等於1，這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的，但由於廣義函數概念的引入，把函數、測度及以上所述的Dirac－δ函數等概念統一了起來。因此，隨著以數學為基礎的其他學科的發展，函數的概念還會繼續擴展。
⑹ 函數的發展歷史
函數在數學上的定義：給定一個非空的數集A,對A施加對應法則f,記作f（A）,得到另一數集B,也就是B=f（A）.那麼這個關系式就叫函數關系式,簡稱函數。
⑺ 函數概念發展的歷史過程
函數概念是全部數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數概念的發展，眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的思想，從而推動了整個數學的發展。本文擬通過對函數概念的發展與比較的研究，對函數概念的教學進行一些探索。
1、函數概念的縱向發展
1．1 早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變數的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關系，但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。
1．2 十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變數和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函數」，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。
18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數（只有自變數間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變數的無理數冪所表示的函數），還考慮了「隨意函數」（表示任意畫出曲線的函數），不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
1．3 十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1822年傅里葉(Fourier，法，1768－1830)發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)從定義變數開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是傑出數學家狄利克雷。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函數。」狄利克雷的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托爾(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。
1．4 現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用「序偶」來定義函數。其優點是避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念，其不足之處是又引入了不明確的概念「序偶」。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」，即序偶(a，b)為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。
函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這並不意味著函數概念發展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac－δ函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等於1，這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的，但由於廣義函數概念的引入，把函數、測度及以上所述的Dirac－δ函數等概念統一了起來。因此，隨著以數學為基礎的其他學科的發展，函數的概念還會繼續擴展。
⑻ 函數概念的發展史
函數就是在某變化過程中有兩個變數和Y，變數Y隨著變數X一起變化，而且依賴於X。如果變數X取某個特定的值，Y依確定的關系取相應的值，那麼稱Y是X的函數。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生於德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了「function"一詞。翻譯成漢語的意思就是「函數。不過，它和我們今天使用的函數一詞的內涵並不一樣，它表示」冪」、「坐標」、「切線長」等概念。
直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，他認為，所謂變數的函數，就是指由這些變數和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。後來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進一步的規范，他認為函數是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關系，各自有它們的優點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函數的本質來。
19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次准確地提出了函數的定義：如果某一個量依賴於另一個量，使後一個量變化時，前一個量也隨著變化，那麼就把前一個量叫做後一個量的函數。黎曼定義的最大特點在於它突出了就是之間的依賴、變化的關系，反映了函數概念的本質屬性。
⑼ δ函數的發展歷程
量子力學大師狄拉克最先「發明」並應用於量子力學的。至於其嚴格的數學證明，則是在廣義分布理論建立後
⑽ 函數的形成與發展史是怎樣的
函數概念的發展歷史
1.早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo,意,1564－1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函數或稱為變數關系的這一概念,用文字和比例的語言表達函數的關系.1673年前後笛卡爾(Descartes,法,1596－1650)在他的解析幾何中,已注意到一個變數對另一個變數的依賴關系,但因當時尚未意識到要提煉函數概念,因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義,大部分函數是被當作曲線來研究的.1673年,萊布尼茲首次使用「function」 （函數）表示「冪」,後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量.與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 「流量」來表示變數間的關系.
2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(Johann Bernoulli ,瑞,1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量.」他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函數,並強調函數要用公式來表示.1755,歐拉(L．Euler,瑞士,1707－1783) 把函數定義為「如果某些變數,以某一種方式依賴於另一些變數,即當後面這些變數變化時,前面這些變數也隨著變化,我們把前面的變數稱為後面變數的函數.」 18世紀中葉歐拉(L．Euler,瑞,1707－1783)給出了定義：「一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式.」他把約翰•貝努利給出的函數定義稱為解析函數,並進一步把它區分為代數函數和超越函數,還考慮了「隨意函數」.不難看出,歐拉給出的函數定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.
3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1821年,柯西(Cauchy,法,1789－1857) 從定義變數起給出了定義：「在某些變數間存在著一定的關系,當一經給定其中某一變數的值,其他變數的值可隨著而確定時,則將最初的變數叫自變數,其他各變數叫做函數.」在柯西的定義中,首先出現了自變數一詞,同時指出對函數來說不一定要有解析表達式.不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限.1822年傅里葉（Fourier,法國,1768——1830）發現某些函數也已用曲線表示,也可以用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數的認識又推進了一個新層次.1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805－1859) 突破了這一局限,認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,他拓廣了函數概念,指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那麼y叫做x的函數.」這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述,以清晰的方式被所有數學家接受.這就是人們常說的經典函數定義.等到康托(Cantor,德,1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後,維布倫(Veblen,美,1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義,通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了,且打破了「變數是數」的極限,變數可以是數,也可以是其它對象.
4.現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函數,其避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念.庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了.1930 年新的現代函數定義為「若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數,記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.」